2026年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第01讲导数的概念及其意义、导数的运算(复习讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第01讲导数的概念及其意义、导数的运算(复习讲义)(学生版+解析)，共17页。学案主要包含了方法技巧，变式训练1-1，变式训练1-2，变式训练1-3，变式训练2-1，变式训练2-2，变式训练3-1，变式训练4-1等内容，欢迎下载使用。
01TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc32046" \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199181714 \h 1
02 \l "_Tc22569" 体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc22569 \h 3
03 \l "_Tc3729" 核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc3729 \h 3
\l "_Tc25347" 知能解码 PAGEREF _Tc25347 \h 3
\l "_Tc21921" 知识点1 平均变化率 PAGEREF _Tc21921 \h 3
\l "_Tc31533" 知识点2 导数的概念 PAGEREF _Tc31533 \h 4
\l "_Tc29735" 知识点3 导数的几何意义 PAGEREF _Tc29735 \h 5
\l "_Tc32130" 知识点4 基本初等函数的导数公式 PAGEREF _Tc32130 \h 5
\l "_Tc16072" 知识点5 导数的运算法则 PAGEREF _Tc16072 \h 6
\l "_Tc29799" 知识点6 曲线的切线问题 PAGEREF _Tc29799 \h 6
\l "_Tc29420" 题型破译 PAGEREF _Tc29420 \h 7
\l "_Tc13861" 题型1 导数的概念 PAGEREF _Tc13861 \h 7
\l "_Tc6480" 题型2 导数的运算 PAGEREF _Tc6480 \h 8
\l "_Tc28092" 题型3 在点P处的切线 PAGEREF _Tc28092 \h 10
【方法技巧】“在”型切线求解步骤
\l "_Tc10592" 题型4 过点P处的切线 PAGEREF _Tc10592 \h 11
【方法技巧】“过”型切线求解步骤
\l "_Tc29608" 题型5 已知切线或切点求参数 PAGEREF _Tc29608 \h 13
\l "_Tc25957" 题型6 公切线问题 PAGEREF _Tc25957 \h 15
【方法技巧】公切线求解关键点
\l "_Tc1509" 题型7 已知切线条数求参数 PAGEREF _Tc1509 \h 17
【方法技巧】已知切线求参数关键求解点
\l "_Tc19696" 题型8 距离最值转化为相切问题 PAGEREF _Tc19696 \h 20
【方法技巧】平移切线法
\l "_Tc8475" 题型9 奇偶函数切线问题 PAGEREF _Tc8475 \h 22
04 \l "_Tc32741" 真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc32741 \h 23
\l "__x0001__5" 05课本典例·高考素材 \l "_Tc3092" PAGEREF _Tc3092 \h 25
\l "_Tc25045" 知识点1 平均变化率
1．变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
2．平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为：.
3．如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即.
自主检测函数f(x)=x2在区间1,3上的平均变化率为（ ）
A．6B．3C．2D．4
【答案】D
【详解】f(x)=x2在区间1,3上的平均变化率为f3−f13−1=9−12=4.
故选：D
\l "_Tc25045" 知识点2 导数的概念
1．定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
2．定义法求导数步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
自主检测设函数fx的导函数为f'x，且f'x0=2，则limΔx→0fx0+2Δx−fx0Δx=（ ）
A．1B．4C．3D．2
【答案】B
【详解】因为f'x0=2，所以limΔx→0fx0+2Δx−fx0Δx=2f'x0=4
故选：B
\l "_Tc25045" 知识点3 导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
自主检测若曲线y=x2−lnx在x=0.5处的切线的斜率为（ ）
A．1B．−1C．22D．e
【答案】B
【详解】定义域为0,+∞，fx=x2−lnx，则f'x=2x−1x=2x2−1x，
则f'0.5=−1，即fx在x=0.5处的切线的斜率为−1.
故选：B
\l "_Tc25045" 知识点4 基本初等函数的导数公式
自主检测已知 fx=−1x3 ，则 f′x=（ ）
A．−3x3B．3x4C．1xD．−1x2
【答案】B
【详解】因为fx=−1x3=−x−3，则f′x=3x−4=3x4.
故选：B
\l "_Tc25045" 知识点5 导数的运算法则
若，存在，则有
（1）
（2）
（3）
自主检测若函数fx=xlnx，则f′π= ．
【答案】lnπ+1
【详解】由fx=xlnx，f′x=lnx+1，则f'π=lnπ+1.
