2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第一章1.4基本不等式（Word版附答案）

这是一份2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第一章1.4基本不等式（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是( )
A.9B.18C.93D.27
2.若x>0，则函数y=x2+x+25x的最小值为( )
A.6B.7C.10D.11
3.(2024·亳州模拟)已知x>0，y>0，2x+y=xy，则2x+y的最小值为( )
A.8B.4C.82D.42
4.(2025·连云港模拟)设a>0，b>-1，且a+b=1，则1a+1b+1的最小值为( )
A.1B.2C.4D.8
5.(2024·漯河模拟)设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则xyz的最大值为( )
A.4B.2C.3D.1
6.已知x>2，且x-y-2=0，则x24+2xy+4y2的最小值是( )
A.2B.3C.4D.9
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.若m>0，n>0，且m+2n=1，则下列结论正确的是( )
A.mn≤18B.m+2n≥2
C.1m+2n≥9D.m2+4n2≤12
8.下列说法正确的是( )
A.函数y=2x+2x(x-2)的最小值是6
D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是8
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·南京模拟)已知x>12，则x+12x-1的最小值为 .
10.已知5x2y2+y4=1(x，y∈R)，则x2+y2的最小值是 .
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知x>0，y>0，x+2y+xy=30，求：
(1)xy的最大值；(6分)
(2)2x+y的最小值.(7分)
12.(15分)已知下列求最小值的方法：
求x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值.
解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a+b+c≥33abc(当且仅当a=b=c时等号成立)，得到x3+1+1≥3x，于是x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，当且仅当x=1时等号成立，即当且仅当x=1时，x3-3x取到最小值-2.
(1)请模仿上述例题，求x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值；(提示：对任意非负实数a，b，c，d，有a+b+c+d≥44abcd，当且仅当a=b=c=d时等号成立)(4分)
(2)求13x3-x，x∈[0，+∞)的最小值；(5分)
(3)求出当a>0时，x3-ax，x∈[0，+∞)的最小值.(6分)
每小题5分，共10分
13.正数a，b满足a>b，ab=4，则a3+b3a2-b2的最小值为( )
A.2B.3C.4D.6
14.若x1，x2，…，x2 026均为正实数，则x1+x2x1+x3x1x2+x4x1x2x3+…+x2 026x1x2…x2 025+4x1x2…x2 026的最小值为 .
答案精析
1.B
2.D [∵x>0，
∴y=x2+x+25x=x+25x+1
≥2x·25x+1=11，
当且仅当x=25x，即x=5时，等号成立，
∴函数y=x2+x+25x的最小值为11.]
3.A [方法一 由x>0，y>0，
2x+y=xy，
可得y=2xx-1>0，则x>1，
则2x+y=2x+2xx-1=2x2x-1
=2(x-1)2+4(x-1)+2x-1
=2(x-1)+2x-1+4
≥22(x-1)·2x-1+4=8，
当且仅当2(x-1)=2x-1，
即x=2时，等号成立，
所以2x+y的最小值为8.
方法二 由x>0，y>0，2x+y=xy，得2y+1x=1，
所以2x+y=(2x+y)2y+1x
=4xy+yx+4
≥24xy·yx+4=8，
当且仅当4xy=yx，2x+y=xy，
即x=2，y=4时，等号成立，
所以2x+y的最小值为8.]
4.B [因为a>0，b>-1，则b+1>0，因为a+b=1，则a+(b+1)=2，
所以1a+1b+1
=12[a+(b+1)]1a+1b+1
=122+ab+1+b+1a
≥122+2ab+1·b+1a=2，
当且仅当b+1a=ab+1，a+(b+1)=2，a>0，b>-1，
即a=1，b=0时，等号成立，
因此1a+1b+1的最小值为2.]
5.D [因为正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则z=x2+y2-xy，
所以xyz=xyx2+y2-xy=1xy+yx-1
≤12xy·yx-1=1，
当且仅当xy=yx(x>0，y>0)，
即x=y时，等号成立，
故xyz的最大值为1.]
