2026年安徽合肥市肥东县九年级下学期第二次质量检测数学试卷（含解析）中考模拟

这是一份2026年安徽合肥市肥东县九年级下学期第二次质量检测数学试卷（含解析）中考模拟，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 在，，0，这四个数中最小的数是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的大小比较法则即可得．
【详解】解：有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，负数绝对值大的反而小．
则，
所以在这四个数中最小的数是，
故选：A．
本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．
2. 据统计，2025年我国太阳能发电总量为11700亿千瓦时，11700亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：亿．
3. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的性质；根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
4. 一个几何体按如图所示水平放置，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图的知识是解题的关键．
根据简单组合体的三视图得出结论即可．
【详解】解：由题意知，该几何体的主视图为．
故选：A．
5. 若一次函数（）的图象经过点，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若 ，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，根据题意得到，再结合一次函数的增减性，分，以及两种情况讨论的取值并判断，即可解题．
【详解】解：一次函数（）的图象经过点，，
，解得，
若，即时，则随的增大而增大，
，
，
故若，则 ；
若，即时，则随的增大而减小，
，
，
若，则有可能大于0，也可能小于0；
综上所述，若，则 ；
故选：A．
6. 某电子品牌在第一季度共生产80万部本品牌的和两款手机，已知手机的下载速度比手机每秒多，若下载一部大小为的高清视频，手机比手机快．设手机的下载速度为，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：设手机的下载速度为，则手机的下载速度为，
根据题意可知：．
7. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．根据多边形的内角和公式，求出五边形内角的度数，再根据等腰三角形的性质求出和的度数，最后根据三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：因为正五边形的每个内角都相等，边长相等，
所以，
∵正五边形的每条边相等，
∴和是等腰三角形，
∴，
∴．
∴．
故选：B．
8. 对正方形纸片作如下折叠，将正方形分成三部分，则这三部分的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，矩形的判定与性质，先运用正方形的性质以及折叠的性质，证明四边形是矩形，得出，，再证明，故，结合，证明，再分别表示，即可作答．
【详解】解：如图所示：
由折叠得出，
∵四边形是正方形
∴
∵折叠
∴，，
即
∴四边形是矩形
∴，，
∴
∴
即
∵
∴
∴
∴
故
∵
∴，
∵折叠
∴
则,
∴
依题意，将正方形分成三部分，则这三部分的面积之比为
故选：A
9. 设a，b，c为实数，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 且
C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】分当时和当时，两种情况讨论求解即可．当时，利用二次函数与x轴的交点问题求解即可．
【详解】解：当时，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，设二次函数解析式为，
∵，，
∴当时，，当时，，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
综上所述，，
故选：A．
本题主要考查了不等式的性质，二次函数与x轴的交点问题，熟知不等式和二次函数的性质是解题的关键．
10. 如图，在中，，，的顶点D在上运动，且，，直线与直线相交于点F，连接，在点D运动过程中，以下结论错误的是（ ）
A. 的面积等于的面积B. 的周长最小值为
C. 的最大值为D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，过点作的垂线，垂足为，过点作的平行线交直线于点，先得到点的轨迹为线段，然后证明，即可得到的面积等于的面积，即可判断A；过点作的对称点，连接，则，的周长，故当点三点共线时，的周长取得最小值为，再对运用勾股定理求解，即可判断B；可知当点重合时，取得最大值，然后对运用勾股定理求解，即可判断C；过点作的垂线交过点作的垂线于点，连接，先证明，再证明，最后对运用勾股定理证明，即可判断D．
【详解】解：如图，连接，过点作的垂线，垂足为，过点作的平行线交直线于点，