故答案为：lnπ+1.
\l "_Tc25045" 知识点6 曲线的切线问题
1．在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2．过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
自主检测已知函数fx=x3−x+1，则fx的图象在点1,1处的切线方程是（ ）
A．4x+y−5=0B．4x−y−3=0
C．2x+y−3=0D．2x−y−1=0
【答案】D
【详解】对f(x)=x3−x+1求导：f′(x)=(x3−x+1)′=(x3)′−(x)′+(1)′=3x2−1.
将x=1代入f′(x)中，可得切线的斜率k=f′(1)=3×12−1=2.
已知切线过点(1,1)，斜率为2，根据点斜式方程，可得切线方程为y−1=2(x−1).
将其化简为一般式： 2x−y−1=0，
f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程是2x−y−1=0.
故选：D.
题型1 导数的概念
例1-1已知函数fx=lg2x，则limx→2fx−f2x−2= .
【答案】12ln2
【详解】f′x=1xln2，则limx→2fx−f2x−2=f′2=12ln2.
故答案为：12ln2.
例1-2已知函数f(x)=x2+1x，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx=（ ）
A．1B．12C．2D．4
【答案】B
【详解】由题意知，f′(x)=2x−1x2，则f′(1)=1.
所以limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx=12limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=12f′(1)=12.
故选：B
【变式训练1-1】已知f′(x0)=4，lim△x→0f(x0+2△x)−f(x0)△x的值为（ ）
A．4B．2C．8D．16
【答案】C
【详解】因为f′(x0)=4，
则lim△x→0f(x0+2△x)−f(x0)△x=2lim△x→0f(x0+2△x)−f(x0)2⋅△x=2f′(x0)=8.
故选：C.
【变式训练1-2】设函数fx满足limΔx→0fx0+Δx−fx02Δx=1，则f′x0=（ ）
A．1B．2C．12D．3
【答案】B
【详解】由limΔx→0fx0+Δx−fx02Δx=1，得12limΔx→0fx0+Δx−fx0Δx=1，
所以f′x0=limΔx→0fx0+Δx−fx0Δx=2.
故选：B
【变式训练1-3】已知函数fx=−12x2+lnx，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx的值为（ ）
A．eB．−2C．−12D．0
【答案】D
【详解】因为f′x=−x+1x，
所以f′(1)=−1+1=0，
所以limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=0.
故选：D
题型2 导数的运算
例2-1求下列函数的导数：
(1)y=x2sinx；
(2)y=lnx+1x；
(3)y=csxex；
(4)y=lnx2+1；
【详解】（1）y′=x2′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2csx.
（2）y′=lnx+1x′=(lnx)′+1x′=1x−1x2.
（3）y′=csxex′=(csx)′ex−csxex′ex2=−sinx+csxex.
（4）y′=1x2+1⋅x2+1′=2xx2+1
例2-2求下列函数的导数
(1)y=−3x2−5x+6；
(2)y=x⋅sinx+ex
(3)y=lnxx2+1
【详解】（1）因为y=−3x2−5x+6，所以y′=(−3x2)′−(5x)′+(6)′=−6x−5；
（2）因为y=x⋅sinx+ex，
所以y′=(x)′⋅sinx+x⋅(sinx)′+ex′=sinx+xcsx+ex；
（3）因为y=lnxx2+1，
所以y′=lnx′x2+1−lnx⋅x2+1′x2+12 =1xx2+1−lnx⋅2xx2+12=x21−2lnx+1xx2+12.
【变式训练2-1】求下列函数的导数.
(1)y=x2csx
(2)y=lnx+1x2
(3)y=tanx2x−lg3x
【详解】（1）y′=x2′·csx+x2⋅csx′=2xcsx−x2sinx.
（2）y′=（lnx+1x2）′=1x−2xx4=x2−2x3.
（3）y′=12x1cs2x−ln2⋅tanx−1xln3.
