华东师大版（2024）八年级上册（2024）1. 直角三角形三边的关系教案

这是一份华东师大版（2024）八年级上册（2024）1. 直角三角形三边的关系教案，共10页。教案主要包含了提出问题，深入探究，抽象概括，深化定理，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
课标
要求
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
教材
分析
本节内容包括勾股定理的推导和简单应用。
勾股定理是几何中的重要定理之一，本章通过学习勾股定理，一方面可以揭示直角三角形三条边之间的数量关系，另一方面为后续研究勾股定理逆定理、学习反证法作铺垫，进而应用定理解决各种有趣的问题，加深对直角三角形的认识。
本节课从探究特殊的等腰直角三角形的三边关系出发，到网格中的直角三角形的三边关系，再到一般的直角三角形的三边关系，体现了从特殊到一般的研究方法，并利用数形结合的思想通过研究正方形面积之间的关系得到直角三角形三边之间的关系，最终归纳出规律并进行验证得到勾股定理。
教科书在证明勾股定理时采用了我国三国时期的数学家赵爽的证法，这种证法比其他国家早出现几百年，并在国际上得到肯定。这种方法直观、简洁，体现了我国古代几何学的思想方法。
学情
分析
八年级学生已经具备分析和归纳问题的能力，但借助图形解决代数中有关数量关系问题的能力较弱，故很难想到利用面积法探索直角三角形三边的关系。
教师需要从简单到复杂设置问题，先从特殊的等腰直角三角形和网格中的直角三角形入手，引导学生归纳出规律，探究对于一般的直角三角形规律是否成立。最后验证发现的规律，其中验证方法多种多样，既可以延续先前的证明方法通过割补寻找正方形面积关系来验证，也可以通过拼图寻找直角三角形面积与正方形面积关系来验证，这符合学生认知发展的规律。面积法为学生解决今后的一些代数问题提供思路，同时通过介绍赵爽的证明方法可以增加学生的文化自信。
教学
目标
1.经历从特殊的等腰直角三角形到网格中的直角三角形三边关系探究过程，并归纳出规律，能够独立验证勾股定理；掌握勾股定理，并应用勾股定理进行简单计算、解决一些实际问题。
2.学生在观察、归纳、猜想并验证勾股定理的过程中发展逻辑推理的能力，体会从特殊到一般、数形结合的思想，学会培养先猜后证，数学猜想的创新思维。
3.验证勾股定理的方法多种多样，学生可通过实践操作培养动手能力并增强创新意识；通过了解我国古代数学家的证明方法增强文化自信和对数学学习的热情；感受蕴含数形结合思想的面积法在解决代数问题时的直观和简洁。
重点
难点
重点：探究并验证勾股定理的过程；掌握勾股定理并应用定理进行简单计算、解决一些实际问题。
难点：利用面积法证明勾股定理。
使用资源及
教、学具
2022年版课标、华东师大版初中数学新教材八年级上册、几何画板、每个同学准备4个剪好的边长分别为5cm、12cm、13cm的直角三角形、PPT。
教学方法
讲解法、演示法、练习法
教 学 过 程
教学内容
学生活动及设计意图
一、提出问题、引入课题
我们知道直角三角形的一个角为直角，另外两个锐角互余。那么直角三角形的三条边之间是否存在某种关系呢?
问题1 观察下图正方形瓷砖铺成的地面。
（1）观察图中着色的三个正方形P、Q、R，它们的面积有何关系?
（2）根据得到的正方形P、Q、R的面积关系，你能推导出等腰直角三角形ABC三边关系吗?
（3）小组合作讨论试着用文字语言描述（2）中你得到的关系。
二、深入探究、发现规律
基于上述结果，自然想到在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？
问题2 观察下图，每一小方格表示1cm2.
（1）正方形P的面积= cm2；正方形Q的面积= cm2；正方形R的面积= cm2；正方形P、Q、R的面积之间的关系是?
