初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）第13章 勾股定理13.1 勾股定理及其逆定理1. 直角三角形三边的关系精品ppt课件

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国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议.2002 年在北京召开了第 24 届国际数学家大会.如图就是大会的会徽的图案.
它由哪些基本图形组成？
小优去朋友家做客，看到她朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
观察右边地面的图形，猜想小优发现了什么？
1. 观察正方形瓷砖铺成的地面，如果每一个小方格表示 1 cm2，那么可以得到：
(1) 正方形 P 的面积是 cm2；
(2) 正方形 Q 的面积是 cm2；
(3) 正方形 R 的面积是 cm2.
SP + SQ = SR
2.上面三个正方形的面积之间有什么关系？
AC 2 + BC 2 = AB 2
3.等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？
Sp = AC2 SQ = BC2 SR = AB2
总结：在等腰直角三角形 ABC 中，两直角边的平方和等于斜边的平方.
思考 那么，在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？
把 R 看作是四个直角三角形的面积 + 小正方形面积.
这两幅图中Q，P 的面积都好求，该怎样求 R 的面积呢？
把 R 看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.
BC2 + AC2 = AB2
分别以 5 cm、12 cm 为直角三角形的直角边作出一个直角三角形 ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
∵ S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
∴ S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理.
大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为 .
即 a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab，
∴ a2 + b2 = c2.
对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么一定有 a2 + b2 = c2 .
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：∵ 在 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，∴ a2 + b2 = c2（勾股定理）.
例1 在Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = 6，BC = 8. 求 AC 的长.
解 根据勾股定理，可得AB² + BC² = AC².
总结：应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长，可以求出第三边的长.
1. 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度.
100+225=325
x2+152=172,x=8
例2 如图，Rt△ABC 的斜边 AC 比直角边 AB 长 2 cm，另一条直角边 BC 的长为 6 cm. 求 AC 的长.
解：由已知 AB = AC－2，BC = 6 cm，根据勾股定理，可得AB² + BC² = (AC－2)² + 6² = AC²，解得 AC = 10 (cm).
例3 如图，为了求出位于湖两岸的点 A、B 之间的距离，一名观测者在点 C 处设桩，使△ABC 恰好为直角三角形，通过测量，得到 AC 的长为 160 m，BC 的长为 128 m. 问：从点 A 穿过湖到点 B 有多远？
解 如图，在Rt△ABC 中，AC = 160 m，BC = 128 m，根据勾股定理，可得
答：从点 A 穿过湖到点 B 有 96 m.
1. 【思维生长】测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、b、c之间的数量关系为____________．
向“数形结合思想”生长：如图，大正方形的面积是________，另一种方法计算大正方形的面积是_________，两种结果相等，推得的等式是______________，这个等式被称为____________．
向“正向应用”生长：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠B＝90°，则下列结论正确的是(　　)A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2 D．以上均不正确
2. 求下列图中直角三角形相应边的长．(1) c＝__________(2) b＝__________
向“转化思想”生长：如图①，A，B，C是三个正方形，B的面积为56，C的面积为28，则A的面积为(　　)A．28 B．56 C．84 D.向“迁移思想”生长：如图②，以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆，若半圆形B、半圆形C的面积分别是4、5，则半圆形A的面积是________．
向“数形结合思想”生长：如图③，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1.以点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点P，则点P所表示的数是________．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交边BC于点D，AB＝5，BC＝6，则AD＝______．
4.(方程思想)在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．若c＝25，a∶b＝3∶4，求a，b.
解：设a＝3x，b＝4x，则(3x)2＋(4x)2＝252，解得x＝5(负值已舍去)，所以a＝15，b＝20.
5. (分类讨论思想)若直角三角形的两边长分别为15 cm和8 cm，则第三边长为(　　)
6．如图，∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4.若∠ABD＝90°，则AD的长为(　　)A．10 B．13 C．8 D．11
7.(数学文化)(南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m>n)．若小正方形的面积为7，(m＋n)2＝23，则大正方形的面积为(　　)A．12 B．13 C．14 D．15
8. 【思维可视化】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连结BD，DE.将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，求CE的长．【思维过程】(1)条件分析：D是AC的中点，则CD＝_______；由翻折的性质可知，EF＝_______，DF＝_____＝________．
(2)问题转化：求CE或求EF，尝试勾股定理．以CE或EF为边的直角三角形中，哪个三角形已知两条边或各边可用含有CE的式子表示？(3)计算求值：CE＝________．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(1)在边BC上求作点Q，使得AQ平分∠BAC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，点Q即为所作．
(2)在(1)的条件下，若AC＝4，AB＝5，求点Q到直线AB的距离．
10. (推理能力)如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝10，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BC向终点C运动，设点P运动的时间为t s.(1)CP＝__________；(用含t的代数式表示)
(2)连结AP、PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求t的值．
解：在长方形ABCD中，AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，∠ABC＝∠BCD＝90°.当DP＝AD＝10时，如图①所示，在Rt△DCP中，根据勾股定理，得DP2＝CP2＋CD2，即102＝(10－2t)2＋62，解得t＝1(t＝9不合题意，舍去)；
当AP＝AD＝10时，如图②所示，在Rt△ABP中，根据勾股定理，得AP2＝BP2＋AB2，即102＝(2t)2＋62，解得t＝4(负值舍去)．综上可知，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，t＝1或t＝4.