2027届高考数学一轮总复习5.2平面向量基本定理及向量坐标运算【课件】

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课标解读　1.掌握平面向量基本定理.2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线.
1.平面向量基本定理 零向量不能作为基底如果e1,e2是同一平面内的两个　　　　向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=　　　　　　　.若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个　　　　. 微点拨 给定基底,同一向量的分解结果是唯一的,因此若{e1,e2}是基底,且a=λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2,则必有λ1=λ2,μ1=μ2.

2.平面向量的坐标运算 当向量用坐标表示时,其加法、减法、数乘运算的法则
3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔　　　　　　　　　. 
x1y2-x2y1=0
[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个非零向量都可以作为一个基底.(　　)(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.(　　)(3)若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.(　　)(4)一个平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(　　)
解析 只有不共线的两个向量才可以作为一个基底.
解析 同一向量在不同基底下的表示是不同的.
2.(2022·全国乙,文3)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=(　　)A.2　　　　 B.3C.4D.5
3.(人A必修二教材例题改编)已知a=(2,3),b=(6,y),且a∥b,则y=　　　　. 
解析 ∵a∥b,∴2y=3×6,解得y=9.
5.(人A必修二教材例题)如图,已知▱ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),求顶点D的坐标.
考点一　平面向量基本定理的应用
规律方法　应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后,应通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,将相关向量用所选基底表示出来.(2)注重图形几何性质在向量运算中的作用.用基底表示未知向量时,常需借助图形的几何性质,如平行、相似等.
考点二　平面向量的坐标运算
(3)(2025·全国1,6)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为(　　)
A.轻风B.微风C.和风D.劲风
规律方法　1.利用向量的坐标运算解题,主要是利用加法、减法、数乘运算法则,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,化归为方程(组)进行求解.2.向量的坐标表示使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
考点三　向量共线的坐标表示
考向1　利用向量共线求参数例3　(2025·北京延庆一模)已知向量a=(1,2),b=(λ,-1),c=(μ,-1),若(a+b)∥c,则λ+μ=(　　)A.-2B.-1C.0D.1
解析 因为a=(1,2),b=(λ,-1),所以a+b=(1+λ,1),因为(a+b)∥c,所以-(1+λ)-μ=0,解得λ+μ=-1.故选B.
规律方法　平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R).
考向2　利用向量共线求向量或点的坐标例4　[一题多变]已知点A(-1,1),B(1,3),C(2,2),若点M在线段AC上,且BM=2,则点M的坐标为　　　 　　. 
AI变式[变式1](改变线段长度)本例中,若已知条件不变,则在线段AC上是否存在点M,使得BM=4?
[变式2](求两直线交点坐标)本例中,已知条件不变,若O为坐标原点,试求直线OB与直线AC的交点P的坐标.
规律方法　1.已知向量共线(平行)求参数值时,主要利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件为x1y2=x2y1”这一结论进行求解.2.求与已知向量a=(x,y)共线的向量的坐标时,一般先设所求向量为λa=(λx,λy),λ∈R,再根据其他条件建立关于λ的方程,解得λ的值代入即得所求.3.求两直线交点坐标时,可充分利用两直线相交产生的两个“三点共线”关系,结合共线向量定理求解.
教材衍展　定比分点坐标公式
定比分点是中点、三等分点的延伸拓展,在解决平面向量和解析几何题目中都有应用.