四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高二下学期期中考试 数学试卷

这是一份四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高二下学期期中考试 数学试卷，共14页。
选择题：共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每题所给出的四个选项中，只有一项是正确的.
设 S 是等差数列a 的前 n 项和，若 S  4 ， a  a  a  6 ，则 S9  （）
S
nn
919
B.
510
3456
6
419
C. D.
36
【答案】A
解析：由 Sn 是等差数列an的前 n 项和，则 S3, S6  S3, S9  S6 成等差数列，
因为 S3  4 ， a4  a5  a6  6 ，所以 S3  S9  S6  2 S6  S3  ， S6  6  4  10 ，
所以4  S 10  2  6 ，所以 S  18 ，所以 S9  18  9 .
S
6
9
故选：A.
9105
要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（）
A. 10B. 8C. 6D. 5
【答案】C
解析：依题意，在左边并联的两个开关中任取 1 个合上，再在右边并联的三个开关中任取 1 个合上，电路正常工作，
所以不同方法种数为2  3  6 .
故选：C.
公差不为零的等差数列an的首项为1, a3  3 ，则an的公差为（）
A. 2B. 4C. 2
【答案】C
解析：因为等差数列an的首项为1, a3  3 ，
所以a 的公差为 d  3 1  2 ，
D. 4
n
故选：C.
3 1
某中学有教职工 140 人，其中 35 岁及以上的有 40 人，从这 140 名教职工中随机抽取一人，则抽到 35 岁以下教职工的概率为（）
65
B. C.
77
32
7D. 7
【答案】B
解析：由题意，抽到 35 岁以下教职工的概率为140  40  5 .
1407
故选：B.
 2 
已知函数 f  x  x cs x  sin x ，则 f  π  的值为（）

π
2
【答案】B
 π 2
1
−π
解析：由已知 f (x)  cs x  x sin x  cs x  x sin x ，
 ππππ
所以 f ()   sin   ，
2222
故选：B.
432101234
设( 2x 1) 4  a x4  a x3  a x2  a x  a ，则a  a  a  a  （）
1
0C. 1D. 2
【答案】B
43210
解析：依题意， 2x 14  a x4  a x3  a x2  a x  a ，
令 x  0 ，得 a0  1 ；
令 x  1 ，得 a0  a1  a2  a3  a4  1 ，所以 a1  a2  a3  a4  0 .
故选：B.
1 3 x
函数 f  x  sin 4x 的部分图象大致为（）
A.B.
C.D.
【答案】A
解析：当 x  0 时， f 0  0 ， f 2  sin 8  sin 8   sin 8  0 ，故选 A.
1 321010
已知当 x  0 时， xex  2x  a  2lnx 恒成立，则实数 a 的取值范围为（）
A. ,1
C. , 2 ln 2
【答案】D
B. , 2  2ln2
D. , 2  2ln2
解析：设 f  x  xex  2 ln x  2x  eln xx  2 ln x  x ，则 f  x  a 对任意 x 0,  恒成立，设t  ln x  x ，则t  R ，且 f  x  et  2t ，
设 g t   et  2t ，则 gt   et  2 ，
所以 g t  在, ln 2 上是减函数，在ln 2,  上是增函数，所以 g t   g ln 2  2  2 ln 2 ，
所以 g t  的最小值为2  2 ln 2 ，即 f  x 的最小值为2  2 ln 2 ，所以 a  2  2 ln 2 .
故选：D．
选择题：共 3 小题，每小题 6 分，满分 18 分.在每题所给出的四个选项中，有多项是正确的，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
已知等比数列an， a1  2 ， q  3 ，则（）
 1 
数列 a  是等比数列
 n 
数列 1  的前 n 和是3  1
 a 
3n1
 n 
数列lg2an 是等差数列
数列lg2an 的前 10 项和是45lg2 3
【答案】AC
n
解析：由题可得 a  2  3n1 ，
1 1 1 
111
 1 
2 3n 3 1 
则 
n1 ，所以数列 是等比数列，故 A 正确； S
   1
，故 B 不正确；
an23a
n14 3n 
 n 
1 
3
2 n22
已知lg a  lg 2  3n1  n 1lg 3 1，
lg2an1  lg2an  nlg2 3  1  n  1lg2 3  1  lg2 3 ，故lg2an 是等差数列，故 C 正确；
则T  10 1 10  9 lg 3  10  45lg 3，故 D 错误.
10
故选：AC.
222
下列说法正确的有（）
某小组有 8 名男生，4 名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有 12 种
某小组有 3 名男生，4 名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有 42 种
两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有 6 节车厢，两人乘坐车厢的方法共有 36 种
甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法有 82 种
【答案】AC
解析：对于 A，某小组有 8 名男生，4 名女生，要从中选取一名当组长，
12
不同的选法有C1  12 种,故 A 正确；
7
对于 B，某小组有 3 名男生，4 名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有C2  21 种，故 B 错误；
对于 C，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有 6 节车厢，两人乘坐车厢的方法共有6  6  36 种，故 C 正确；
3
对于 D，先排列丙、丁、戊有A3 种排法，再让甲、乙去插空位，
有A2 种排法，则甲乙不相邻的排法有A3A2  72 种,故 D 错误.
43 4
故选：AC.
​

