（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第二十一讲 特殊的平行四边形（强化训练）

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备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第二十一讲 特殊平行四边形
考点一 特殊平行四边形中的翻折问题 2
考点二 菱形的性质与判定 8
考点三 矩形的性质与判定 8
考点四 正方形的性质与判定 22
















考点一 特殊平行四边形中的翻折问题

1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，点M为AB边上一点．AM＝4，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折．点A落在点P处，当点P在菱形的对角线BD上时，AN的长度为（　　）

A．6﹣2 B．10﹣2 C．8﹣2 D．10﹣
【解答】解：如图，

设AN＝x，
由折叠的性质得：PM＝AM＝4，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，
∵AB＝6，
∴BM＝AB﹣AM＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∠PDN＝∠MBP＝∠ADC＝60°，
∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°，
∴∠BPM＝∠DNP，
∴△PDN∽△MBP，
∴，即，
∴PD＝x，
∴＝，
解得：x＝10﹣2或10+2（不合题意舍去），
∴AN＝10﹣2，
故选：B．
2．如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于（　　）

A． B． C．6 D．7
【解答】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，

由折叠得：ABNM是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝5，
CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，
∴NC＝MD＝8﹣5＝3，
在Rt△FNC中，FN＝＝4，
∴MF＝5﹣4＝1，
在Rt△MEF中，设EF＝x，则ME＝3﹣x，由勾股定理得，
12+（3﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，
∴∠CFN＝∠FPG，
∵∠CNF＝∠PGF＝90°，
∴△FNC∽△PGF，
∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，
设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m，
∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m，
解得：m＝1，
∴PF＝5m＝5，
∴PE＝PF+FE＝5+＝，
故选：B．
3．如图，矩形ABCD中，E为CD上一点，F为AB上一点，分别沿AE，CF折叠，D，B两点刚好都落在矩形内一点P，且∠APC＝120°，则AB：AD＝　：1　．

【解答】解：如图，设AD＝BC＝x．过点P作PH⊥AC于H．

由翻折的性质可知，PA＝PC＝BC＝x，
∵∠APC＝120°，PH⊥AC，
∴AH＝CH，∠APH＝∠CPH＝60°，
∴AC＝2AH＝2•PA•sin60°＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴CD＝AB＝＝＝x，
∴＝＝，
故答案为：1．
4．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点A'落在△BCD的边上时，AE的长为　2或　．

【解答】解：如图，当点A'落在BD上时，连接AA'交EF于H，

∵将△AEF沿EF折叠，
∴AH＝A'H，
∵EF∥BD，
∴，
∴AE＝DE＝AD＝2；
若点A'落在BC上时，
如图，当点A'落在BC上时，连接AA'交EF于点H，过点A'作A'N⊥AD于N，

∵A'N⊥AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝A'N＝3，AN＝A'B，
∵AB＝3，BC＝4＝AD，
∴BD＝＝＝5，
∵将△AEF沿EF折叠，
∴AA'⊥EF，AE＝A'E，AF＝A'F，
∵EF∥BD，
∴AA'⊥BD，
∴∠AA'B+∠A'BD＝90°，
又∵∠ABD+∠A'BD＝90°，
∴∠ABD＝∠AA'B，
∴tan∠ABD＝tan∠AA'B＝＝，
∴BA'＝＝，
∵A'E2＝A'N2+NE2，
∴AE2＝9+（AE﹣）2，
∴AE＝，
综上所述：AE＝2或，
故答案为：2或．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，点C的对应点为点F，连接AF，若tan∠BAF＝，则CE＝　或　．

【解答】解：当点F在AB上方时，
过点F作MN∥AD，交AB、CD分别于点M、N，则MN⊥AB，MN⊥CD，

由折叠得：EC＝EF，BC＝BF＝，∠C＝∠BFE＝90°，
∵tan∠BAF＝＝，
设FM＝x，则AM＝3x，BM＝6﹣3x，
在Rt△BFM中，由勾股定理得：BF2＝FM2+BM2，
∴x2+（6﹣3x）2＝10，
∴x＝1或x＝2.6（舍去）
∴FM＝1，BM＝3，
∴NF＝﹣1，
∵∠EFB＝90°，
∴∠NFE+∠BFM＝90°，∠NFE+△NEF＝90°，
∴∠NEF＝∠BFM，
又∵∠FNE＝∠BMF＝90°，
∴△ENF∽△FMB，
∴，
∴NE＝＝，
∵MN⊥AB，MN⊥CD，∠C＝90°，
∴四边形BCNM是矩形，
∴CN＝BM＝3，
∴CE＝3﹣＝，
当点F在AB下方时，