（2）根据（1）得出Rt的三边长之间存在的关系是？
（3）小组合作讨论试着用文字语言描述（2）中你得到的关系
（4）拿出一个课前准备好的两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，再用刻度尺量出斜边的长，验证（3）中的关系式对于这个直角三角形是否成立。
二、先猜后证、验证定理
由特殊到一般我们研究了等腰直角三角形、网格中的直角三角形三边关系，那对于不在网格中，即任意的一个直角三角形，三边长之间是否都有这样的关系呢？
问题3 同学们以小组为单位可以试着拼接课前准备的四个直角三角形来验证猜想，也可以类比上述探究过程验证猜想，也或者利用其它方法验证猜想。
注意：教师在介绍第二种拼图方法时为让学生更直观感受对于任意直角三角形，该规律都成立，可以借助几何画板展示出动态变化过程。
上述动态过程说明对于任意的直角三角形，②证明过程均成立，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
注意：1.由于证明方法较多，教师可挑选使用不同证明方法的小组上台展示，并让小组代表进行讲解说明，必要时教师进行补充说明。
上台顺序可以根据右侧展示的方法进行分类，属于同一种方法的连续展示，再展示另一种方法。
2.教师在学生展示所有证明方法后应总结出几种证明方法可统称为“面积法”，一种是找到三角形和正方形面积之间的关系，另一种是找到正方形与正方形面积之间的关系。
三、抽象概括、得到定理
由上述探索与验证过程，可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为，斜边为，那么一定有
这种关系，我们称之为勾股定理。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
四、深化定理、简单应用
考察应用勾股定理已知两边求第三边
例1 在Rt中，，，.求的长.
解 根据勾股定理，可得，
所以
结论：1.运用勾股定理时，需注意两个条件：一是为直角三角形；二是确定好直角边和斜边。在式子中，和是直角边，是斜边。
2.此题可变式为已知斜边长和一条直角边长，求另一直角边长。
即将定理变形为、.
考察列方程应用勾股定理
例2 如图，Rt的斜边比直角边长2cm，另一条直角边的长为6cm.求的长。


解 由已知，cm，根据勾股定理，可得
，
解得cm.
结论：类似此题的直角三角形，只给出一条边长不能直接应用勾股定理求出其他边长时，考虑列方程求解。
考察在实际问题中应用勾股定理
例3 如图，为了求出位于湖两岸的点之间的距离，一名观测者在点处设桩，使恰好为直角三角形。通过测量，得到的长为160m，的长为128m.问：从点穿过湖到点有多远？
解 如图
在Rt中，m，m，根据勾股定理，可得
(m).
答:从点穿过湖到点有96m.
结论：利用勾股定理可解决实际问题，先抽象出对应的直角三角形，找到已知边和所求边，再利用勾股定理求解，最终解决实际问题。
五、课堂小结、能力培养
知识方法
1.利用由特殊到一般的数学思想，先探究等腰直角三角形和网格中直角三角形三边的关系，再猜想一般直角三角形的三边关系并验证。
2.验证时利用数形结合的思想，通过面积法可得到多种证明方式，一种是类比先前的证法，另一种则是动手拼接。
3.通过推理和抽象可概括出一般直角三角形的三边关系，即为勾股定理。
核心素养
抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识。
学情预设：（1）学生先独立思考，然后小组交流可发现正方形P包含1个方格、正方形Q包含1个方格、正方形R包含2个方格。故得到1个方格面积，1个方格面积，2个方格面积。.
（2）学生通过观察图形可发现，，.根据（1）的关系自然得到
（3）每个小组均派代表进行发言，预设均可描述出关系，但可能出现语言不规范的情况。最后，教师要进行总结，归纳出准确的文字语言。在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
设计意图：从探究最直观特殊的网格中等腰直角三角形的三边关系入手，进而引导学生思考网格中一般的直角三角形三边关系，利用计算面积的方法数形结合为后续验证猜想作铺垫。
学情预设：（1）学生通过数格子可得到三个正方形的面积，找三名学生回答9cm2；
16cm2；25cm2.故可得.
