四川字节精准教育联盟2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试卷（Word版附解析）

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一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：若复数满足，
则，
故复数的虚部为.
2. 已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）．比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为（ ）
A. 450B. 480C. 504D. 618
【答案】C
解析：由题意，若甲不是最后一名，有种不同的方法；
若甲不是第一名也不是最后一名，则，
所以6人的名次排列的不同方法的种数为中不同的排列方法.
故选：C.
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
解析：当时，，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立．
综上所述，“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
4. 下列求导数计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解析：解：A．，正确，不符合题意；
B．，错误，符合题意；
C．，正确，不符合题意；
D．，正确，不符合题意．
故选：B．
5. 由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有个.
A. 14B. 16C. 18D. 20
【答案】D
解析：根据能被3整除的三位数的特征，可以进行分类，共分以下四类：
（1）由0，1，2三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数；
（2）由0，2，4三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数；
（3）由1，2，3三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数；
（4）由2，3，4三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数，所以由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有个数.
6. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：由，得，即，
将，代入上式可得：，即，
根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为，
则.
故选：B.
7. 若双曲线：，，分别为左､右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 点的运动轨迹为双曲线的一部分
C. 若，，则
D. 不存在点，使得取得最小值
【答案】C
解析：由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误；
设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得，
由双曲线的定义可得：，即，
又，解得，则的横坐标为，
由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误；
由且，解得：，
∴，则，
∴，同理可得：，
设直线，直线，联立方程得，
设△的内切圆的半径为，则，解得，即，
∴，
由，可得，解得，故， C正确；
若与关于y轴对称，则且，而，
∴，故要使的最小，只需三点共线即可，
易知：，故存在使得取最小值，D错误.
故选：C.
8. 在数列中，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：在数列中，由，得，
则当时，
，
因此，显然满足上式，
所以.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 和是同一个函数
B. 不等式的解集是
C. 若命题为假命题，则实数的取值范围为
D. 设，且，则的最小值是
【答案】AD
解析：对于A和定义域为，且，是同一个函数，故A正确；
对于B，不等式，即，即，
解得，
即不等式的解集是，故B错误；
对于C，若命题为假命题，
则为真命题
若，则原不等式可化为，在上恒成立；
若，因为不等式的解集为，
所以，
解得，解得：，
综上实数的取值范围为，故C错误；
对于D，因为，由，
因，所以，当且仅当时，等号成立，
即的最小值是，故D正确．
故选：AD
10. 已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A.
B.
C. 函数在区间上单调递增
D. 曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为4π
【答案】BC
解析：对于A，由题意得的最小正周期为，则，解得，
则，将的图象向右平移个单位长度，
得到，
因为，所以，故A错误，
对于B，由题意得，故B正确，
对于C，令，
解得，当时，，
则函数在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，故C正确，
对于D，结合正弦函数性质可得，函数在一个完整周期内，
则曲线与直线，，所围成封闭图形的面积转化如下，
变为一个长为，宽为2的矩形的面积，由矩形面积公式得，故D错误.
故选：BC
11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（ ）
A. 若为棱的中点，则平面截正方体所得截面为梯形
B. 若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值
C. 若为的中点，则平面
D. 若为侧面的中心，则过且与垂直的平面截正方体所得截面面积为
【答案】ABD
解析：连接并延长交于，连接并延长，易得交于，连接，得截面，易得四边形为梯形（如图1），故A正确；
若为上一点，如图2因为，易证平面，所以点到平面的距离不变，
又的面积固定不变，所以三棱锥，即三棱锥的体积为定值，故B正确；
如图3，取的中点，连接，则，显然平面即为平面，且与平面相交，故C错误；
如图4，若为的中心，即为的中点，取的中点，连接，则.
易证，所以，又平面，所以平面，所以，
同理可证，进而可证平面，所以过且与垂直的平面截正方体所得截面为，
易求，所以的面积为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知双曲线，在双曲线右支上任意一点处作双曲线的切线，交在第一、四象限的渐近线分别于，两点，为坐标原点.当时，该双曲线的离心率为________________.
【答案】
解析：如图，设双曲线在点处的切线为，切线与轴交于点，