同理可求CE＝
故答案为：或．



考点二 菱形的性质与判定

6．菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q．
（1）如图1，若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；
（2）如图2，求证：AQ＝BE+PQ；
（3）如图3，在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6，点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M，点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值．


【解答】（1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
∵AF＝FB，BE＝BF＝2，
∴AB＝4，
∵BE⊥AB，PF⊥AB，
∴∠PFB＝∠ABE＝∠BOE＝90°，
∴∠ABO+∠EBO＝90°，∠EBO+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠PBF，
∴△ABE≌△PFB（ASA），
∴AE＝PB＝＝＝2，
∵S△AEB＝•AB•BE＝•AE•BO，
∴BO＝＝，
∴OD＝OB＝，
∴PD＝PB﹣BD＝2﹣﹣＝．

（2）证明：如图2中，连接DE，EQ，过点E作EK⊥QF于点K，作QJ∥BD交AB于点J，在AB上取一点T，使得PQ＝AT．

由（1）可知，△ABE≌△PFB，
∴AB＝PF，
∵AT＝PQ，
∴BT＝QF，
∵EK⊥PF，PF⊥AB，BE⊥AB，
∴∠EKF＝∠KFB＝∠FBE＝90°，
∴四边形BEKF是矩形，
∵BE＝BF，
∴四边形BEKF是正方形，
∴BF＝KF，
∴FT＝QK，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△ABE，△ADE关于AC对称，
∴∠ABE＝∠ADE＝90°，EB＝ED，
∵∠EDQ＝∠EKQ＝90°，EQ＝EQ，EK＝EB＝ED，
∴Rt△EQK≌Rt△EQD（HL），
∴DQ＝BJ，
∵QJ∥BD，AD＝AB，
∴＝，
∴AQ＝AJ，
∴DQ＝BJ＝QK＝FJ，
∴TJ＝BF＝BE，
∴AQ＝AJ＝AT+TJ＝PA+BE．

（3）解：如图3中，取AB的中点O，连接OD，延长OD到J，使得DJ＝DC，连接CJ

∵BM⊥AP，
∴∠AMB＝90°，
∴点M在以AB为直径的圆上运动，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵AO＝OB，
∴OD⊥AB，
∵AB∥CD，
∴DJ⊥DC，
∵DJ＝DC，
∴△DJC是等腰直角三角形，
过点N作NW⊥CJ于点W，过点O作OW′⊥CJ于W′，交⊙O于点M′，交CD于点N′．
∵NW⊥CW，∠NCW＝45°，
∴NW＝CN，
∴MN+CN＝MN+NW，
∵OM+MN+NW≥OW′，
∴MN+CN的最小值＝OW′﹣OM，
∵△ADB是等边三角形，AB＝6，
∴OD＝3，DJ＝DC＝AB＝6，
∴OJ＝6+3，
∵△OJW′是等腰直角三角形，
∴OW′＝OJ＝3+，
∵OM′＝AB＝3，
∴OW′﹣OM′＝3+﹣3，
∴MN+CN的最小值为3+﹣3．
7．如图所示，在菱形ABCD中，AC是对角线，CD＝CE，连接DE．
（1）若AC＝16，CD＝10，求DE的长．
（2）G是BC上一点，若GC＝GF＝CH且CH⊥GF，垂足为P，求证：DH＝CF．

【解答】（1）解：连接BD交AC于K．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AK＝CK＝8，
在Rt△AKD中，DK＝＝6，
∵CD＝CE，
∴EK＝CE﹣CK＝10﹣8＝2，
在Rt△DKE中，DE＝＝2．

（2）证明：过H作HQ⊥CD于Q，过G作GJ⊥CD于J．
∵CH⊥GF，
∴∠GJF＝∠CQH＝∠GPC＝90°，
∴∠QCH＝∠JGF，
∵CH＝GF，
∴△CQH≌△GJF（AAS），
∴QH＝JF，
∵GC＝GF，
∴∠QCH＝∠JGF＝∠CGJ，CJ＝FJ＝CF，
∵GC＝CH，
∴∠CHG＝∠CGH，
∴∠CDH+∠QCH＝∠HGJ+∠CGJ，
∴∠CDH＝∠HGJ，
∵∠GJF＝∠CQH＝∠GPC＝90°，
∴∠CDH＝∠HGJ＝45°，
∴DH＝QH，
∴DH＝2QH＝CF．

8．如图，在菱形ABCD中，其对角线AC、BD交于点O，以边CD为斜边构造Rt△CDE，连接OE．
（1）如图一，△CDE为等腰三角形，且∠ABC＝60°，OC＝2，求OE的长；
（2）如图一，若△CDE为等腰三角形，求证：OD+OC＝OE；
（3）如图二，若菱形的边长为，BD＝6，OE的中点为H，连接BH，求BH的最大值．