由题意得，均为等腰直角三角形，
∴
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴当点重合时，重合，点重合时，重合，
∴点的轨迹为线段，
∵
∴，
∴点到的距离相等，
∵
∴的面积等于的面积，故A正确；
过点作的对称点，连接，则，
∴的周长，
∴当点三点共线时，的周长取得最小值为，
∵，点关于的对称点，
∴点共线，
∴
∴
∴的周长最小值为，故B错误；
∵点的轨迹为线段，
∴当点重合时，取得最大值，如图
∵，，，
∴
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，故C正确；
过点作的垂线交过点作的垂线于点，连接，
∵
∴
∵在等腰中，，
∴，
∵
∴，
∴，，
∵
∴，
∵
∴
∴，
∵在中，由勾股定理得，
∴，故D正确．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可．
【详解】要使分式有意义，则分母，解得．
故答案为：．
12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个方程的解为______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，解一元二次方程，一元二次方程（是常数，且）根的判别式：，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据题意得到，解得，代入解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得，
，
解得，
故答案为：．
13. 《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，书中提出“圆出于方，方出于矩”的辩证思维．机械学家莱洛发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，如图，它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的封闭曲线即为莱洛三角形，已知，则该莱洛三角形的周长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．
【详解】解：∵是正三角形，
∴，
∴的长为： ，
∴“莱洛三角形”的周长=．
故答案为：．
14. 新定义：我们把二次函数 (其中)与称为“相关函数”．例如：二次函数的“相关函数”为．已知二次函数的“相关函数”为．
（1）二次函数的对称轴为直线____；
（2）已知二次函数的图象与x轴交于点M，N，二次函数的图象与x轴交于点P，Q，若，则二次函数与对称轴之间的距离为____．
【答案】 ①. ②. 6
【解析】
【分析】（1）根据“相关函数”定义写出的解析式，利用二次函数对称轴公式求解；
（2）利用二次函数与x轴交点距离公式，结合列方程求出a的值，再计算两个对称轴的距离．
【详解】解：（1）由“相关函数”的定义，得的解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线；
（2）对于二次函数，设其与x轴两交点横坐标为，，由根与系数的关系得：，，
∴，
∴两交点距离，
对于，判别式，则，由得且，
对于，判别式，则，由且得，
综上，a的取值范围为，
由，得，
因为，两边同乘得，
两边平方得：，
解得，符合取值范围，
的对称轴为直线，
的对称轴为直线，则两对称轴之间的距离为．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】0
【解析】
【分析】分别利用绝对值的性质、求特殊角的三角形函数值、二次根式的乘法法则及零指数幂的运算法则进行化简计算，再合并即可得出结果．
【详解】解：
．
此题考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的性质、特殊角的三角形函数值以及二次根式的乘法法则等知识是求解的关键．
16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解析式为；
（2）的面积为8．
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数几何综合．
（1）将代入反比例函数中，即可求得，再将代入反比例函数解析式求得，最后将点、代入一次函数中求解，即可解题．
（2）根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解．
【小问1详解】
解：反比例函数经过点，
，
反比例函数解析式为，
点在上，则，
，
把、代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：把代入，得，
，
，
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 小明的爸爸在岸边钓鱼，如图，已知钓鱼竿（看成线段）长，钓鱼竿尾端距离岸边（即），水面与地面平行且竖直距离为（即）．在等待鱼上钩的过程中，水面上方鱼线（看成线段）与水面的夹角，鱼线末端刚好位于水面上，钓鱼竿与地面的夹角，求点到岸边的距离（结果保留整数）．
（参考数据：，，，取1.7）
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，延长交于点．则四边形是矩形，通过解直角三角形求出线段，即可解答．
【详解】解∶过点作于点，延长交于点T．
则四边形是矩形．
∴在中，，
，
，
，
，
∴在中，，
．
18. 如图是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（每个任务不超过三条线）
（1）在图中，画的高；
（2）在图中，在上画点，使得．
【答案】（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求．
【解析】
【分析】（）取格点，连接交于点，由网格的特点可知，故线段即为的高；
（）利用矩形的性质作出线段的垂直平分线，交于点，由线段垂直平分线的性质可知，故点即为所求．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 【问题提出】如图，有三根针和套在一根针上的个金属片，按下列规则移动金属片．
规则1：每次只能移动一个金属片;
规则2：较大的金属片不能放在较小的金属片上面．
则把这个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
【问题探究】我们从为1，2，3，4个金属片入手，探究其中的规律性，进而归纳出个金属片最少需要移动的次数．（以下探究仅考虑最少移动次数）
探究一：当时，只需要把金属片从1号针移到3号针，用符号表示，共移动了1次．（说明：表示把金属片从1号针移到3号针，以此类推）
探究二：当时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，移动顺序是（本次移动我们借助2号针作为“中间针”）：
（）把第1个金属片从1号针移到2号针；
（）把第2个金属片从1号针移到3号针；
（）把第1个金属片从2号针移到3号针．
用符号表示为：（）；（）；（），共移动了3次．
探究三：当时，移动顺序是：
（）把上面两个金属片从1号针移到2号针；
（）把第3个金属片从1号针移到3号针；
（）把上面两个金属片从2号针移到3号针．
其中（Ⅰ）和（Ⅲ）都需要借助合适的“中间针”，用符号表示为：
（1）：；（）：；（）：____________；共移动了7次．
探究四：当时，移动顺序是：
（2）把上面3个金属片从1号针移到2号针；
（Ⅱ）把第______个金属片从1号针移到3号针；
（Ⅲ）把上面______个金属片从2号针移到3号针．
完成（Ⅰ）需移动______次，完成（）需移动______次，共移动了______次．
【问题解决】根据探究一~四，以此类推，你能发现移动规律并对得出的结论进行归纳猜想吗？
（3）请你直接写出猜想结果：若把这个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动______次．
【答案】（1）
（2）4；3；7；7；15
（3）
【解析】
【分析】仿照探究一，二，解答探究三，四，再根据数字变化得出规律解答即可．
【详解】解：探究三：当时，移动顺序是：
（I）把上面两个金属片从1号针移到2号针；
（II）把第3个金属片从1号针移到3号针；
（III）把上面两个金属片从2号针移到3号针，
其中（I）和（III）都需要借助合适的“中间针”，用符号表示为：
（I）；（II）；（III），共移动了7次；
探究四：当时，移动顺序是：
（I）把上面3个金属片从1号针移到2号针；
（II）把第4个金属片从1号针移到3号针；
（III）把上面3个金属片从2号针移到3号针，
完成（I）需要7次，（III）需要7次，共移动15次；
【问题解决】根据探究一至四，可得时，最少移动1次；
时，最少移3次；
时，最少移动7次；
时，最少移动15次，
总结发现n个金属片从1号移到3号针，最少移动了次．
20. 如图，为的外接圆，，垂足为点D，直径平分，交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据圆心角定理得到，根据等角的余角相等证明结论；
（2）过点B作，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，根据勾股定理计算即可．
【小问1详解】
直径平分，
，
，
，