【变式训练2-2】求下列函数的导数：
(1)fx=x⋅csx
(2)fx=exx
(3)y=lnx+1x
(4)y=2x2−13x+1
(5)y=x−sinx2csx2
(6)y = tanx
【详解】（1）f′x=1⋅csx+x⋅−sinx=csx−xsinx；
（2）f′x=ex⋅x−ex⋅1x2=exx−1x2；
（3）y′=lnx+1x′=lnx′+1x′=1x−1x2．
（4）因为y=2x2−13x+1=6x3+2x2−3x−1，
所以y′=6x3+2x2−3x−1′
=6x3′+2x2′−3x′−1′=18x2+4x−3. ．
（5）因为y=x−sinx2csx2=x−12sinx，
所以y′=x−12sinx′=x′−12sinx′=1−12csx．
（6）y'=csx⋅csx−sinx⋅(−sinx)cs2x=cs2x+sin2xcs2x=1cs2x.
题型3 在点P处的切线
例3-1曲线y=sinxcsx−1在点0,−1处的切线方程为（ ）
A．x−2y+2=0B．x+2y−2=0
C．x−y−1=0D．x−y+1=0
【答案】C
【详解】由y=sinxcsx−1，得y′=cs2x−sin2x=cs2x，
∴y′x=0=cs0=1，
∴曲线y=sinxcsx−1在点0,−1处的切线方程为y=x−1，即x−y−1=0.
故选：C.
例3-2曲线y=ex+1x+2在x=0处的切线方程为（ ）
A．y=e4xB．y=3e4xC．y=e4x+e2D．y=3e4x+e2
【答案】C
【详解】因为y=ex+1x+2，所以y'=ex+1·x+2−ex+1·1x+22=x+1ex+1x+22.
所以切线的斜率为k=y'0=1×e122=e4.又y0=e2，
所以切线方程为y−e2=e4x−0，即y=e4x+e2.
故选：C.
方法技巧 （在型切线求解步骤）
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【变式训练3-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）函数fx=23x3−2x的图象在点3,f3处的切线方程为 .
【答案】y=16x−36
【详解】求导得f′x=2x2−2，则有k=f′3=2×9−2=16，
又因为f3=23×27−2×3=12，
所以在点3,f3处的切线方程为：y−12=16x−3，
整理得：y=16x−36，
故答案为：y=16x−36
【变式训练3-2·变考法】已知函数f(x)=x2−3x,x∈0,22fx−2,x∈2,+∞，则fx在点3,f3处的切线方程为（ ）
A．8x+y−40=0B．2x+y−10=0
C．2x−y−10=0D．2x+y−2=0
【答案】D
【详解】由题意可得f3=2f3−2=2f1=21−3=−4，
当x=3时，x−2∈0,2，此时fx−2=x−22−3x−2，
所以fx=2fx−2=2x−22−3x−2=2x2−14x+20，
求导可得f′x=4x−14，
所以f′3=−2，
所以切线方程为y−−4=−2x−3，即2x+y−2=0.
故选：D.
【变式训练3-3·变考法】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数fx=sinx+f′0csx，则fx在点π2,fπ2处的切线方程为 .
【答案】x+y−π2−1=0
【详解】f′x=csx−f′0sinx，故f′0=1，
故f′x=csx−sinx且fx=sinx+csx，
f′π2=csπ2−sinπ2=−1，fπ2=sinπ2+csπ2=1，
故切线方程为：y−1=−x−π2，化简得x+y−π2−1=0.
故答案为：x+y−π2−1=0.
题型4 过点P处的切线
例4-1过点0,−4作函数fx=x−4x图像的切线，则切线方程为（ ）
A．y=5x−4B．y=4x−4
C．y=3x−4D．y=2x−4
【答案】D
【详解】设切点为x0,x0−4x0x0≠0，
对函数求导可得f′x=1+4x2x≠0，
则切点处的斜率为f′x0=1+4x02，所以切线方程为y−x0−4x0=1+4x02x−x0，
因为切线过点0,−4，代入切线方程，可得−4−x0+4x0=1+4x02−x0，
整理得x0=2，则所求切线方程为y=2x−4.
故选：D.
例4-2已知fx=x2−2x+3，则过点A2,−6且与fx相切的直线方程为 .
【答案】4x+y−2=0或8x−y−22=0
【详解】方法1：f′x=2x−2，设切点为x0,y0，切线的斜率k=f′x0=2x0−2，
得2x0−2=y0+6x0−2，y0=x02−2x0+3，两式联立方程解得x0=−1或5，
x0=−1时，k=f′−1=−2−2=−4，
此时切线方程y+6=−4x−2，
x0=5时，k=f′5=2×5−2=8，
此时切线方程y+6=8x−2，
即4x+y−2=0或8x−y−22=0.