【解答】解：（1）如图一中，过点D作DH⊥OE于H．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC＝OA＝2，AB＝BC＝AD＝CD，
∵∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴CD＝AC＝4，∠ACD＝60°，
∵ED＝EC，∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝∠CDE＝45°，
∵∠DOC＝∠DEC＝90°，
∴∠DOC+∠DEC＝180°，
∴D，O，E，C四点共圆，
∴∠DOE＝∠DCE＝45°，∠DEO＝∠DCO＝60°，
在Rt△ODC中，OD＝CD•sin60°＝2
在Rt△ODH中，DH＝OH＝OD＝，
在Rt△DHE中，EH＝＝，
∴OE＝OH+EH＝+．

（2）如图一（1）中，过点E作EM⊥BD于M，EF⊥AC交AC的延长线于F．

∵∠EMO＝∠MOF＝∠F＝90°，
∴四边形EMOF是矩形，
∴∠MEF＝∠DEC＝90°，
∴∠DEM＝∠CEF，
∵ED＝EC，
∴△EMD≌△EFC（AAS），
∴EM＝EF，DM＝CF，
∴四边形EMOF是正方形，
∴OM＝OF＝EM＝EF，
∴OC+OD＝OF﹣CF+OM+DM＝2OM＝OE，
∴OC+OD＝OE．

（3）如图二中，取CD的中点F，连接OF，取OF的中点J，连接EF，JH，过点O作OM⊥BC于M，过点J作JN⊥BC交BC的延长线于N．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB＝3，AD＝BC＝CD＝，
∴OA＝OC＝＝＝1，
∵DO＝OB，DF＝FC，
∴OF＝BC＝，OF∥BC，
∴OJ＝JF＝，
∵OM⊥BC，
∴S△OBC＝•OB•OC＝•BC•OM，
∴OM＝，BM＝＝＝，
∵OM⊥BC，JN⊥BC，
∴∠OMN＝∠JNM＝∠OJM＝90°，
∴四边形OMNJ是矩形，
∴OM＝JN＝，OJ＝MN＝，
∴BN＝BM+MN＝+＝，
∴BJ＝＝＝，
∵CF＝DF，∠DEC＝90°，
∴EF＝CD＝，
∵OH＝HE，OJ＝JF，
∴JH＝EF＝，
∵BH≤BJ+JH，
∴BH≤+，
∴BH的最大值为+．


考点三 矩形的性质与判定

9．如图1，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．
（1）若BE＝4，CE＝，求AD的长；
（2）如图2，点F是BC上一点，且EF＝EC，过点C作CG⊥EF于点G，交BE于点H，求证：BH＝DE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，当BE＝BC时，请直接写出的值．

【解答】（1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝45°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∵BE＝4，
∴AB＝AE＝4，CD＝AB＝4，
在Rt△CED中，DE＝＝＝1，
∴AD＝AE+DE＝4+1＝5．

（2）证明：过点E作ET⊥BC于T，过点H作HR⊥BC于R．

∵∠A＝∠ABT＝∠BTE＝90°，
∴四边形ABTE是矩形，
∵AB＝AE，
∴四边形ABTE是正方形，
∴∠EBT＝∠BET＝45°，
∵EF＝EC，ET⊥CF，
∴FT＝TC，∠FET＝∠CET，∠EFC＝∠ECF，
∵CG⊥EF，
∴∠CGF＝∠ETC＝90°，
∴∠CFG+∠FCG＝90°，∠CET+∠ECT＝90°，
∴∠GCF＝∠CET，
∵∠CEH＝∠CET+∠BET＝45°+∠CET，∠CHB＝∠CBH+∠HCB＝45°+∠HCB，
∴∠CEH＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵HR⊥BC，
∴∠CRH＝∠ETC＝90°，
在△CRH和△ETC中，
，
∴△CRH≌△ETC（AAS），
∴HR＝CT，
∵∠D＝∠DCT＝∠ETC＝90°，
∴四边形DETC是矩形，
∴DE＝CT＝HR，
∵△BRH是等腰直角三角形，
∴BH＝HR＝DE．