2

 1
6
x
 的展开式中，下列说法正确的是（）
x

A. 展开式共有 6 项B. 各二项式系数之和为 64
C. 展开式中 x2 项的系数为192
【答案】BC
D. 展开式中系数最大的项为 70x
解析：对于 A，由二项式展开式的性质可得，展开式共有 7 项，故 A 错误；对于 B，各二项式系数之和为26  64 ，故 B 正确；
对于 C，通项为T
 Cr 2
x 6r  
1   1r Cr 26r x3r ，
x
r
r 166

6
6
令3  r  2  r  1，代入可得展开式中 x2 项的系数为C1 25  192 ，故 C 正确；对于 D，由通项可得，当r  2 时， C2 24 x  240x ，故 D 错误；
故选：BC.
填空题：共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分.
5
A2  .
【答案】20
5
解析： A2  5 4  20 .
故答案为： 20 .
若数列an为等比数列，且 a1 ， a5 是方程 x2 16x  4  0 的两个根，则 a3  .
【答案】 2
解析：由题意得， a1  a5  4 ， a1  a5  16 ，故a1  0 ， a5  0 ，
因为{a }为等比数列，所以 a2  a a  4 ，解得 a  2 ，
n31 53
又因为 a  0 ， a  a q2 ，所以a 与 a 同号，即 a  0 ，
131313
故 a3  2 .
故答案为： 2 .
设函数 f (x) 的导函数 f (x)  x3  3x  2 ，则 f (x) 的极值点是．
【答案】 2
解析：令 f (x)  (x 1)2 (x  2)  0 ，解得： x  1, x  2
由于在 x  1
附近导函数符号不变，
所以 x  1 不是极值点；
由于在 x  2
附近导函数符号由负变正，
所以 x  2 是极值点，即 f  x 的极值点是2 .
故答案为： 2 .
解答题：共 5 小题，满分 77 分.解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述.
某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分 A，B，C 三大类，其中 A类有 3 个项目，每项需花费 2 小时，B 类有 3 个项目，每项需花费 3 小时，C 类有 2 个项目，每项需花费 1小时．要求每位员工从中随机选择 3 个项目，每个项目的选择机会均等．
求小张在三类中各选 1 个项目的概率；
设小张所选 3 个项目花费的总时间为 X 小时，求 X 的分布列．
C1C1C19
解：（1）记事件 M 为“在三类中各选 1 个项目”，则 P M   3 3 2 ，
C
8
328
9
所以小张在三类中各选 1 个项目的概率为．
28
（2）由题知 X 的所有可能取值为 4，5，6，7，8，9，
C2C13C2C1  C2C19
则 P( X  4)  2 3 ， P( X  5)  2 33 2 ，
C
C
8
8
356356
C1 C1C1  C319C2C1  C2C115
8
P( X  6)  2 3 33 ， P( X  7)  3 23 3 ，
C
C
8
356
C2C19
356
C31
8
P( X  8)  3 3 ， P( X  9)  3 ．
C
C
8
356
所以 X 的分布列为
356
已知数列a 的前 n 项和为 S ， S  3 a 1n  N*  ．
X
4
5
6
7
8
9
P
3
56
9
56
19
56
15
56
9
56
1
56
nn
求数列an的通项公式；
n2n
在 a 与 a
之间插入 n 个数，使这 n 
3nn
nn1
2 个数组成一个公差为
50
的等差数列，求．
解：（1）因为 S  3 a 1n  N*  ，
n2n
当n  1 时， S  3 a 1  a ，所以a  3 ，
12111
当 n  2 时， S 3 a1 ，
n12n1
所以 a  S  S 3 a 1  3 a1 ，整理得 a  3a，
nnn12n
2n1
nn1
所以数列an是以 3 为首项，公比为 3 的等比数列，所以数列an的通项公式为 an  3n ;
（2）因为 an  3n , an1  3n1 ，
由题意得： 3n1 
n  3n ，即3  1 (n 1)  1 ，
所以 n  99 .
3(n 1)
5050
已知函数 f  x  ax3  bx  2 在 x  1 处取得极值2 ．
求 a, b 的值；
求曲线 y 
f  x 在点0, f 0 处的切线方程；
求函数 f  x 在0, 2 上的最值．
解：（1） Q f  x  3ax2  b ， f  x 在 x  1 处取得极值2 ，