6.D [由题意得x=y+2>2，所以y>0，
所以x2+2y=y+22+2y=y2+2y+1
≥2y2·2y+1=3(当且仅当y=2时取等号)，
所以x2+2y的最小值为3.
又因为x24+2xy+4y2=x2+2y2，
所以x24+2xy+4y2的最小值是9.]
7.AC [对于A，若m>0，n>0，且m+2n=1，则有mn=12·m·2n
≤12m+2n22=18，
当且仅当m=12，n=14时等号成立，故A正确；
对于B，(m+2n)2=1+22mn，
由A可得mn≤18，故1+22mn≤2，
所以m+2n≤2，故B不正确；
对于C，1m+2n=1m+2n(m+2n)=5+2nm+2mn≥5+22nm·2mn=9，
当且仅当m=n=13时等号成立，故C正确；
对于D，m2+(2n)22≥m+2n22=14，即m2+4n2≥12，当且仅当m=12，n=14时等号成立，故D不正确.]
8.ACD [A选项，对于函数y=2x+2x(x-2)，x+2>0，
x+16x+2=x+2+16x+2-2
≥2(x+2)·16x+2-2=6，
当且仅当x+2=16x+2，即x=2时等号成立，所以C选项正确；
D选项，由基本不等式得x2+y22≥x+y22，所以x2+y2≥2·x+y22=2×22=8，
当且仅当x=y=2时等号成立，所以D选项正确.]
9.22+12
解析 由于x>12，所以2x-1>0，
所以x+12x-1=2x-12+12x-1+12
≥22x-12·12x-1+12=22+12，
当且仅当2x-12=12x-1，即x=2+12时等号成立，所以x+12x-1的最小值为22+12.
10.45
解析 方法一 ∵5x2y2+y4=1，
∴y≠0且x2=1-y45y2，
∴x2+y2=1-y45y2+y2=15y2+4y25
≥215y2·4y25=45，
当且仅当15y2=4y25，
即x2=310，y2=12时取等号，
∴x2+y2的最小值为45.
方法二 由5x2y2+y4=1，
可得y2(5x2+y2)=1，
即4y2(5x2+y2)=4，
又4=4y2(5x2+y2)
≤4y2+(5x2+y2)22
=254(x2+y2)2，
∴(x2+y2)2≥1625，即x2+y2≥45，
当且仅当5x2+y2=4y2=2，
即x2=310，y2=12时取等号，
∴x2+y2的最小值是45.
11.解 (1)因为x>0，y>0，
根据基本不等式，30=x+2y+xy≥22xy+xy(当且仅当x=2y=6时取等号)，
令xy=t(t>0)，
则t2+22t-30≤0，
解得-52≤t≤32，又t>0，
所以00，则a3+b3a2-b2=a2+b2-aba-b
=(a-b)2+4a-b=a-b+4a-b
≥2(a-b)·4a-b=4，
当且仅当a-b=2且ab=4，即a=5+1，b=5-1时，等号成立.]
14.4
解析 原式=4x1x2…x2 026+x2 026x1x2…x2 025+…+x4x1x2x3+x3x1x2+x2x1+x1
≥24x1x2…x2 026·x2 026x1x2…x2 025+x2 025x1x2…x2 024+…+x4x1x2x3+x3x1x2+x2x1+x1=4x1x2…x2 025+x2 025x1x2…x2 024+…+x4x1x2x3+x3x1x2+x2x1+x1
≥24x1x2…x2 025·x2 025x1x2…x2 024+…+x4x1x2x3+x3x1x2+x2x1+x1
=4x1x2…x2 024+…+x4x1x2x3+x3x1x2+x2x1+x1
≥…≥4x1+x1≥24x1·x1=4，
当且仅当4xi=xi(i=1，2，3，…，2 026，xi>0)，
即x1=x2=…=x2 026=2时，等号成立，
故x1+x2x1+x3x1x2+x4x1x2x3+…+x2 026x1x2…x2 025+4x1x2…x2 026的最小值为4.