第五章5.2　平面向量基本定理及坐标运算-2027年高考数学一轮复习培优课件（含解析版试题）

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1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使______________.我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个____.
a=λ1e1+λ2e2
2.平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个________的向量,叫做把向量作________.(2)平面向量的坐标运算①平面向量线性运算的坐标表示假设平面上两个向量a,b满足a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a ±b =____________,λa =_________(λ∈R),ua ±v b =____________________(u,v∈R).
(x1±x2,y1±y2)
(ux1±vx2,uy1±vy2)
(x2-x1,y2-y1)
x1y2-x2y1=0
3.平面向量基本定理的推论(1)设a=λ1e1+λ2e2,b=λ3e1+λ4e2(λ1,λ2,λ3,λ4∈R),且e1,e2不共线,若a=b,则λ1=λ3且λ2=λ4.(2)若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.
3.(人教A版必修第二册P33练习T2改编)已知向量a=(1,3λ),b=(2+λ,-3),若a∥b,则λ= (　 　)A.1　　　B.-1C.2　　　D.-3解析:因为a=(1,3λ),b=(2+λ,-3),且a∥b,所以3λ(2+λ)=1×(-3),解得λ=-1.故选B.
运算遵法则、基底定分解(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中,利用三角形法则列出向量间的关系.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的.
考点2 平面向量的坐标运算【例2】　(1)(2025·全国一卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为(　 　)
A.轻风B.微风C.和风D.劲风
解决向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算.(2)巧借方程思想求坐标:向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.
考点3 向量共线的坐标表示命题角度1　利用向量共线求向量或点的坐标【例3】　(一题多解)已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为______.
利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路(1)求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程(组),求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.(2)求两直线交点坐标时,可充分利用两直线相交产生的两个“三点共线”的关系,结合向量共线的坐标表示求解.
命题角度2　利用向量共线求参数【例4】　(1)(2026·山西太原一模)已知a=(2,1),b=(m,-1),若a∥(a-b),则实数m=(　 　)A.-2B.3C.6D.-1【解析】　因为a=(2,1),b=(m,-1),所以a-b=(2-m,2).因为a∥(a-b),所以2-m-4=0,解得m=-2.故选A.
利用向量共线的坐标表示求参数的步骤第一步:根据已知条件求出相关向量的坐标;第二步:利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组;第三步:根据方程或方程组求解得到参数的值.
2.(5分)(2025·浙江金华二模)已知向量a=(1,2),b=(x,-4),且a∥b,则实数x的值为(　 　)A.-2D.8解析:由a∥b可得1×(-4)-2x=0,解得x=-2.故选A.
5.(5分)已知向量a,b,c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,用基底{a,b}表示c,则(　 　)A.c=-2a+3bB.c=2a-3bC.c=-3a+2bD.c=3a-2b
10.(8分,多选)已知向量a,b,c满足c=λa+(1-λ)b(0