根据题意设点在双曲线第一象限，由，得，
所以，
则在点处的切线斜率为，
所以在点的切线方程为，
令，得，所以点.
设点，，渐近线方程为，联立，
解得，所以点，
同理可得，
又，，所以点是线段的中点，
所以，即得，
即，解得.
又，所以，即，所以双曲线的离心率
故答案为：
13. 在四面体中，为正三角形，平面且，若A，B，C，D均在半径为4的球O的球面上，则四面体的体积为________．
【答案】##
解析：由题作出图象，如图，由为正三角形，则为的外接圆圆心，
且外接圆半径，
因，，，都在同一外接球上，则设外接球半径为，
因为平面取中点为，过作，且使，
连接，则可得四边形是矩形，则点即为外接球球心，
则，即，
所以，则.
故答案为：.
14. 现定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与互为“零度函数”.已知函数与在区间上互为“零度函数”，则的取值范围为_____________.
【答案】
解析：令，则，
因为与在上为“零度函数”，所以在上存在零点，
即在上存在零点．又因为，
当且时，因为，所以，所以在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意；
当时，当时，，所以，
当时，令，则，
所以在上单调递增，且，故在上存在唯一零点，设为，使得，
所以当时，；当时，；
又当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上存在唯一极小值点，
因为，所以，又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上为“零度函数”．
综上，的取值范围是．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．其中15题13分，16~17题各15分，18~19题各17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角的对边分别为，，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
（1）
因为，由正弦定理可得，
且，即，
又因，则，可得，
且，所以；
则，可得，
又因为，所以.
（2）
因为，，
则，
又因为，则，
所以.
16. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间及极值；
（3）若集合恰有一个元素，直接写出的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
极小值为，极大值为.
（3）或
（1）
因为函数，对函数求导得.
所以，因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）
令，则或.
当时，因为，所以，此时在上单调递增；
当时，因为，所以或，此时在，上单调递减；
所以在处取得极小值为，
在处取得极大值为.
（3）
因为集合恰有一个元素，即只有一个根.
也就是说函数与只有一个交点.
由（2）可画出函数的图象如下所示，

因为，时，，
所以根据图象可以得出当或时，集合恰有一个元素.
17. 已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列通项公式及前项和；
（3）记，，证明：．
【答案】（1）
（2），
（3）证明见解析
（1）
设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，
所以，或，
当时，：，，，显然，，成等比数列，
当时，，，，显然，，不能成等比数列，
所以，于是；
（2）
令，
，
两式相减，得，
因为等差数列的公差为，且，
所以，
即，即，
，所以数列的前项和，
当时，，
显然不适合，所以；
（3）
，即，
由，
于是
.
18. 如图，在平面四边形ABCD中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿AC翻折至，形成三棱锥，其中S为动点．

（1）证明：；
（2）若，求三棱锥的体积；
（3）求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
（1）
取的中点，连接，，
因为，，且的中点为，所以，，
又，，平面，故平面，
由于平面，故．
（2）
当时，由，则，
因为，，故，，，
所以，由于，故，
设三棱锥高为，
所以，三棱锥体积为．
（3）
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
过点S作平面的垂线，垂足为，连接，

设为翻折过程中所旋转的角度，则，
，，，
故，，，，
，则，
设平面的法向量为，则，
，
取，则，所以，
设平面的法向量，，，则，
，
取，则，，
设平面与平面的夹角为，
故，
，
令，，故，
由于，故，当且仅当，即时取等号，故平面与平面夹角余弦值的最小值为．
方法二：以E点为原点建立如图所示的空间坐标系，

设，，，，，则，，，
设面法向量，则，
，
令，，
同理可得面法向量，
，
令，

因为，其中取“=”，即此时，所以．
19. 已知椭圆上有一点为的左、右焦点，连，若焦距为2，其三角形面积的最大值为，试回答下列问题
（1）求的标准方程以及离心率
（2）作直线的交点，已知有动直线交椭圆于C、D两点（在点的右边），设点，点的纵坐标分别为，且.设为左顶点，连RC，RD交于G、T两点（在的右边），若，则试证明过定点．
【答案】（1），离心率为 （2）证明见解析
（1）
由题意知，得.
当A为椭圆E的上下顶点时，的面积取到最大值，
即，解得，所以，
所以椭圆E的标准方程为，离心率为.
（2）
由题意知，设，得，
则直线斜率存在，当直线的斜率为0时，，
直线方程为，直线方程为，
令，得，
所以，
则，
解得，此时的方程为，不符合题意.
当直线的斜率不为0时，设，
，消去x，得，
则，
得，
.
直线方程为，直线方程为，
令，得，
所以，
则
，
解得，所以，即，
所以直线恒过定点.