（3）解：过点E作ET⊥BC于T，过点H作HR⊥BC于R，过点G作GM⊥AD于M，GN⊥CD于N．

设AB＝AE＝m，则BE＝BC＝m，
∴DE＝AD﹣AE＝m﹣m，
∴BH＝DE＝2m﹣m，
由（2）可知，∠CEH＝∠CHE＝∠BCE＝45°+∠BCH＝67.5°，
∴∠ECH＝45°，
∵CG⊥EG，
∴GC＝GE，
∵∠MGN＝∠EGC＝90°，
∴∠MGE＝∠NGC，
在△GME和△GNC中，
，
∴△GME≌△GNC（AAS），
∴GM＝GN，
∵GM⊥AD，GN⊥CD，
∴GD平分∠ADC，
∴∠CDG＝45°，
∵BE＝BC，∠CBE＝45°，
∴∠BCE＝67.5°，
∴∠BCH＝22.5°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠DCG＝67.5°，
∴∠DGC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴DG＝DC＝m，
∴＝＝2﹣．
10．如图，在矩形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP．
（1）如图1，以CD为底向内作等腰△CDE，延长DE恰好交CB延长线于点P，交AB于点F，若AF＝5BF，EC＝6，求EF的长；
（2）如图2，若∠APB＝60°，AB＝AD，以CD为边向外作等边△CDF，连接AF，DE平分∠ADC交AF于点E，连接PE．求证：PA+PC＝PE．
【解答】（1）解：∵CE＝DE，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DPC+∠PDC＝90°，
∠ECP+∠ECD＝90°，
∴∠EPC＝∠ECP，
∴PE＝CE＝6，
∴PD＝12，
∵PB∥AD，
∴，
∴PF＝2，DF＝10，
∴EF＝4；
（2）证明：连接CE，

∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵△CDF是等边三角形，
∴∠CDF＝60°，AD＝DF，
∴∠DAF＝15°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴∠AED＝120°，
又∵DE＝DE，
在△ADE和△CDE中，
，
△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠AED＝∠CED＝∠AEC＝120°，AE＝CE，
∵∠APB＝60°，
∴∠APB+∠AEC＝120°，
∴点A、P、C、E四点共圆，
∴∠APE＝∠EPC＝30°，
∴∠PEC＝∠PCE＝75°，
∴PE＝PC，
设PB＝a，则PA＝2a，AB＝BC＝，
∴PA+PC＝2a+a+＝（）＝（BC+PB）＝PC，
∴PA+PC＝PE．



考点四 正方形的性质与判定

11．在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE．
（1）如图1，连接BD，延长BE至点F，使BF＝BD，且AF∥BD，
①若AB＝，求AF的长度；
②如图2，过点D作BF的垂线DG，垂足为点G，交AF于点H，分别延长BA，DH交于点P，连接PE，过点F作FQ⊥BD于Q．求证：BE＝DG+FG；
（2）如图3，延长DC至点R，使CR＝AE，在四边形BCDE内有点M，∠BME＝135°，点N为平面上一点，连接ND，MN，若AB＝5，AE＝1，请直接写出MN+ND+NR的最小值．

【解答】解：（1）①过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G，如图1，

∵四边形ABCD为正方形，AB＝，
∴∠DAG＝∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝90°，BD平分∠ADC和∠ABC，AB＝AD＝，
∴∠ADB＝45°，BD＝，
∵AF∥BD，
∴∠DAF＝∠ADB＝45°，
∴∠GAF＝45°，
∴∠AGF＝∠GAF＝45°，
∴AG＝GF，
不妨设AG＝GF＝x，则BG＝x+，
∵BG2+GF2＝BF2，BF＝BD＝2，
∴，
解得，x＝，或x＝﹣（舍），
∴AF＝AG＝﹣1；
②连接PF和DF，如图2，

∵DG⊥BF，
∴∠DGE＝∠BAE＝90°，
∵∠AEB＝∠DEG，
∴∠ABE＝∠GDE，
∵∠BAE＝∠DAP＝90°，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADP（ASA），
∴BE＝DP，AE＝AP，
设AB＝a，则BF＝BE＝a，
∵AF∥BD，
∴S△FBD＝S△ABD，
∴，
∴FQ＝，
∴sin∠QBF＝，
∴∠QBF＝30°，
∵AF∥BD，
∴∠AFB＝∠DBF＝30°，∠EAF＝∠ADB＝45°，
∴∠EAF＝∠PAF＝45°，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△APF（SAS），
∴∠AFE＝∠AFP＝30°，
∴∠EFP＝60°，
∴PG＝，
∵DG+PG＝DP＝BE，
∴BE＝DG+FG；
（2）将△DNR绕点R顺时针旋转90°得△RPQ，作△BME的外接圆⊙O，连接OM、NP、PQ，连接OQ与⊙O交于M'，连接QR，延长AB与QR的延长线交于点K，过O作OL⊥QR于点L，作OF⊥AB于F，作OG⊥BE于点G，与AB交于点H，连接OA，OB，如图3，则QR＝DR，RK＝BC，KL＝OF，CR＝BK，OL＝FK，