（2）学生通过观察图形可发现，，.根据（1）的关系自然得到
（3）小组交流讨论，每个小组均派代表进行发言，预设均可描述出关系。在问题1的研究后，学生基本可以准确地描述出关系。最后，教师要进行总结，归纳出准确的文字语言。在网格中的直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
（4）每个学生先独立用刻度尺测量斜边的长度，再验证是否满足（3）的关系式，组内交流讨论结果。教师巡视每个小组的结果，最终预设出现两种情况：一种是计算后发现（3）中关系式对于这个直角三角形仍成立；另一种则是由于测量出现误差或准备的直角三角形边长不符合条件导致上述关系式不成立。
设计意图：类比问题1的探究过程，仍利用计算面积的方法数形结合探究直观网格中的一般直角三角形三边关系，发现归纳得到的直角三角形三边关系仍然成立。再利用一个已知的直角三角形让学生验证了上述关系，初步感知规律，为后续猜想验证作铺垫。
学情预设：学生基于先前的两个探究过程可大胆猜测对于任意的一个直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方。只需对猜想进行验证即可。
学生以小组形式交流讨论，根据教师提示的两种思路大致可分为两种验证猜想的方法：
（1）将课前准备的四个直角三角形拼接为一个大正方形，寻找三角形和正方形面积之间的关系。
不妨设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为.预设可能出现以下两种拼图方式：
①

学生可能会仿照书中拼图方式得到上图，此图与本章导入语提到的会标中的会徽一致。学生通过观察图形可发现：
.
.
化简可得
②
学生在拼图时也可能出现上述情况，仍然通过观察图形可发现：
.
化简可得
（2）类比先前的探究过程构造正方形并寻找正方形与正方形面积之间的关系。
不妨设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为.学生用直角三角形的三条边可构造出三个正方形，再通过割或补来求出每个正方形的面积。
预设可能出现以下两种方法：
①“割”
学生观察图形后可得，
②“补”
学生观察图形后可得，
设计意图：利用面积法证明猜想时可以类比先前的研究方法，也可以通过动手实践拼图寻找面积关系。将数的问题与形的问题结合在一起，最后通过推理验证猜想的正确性，体现了从特殊到一般、数形结合的数学思想，培养学生推理和抽象的能力。
学情预设：教师抽象出定理后，学生阅读教材121页读一读部分了解勾股定理名字的由来，包括什么是“勾”、“股”、“弦”。
上节课的一项作业为查找资料关于数学家赵爽的成就，以及什么是“弦图”。请几位同学上台展示自己查找的结果并为大家讲解。
设计意图：勾股定理涉及部分数学史的内容，学生可以独立查阅资料进行自学，容易激发学生对数学的兴趣。同时学生在了解赵爽的伟大数学成就后能够增加文化自信和民族自豪感。
学情预设：一些学生习惯性将视为直角，未审清题意直接列出式子,
导致出错。教师可提示学生是直角，为斜边，可列式子为.
学生先独立完成再组内交流，教师需将完整过程书写在黑板上。
学情预设：与例1不同的是本题只有一条边已知，无法直接应用勾股定理，部分学生可能没有解题头绪；也有部分学生分析出直角边的关系后想到列方程再应用勾股定理。
学生先独立完成再组内交流，教师需将完整过程书写在黑板上。
学情预设：学生需将实际问题转化为数学问题，抽象出直角三角形，转化为例1已知两边求另一边的题型，再利用勾股定理求解，最终解决实际问题。
学生先独立完成再组内交流，教师需将完整过程书写在黑板上。
设计意图：主要考察学生对勾股定理的掌握和应用情况。对于一些实际问题需借助方程或抽象直角三角形，再利用勾股定理解决，让学生体会抽象、模型的思想。在练习的过程中培养学生运算能力和应用意识，符合课标要求。
学情预设：可以让学生回顾一下本节课学到的知识和方法，以及自己的一些感悟。
设计意图：通过回顾本节课的知识探究过程，帮助学生体会由特殊到一般、数形结合等数学思想，以及学会解决问题的研究方法。让学生掌握知识和方法的同时发展抽象、推理、类比等能力。
板书
作业
13.1.1直角三角形三边的关系
1.勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何语言：
如图，在Rt中，，，，，所以


2.例题
例1
例2
基础性作业：
在作业本上完成教材122页、123页练习；
拓展性作业：
利用面积法的证明方法还有很多种，除了拼成正方形，还可以拼成其他形状证明。查阅资料找一找勾股定理还有哪些证明方法？还有什么相关的有趣知识吗？将上述内容写成一份报告上交。