  f 1  a  b  2  2 ，解得： a  2 ；

 f 1  3a  b  0
b  6
当 a  2 ， b  6 时， f  x  6x2  6  6  x 1 x 1 ，
当 x , 1 1,  时， f  x  0 ；当 x 1,1 时， f  x  0 ；
\ f ( x) 在∞, 1 ， 1,  上单调递减，在1,1 上单调递增，
 x  1是 f  x 的极小值点，满足题意；综上所述： a  2 ， b  6 .
由（1）得： f  x  6x2  6 ， f  x  2x3  6x  2 ， f 0  6 ， f 0  2 ，
 y 
f  x 在点0, f 0 处的切线方程为： y  2  6  x  0 ，即6x  y  2  0 .
由（1）知： f  x 在∞, 1 ， 1,  上单调递减，在1,1 上单调递增；
max
 f  x f 1  2  6  2  6 ，
min
又 f 0  2 ， f 2  2  8  6  2  2  2 ， f  x f 2  2 ，
\ f ( x) 在0, 2 上的最大值为6 ，最小值为2 .
已 知 正 项 数 列 an的 首 项 为 7 ， 且
nn
4n1  4
2
a
n1
 3an1
 a2  3a
， 数 列 bn满 足
b1  4 ，
b1  b2  b3 L bn 3．
求an和bn的通项公式；
求数列an  bn 的前 n 项和 Sn ；
an
n
n
设cn ，T 为数列c  的前 n 项和，若对任意 n  N* ，T
 1 m2  3 m 恒成立，求出T
n n 1bn
n22n
与实数 m 的取值范围．
解：（1）因为 a2  3a a2  3a ，所以a a a a  3  0 ．
n1
n1nn
n1
nn1n
因为 an  0 ，所以 an1  an  3  0 ，即an1  an  3 ．又 a1  7 ，所以an是首项为 7，公差为 3 的等差数列．
4n1  4
因为b1  b2  b3 L bn 
，①
3
4n  4
所以当 n  2 时， b1  b2  b3 L bn1 3，②
1
n
①-②得bn  4n , b  4 也满足b = 4n ．
n
故an的通项公式为an  3n  4,bn的通项公式为b = 4n ．
7  3n  4n
41 4n 
3n2  11n
4n1  4
由（1）知a  b  3n  4  4n ，所以 S 
nnn
21 423
因为c an 3n  4 11，
n
nn n 1bn n 1 4nn  4n1n 1 4n
所以T
 11
11
L11
 11，
n2  42  43 42
n  4n1
n 1 4n
n 1 4n
当n  1 时， T 取得最小值 7 ．
n
因为对任意n  N*,T
8
 1 m2  3 m 恒成立，所以 7  1 m2  3 m ，
n22
822
整理得4m2 12m  7  2m  72m 1  0 ，解得 m   1 , 7  ．

已知函数 f  x  3x3  ax  b 在 x  1 处取得极值1.
求实数 a, b 的值；
求 f  x 在区间2,2 上的最大值和最小值.
2 2 
若方程3x3  ax  b  k  0 k  R  有三个不同的实数根，求实数 k 的取值范围.解：（1） f  x  3x3  ax  b ，则 f '  x  9x2  a ，
因函数 f  x  3x3  ax  b 在 x  1 处取得极值1，
 f 1  3  a  b  1

则 f 1  9  a  0
a  9

，得，
b  5
此时 f  x  3x3  9x  5 ， f '  x  9x2  9 ，
f '  x  0 得 x  1或 x  1 ， f '  x  0 得1  x  1，
则 f  x 在∞, 1 和1,  上单调递增，在1,1 上单调递减，故 f  x 在 x  1 处取得极小值，故 a  9, b  5 .
由（1）可知 f  x 在2, 1 和1, 2 上单调递增，在1,1 上单调递减，而
f 2  1, f 1  11, f 1  1, f 2  11 ，则 f  x 在区间2,2 上的最大值为11和最小值1.
令 g  x  3x3  9x  5  k ，则 g '  x  f '  x  9x2  9 ，
则 y  g  x 与 y  f  x 单调性相同，
因方程3x3  ax  b  k  0 k  R  有三个不同的实数根，
g 1  11 k  0

则g 1  1 k  0 ，得1  k  11，