∵OE＝OM＝OB，
∴∠OEM＝∠OME，∠OBM＝∠OMB，
∵∠BME＝135°，
∴∠OEM+∠OBM＝∠OME+∠OMB＝135°，
∴∠BOE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝RK＝6，
∵AE＝CR＝1，
∴QR＝DR＝5+1＝6，BK＝1，
∴BE＝，
∴OG＝BG＝BE＝，OA＝OB＝OM'＝BE＝，
∵∠BGH＝∠BAE＝90°，∠HBG＝∠EBA，
∴△BGH∽△BAE，
∴＝，即＝，
∴GH＝，BH＝，
∴OH＝OG﹣GH＝，
∵∠OFH＝∠BGH＝90°，∠OHF＝∠BHG，
∴△OHF∽△BHG，
∴，即，
∴HF＝，OF＝2，
∴KL＝OF＝2，OL＝FK＝FH+BH+BK＝4，
∴QL＝QR+RK+KL＝13，
∴OQ＝＝＝，
由旋转知，∠PRN＝90°，PR＝RN，PQ＝DN，
∴PN＝，
∵OM+MN+ND+NR＝OM+MN+PN+PQ≥OQ，
∴当O、M、N、P、Q五点共线时，OM+MN+ND+NR＝OQ＝的值最小，
∵OM＝OB＝，
∴MN+ND+NR的最小值为：﹣．
12．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上一动点，且AF＝BE，连接DF，AE交于点G，连接CG．
（1）如图1，若CG＝AD，求证：CE＝AD；
（2）如图2，当点E，F分别在边BC，AB上运动时，在以GC为斜边构造等腰直角△CGH，连接DH，猜想∠HDG的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BH，当BH取得最小值时，请直接写出的值．

【解答】（1）延长DC、AE相交于点K，如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAF＝90°＝∠ABE，
∵AF＝BE，
∴△ADF≌△BAE（SAS），
∴∠ADF＝∠BAE，
∴∠AFG+∠BAE＝∠AFG+∠ADF＝90°，
∴DF⊥AE，
∴∠K+∠CDG＝90°＝∠DGK＝∠CGD+∠CGK，
∵CG＝CD，
∴∠CDG＝∠CGD，
∴∠K＝∠CGK，
∴CK＝CG＝CD＝AB，
又∠CEK＝∠AEB，∠ECK＝∠EBA＝90°，
∴△CEK≌△BAE（AAS），
∴CE＝BE＝BC＝AD；
（2）∠HDG＝45°；证明如下：
连接AC，如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴CA＝CD，∠ACD＝45°，
∵等腰直角△HGC，
∴CG＝CH，∠GCH＝45°，
∴＝＝，∠ACG＝∠DCH，
∴△ACG∽△DCH，
∴∠CHD＝∠CGA＝∠CGH+∠AGD+∠DGH＝135°+∠DGH，
∴∠DHG＝360°﹣∠CHG﹣∠CHD
＝360°﹣90°﹣（135°+∠DGH）
＝135°﹣∠DGH，
∵∠DHG＝180°﹣∠HDG﹣∠DGH，
∴135°﹣∠DGH＝180°﹣∠HDG﹣∠DGH，
∴∠HDG＝45°；
（3）过点C作CN⊥DF于点N，取CD的中点M，以DM为斜边在正方形外作等腰Rt△DOM，过点O作OT⊥BC，交BC的延长线于点T，过点H作HL⊥BC于点L，过点O作OS⊥CD于点S，连接OH、MN、OB，

∵∠CDN+∠ADG＝90°＝∠DAG+∠ADG，
∴∠CDN＝∠DAG，
∵∠CND＝90°＝∠DGA，CD＝DA，
∴△CDN≌△DAG（AAS），
∴DN＝AG，
由（2）可知：∠GDH＝45°，AG＝DH，
∴DN＝DH，∠GDH＝45°＝∠MDO，
∴∠NDM＝∠HDO，
∵DM＝DO，
∴＝＝，
∴△DMN∽△DOH，
∴＝，
∵MN是Rt△CDN斜边上的中线，
∴DM＝MN，
∴OH＝DO＝DM＝CD，
∵TC＝OS＝DM＝CD，
∴OT＝CS＝CD，BT＝CD，
∴OB＝＝CD，
∴BH≥OB﹣OH＝CD，
故当BH取得最小值时，B、H、O共线，
此时由HL∥OT，可得：
＝＝，
即：＝，
∴＝，
∴＝＝•＝．