，
，
．
【小问2详解】
过点B作，
在中，根据勾股定理得


在中，根据勾股定理得

，


．
本题考查的是三角形的外接圆和勾股定理，掌握圆周角定理，等腰三角形的知识是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款），有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：）
下面给出了部分信息；
甲款评分数据中“满意”的数据；64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
甲、乙款评分统计表：
乙款聊天机器人评分人数占比的统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______．
（2）在此次测验中，有260人对甲款进行评分、280人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数．
（3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
【答案】（1），，
（2）估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人
（3）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键．
（1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值；
（2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案；
（3）用树状图法求解即可．
【小问1详解】
解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多，
众数．
乙款评分数据中、两组共有个数据，
乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，
中位数．
乙款评分数据在组人数所占百分比为，
即．
故答案为：，，．
【小问2详解】
解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为：
（人）．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人．
【小问3详解】
解：画树状图为：
由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
七、（本题满分12分）
22. 如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，连接、相交于点，为延长线上一点，连接交、于点、，且．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）如图2，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明，得出，根据角的和差关系即可得出，得出；
（2）根据等腰三角形的性质得出，为的中点，利用直角三角形斜边上的中线的性质得出，进而得出，利用证明，得出，即可得出，利用三角函数的定义即可得答案；
（3）先证明，得出，同理可得，，即可证明，根据等腰三角形的性质，结合平行线的性质得出，设，利用勾股定理可求出，证明，根据相似三角形的性质即可求出的长．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，为的中点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，，
在中，，即，
解得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
本题是四边形的综合，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
八、（本题满分14分）
23. 已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点．
（1）若抛物线经过点；
①点的坐标为______；
②当时，抛物线取得最大值为，求的值；
（2）若点，在抛物线上，且，求的取值范围；
（3）已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），请直接写出的取值范围．
【答案】（1）①；②的值为或
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）①先求出，当时，即，可解得；
②先由得抛物线开口向下，顶点坐标为，再分两种情况讨论：当时，得；当即时，，分别求解即可；
（2）由点，在抛物线上，结合可得，计算求解即可；
（3）求出抛物线对称轴为，顶点为，再抛物线与线段有且只有一个交点，分两种情况讨论：当抛物线的顶点在线段上时，即：；当抛物线顶点落在上方时，当时，，当时，，进而得，由抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），得与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，进而得，解不等式即可得解．
【小问1详解】
解：①∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：，
∴抛物线与轴交于点坐标为，
当时，即，
解得：，，
∴点，
故答案为：；
②∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
分以下两种情况讨论：
Ⅰ．当时，在对称轴左侧，随增大而增大，
∴时，为最大值，即，
解得或（舍）；
Ⅱ．当即时，在对称轴右侧，随增大而减小，
时，为最大值，即，
解得或（舍），
综上所述，的值为或；
【小问2详解】
解：∵点，在抛物线上，
∴，，
当时，即，
即：，
解得：；
【小问3详解】
解：∵抛物线，
∴抛物线对称轴为，顶点为，
∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，
分以下两种情况讨论：
Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时，
即：，
解得：；
Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时，
当时，，
当时，，
∵，对称轴为，
∴，
∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），
∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，
∴，
解得：，
综上，的取值范围是或．
本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，抛物线与线段的交点，综合性强，正确的求出函数解析式，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
设备
平均数
中位数
众数
甲
86
85.5
乙
86
87