方法2：由题意切线的斜率存在，设为k，
切线方程为y+6=kx−2，
与抛物线方程联立，y+6=kx−2y=x2−2x+3，整理得
x2+−2−kx+2k+9=0，
由Δ=−2−k2−42k+9=0得k=−4或k=8，
切线方程为y+6=−4x−2或y+6=8x−2，
即4x+y−2=0或8x−y−22=0.
故答案为：4x+y−2=0或8x−y−22=0.
方法技巧 “过”型切线求解步骤
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【变式训练4-1】（多选）过点0,1向曲线y=x3−3x2作切线，切线方程可能是（ ）
A．4x−15y+15=0B．3x+y−1=0
C．x+3y−3=0D．15x−4y+4=0
【答案】BD
【详解】设切点Px0,y0，因为y=x3−3x2，则y′=3x2−6x，
则切线方程为y−y0=3x02−6x0x−x0，又y0=x03−3x02，
所以y−x03−3x02=3x02−6x0x−x0，又切线过点0,1，
所以1−x03−3x02=3x02−6x0−x0，整理得到2x03−3x02+1=0，
即x0−12x02−x0−1=x0−122x0+1=0，所以x0=1或x0=−12，
当x0=1时，切线方程为y−1−3=3−6x−1，即3x+y−1=0，
当x0=−12时，切线方程为y−−123−3−122=3−122−6−12x+12，即15x−4y+4=0，
故选：BD.
【变式训练4-2】已知曲线y=2ex，过点0,2作切线l，则l的方程为 ．
【答案】y=2x+2
【详解】因为y=2ex，所以y′=2ex，则y′|x=0=2，显然点0,2在y=2ex上，
所以过点0,2作切线l的方程为y−2=2x−0，即y=2x+2.
故答案为：y=2x+2
【变式训练4-3·变题型】若曲线y=x+aex存在过原点的切线，则实数a的取值范围为 ．
【答案】(−∞,−4]∪[0,+∞)
【详解】∵y=(x+a)ex，∴y′=(x+1+a)ex，
设切点为x0,y0,则y0=x0+aex0,切线斜率k=x0+1+aex0,
切线方程为：y−x0+aex0=x0+1+aex0x−x0,
∵切线过原点，∴−x0+aex0=x0+1+aex0−x0,
整理得：x02+ax0−a=0,
∵存在过原点的切线，∴Δ=a2+4a≥0,解得a≤−4或a≥0,
∴a的取值范围是(−∞,−4]∪[0,+∞),
故答案为：(−∞,−4]∪[0,+∞)
题型5 已知切线或切点求参数
例5-1若曲线fx=x2−32aln2x+1在点P1，f1处的切线与直线y=x−2垂直，则实数a的值为（ ）
A．3B．5C．2D．1
【答案】A
【详解】由题意有f'x=2x−32a·22x+1=2x−3a2x+1，所以f′1=2−3a3=2−a，
因为在点P1，f1处的切线与直线y=x−2垂直，
所以f′1=2−a=−1⇒a=3，
故选：A.
例5-2（2025·河南郑州·三模）若直线y=x为曲线y=eax+b的一条切线，则ba的最小值为 ．
【答案】−1
【详解】y′=aeax+b，
设直线y=x与曲线y=eax+b相切于点x,x，则x=eax+b且aeax+b=1，
解得eax+b=1a，所以x=1a，从而得b=−1−lna，所以ba=−1−lnaa，
设ga=−1−lnaaa>0，g′a=−1a×a−−1−lnaa2=lnaa2，
令g′a0，则ℎ′x=2x3−2lnx+x2−2x=4x1−lnx，
令ℎ′x=0，得x=e，当x∈0,e时，f′x>0；当x∈e,+∞时，f′x0，所以a∈12e2,+∞.
故答案为：12e2,+∞.
【变式训练6-3·变考法】（2025·辽宁·二模）若曲线f(x)=x与曲线g(x)=a+lnx存在公切线，则a的取值范围是 ．
【答案】2−2ln2,+∞
【详解】由题意知f'(x)=12x，g'(x)=1x，
设公切线分别与曲线f(x)，g(x)相切于点x1,x1，x2,a+lnx2，则f'x1= 12x1，g'x2=1x2，
所以公切线方程为y−x1= 12x1x−x1，y−a−lnx2=1x2x−x2，
即y= 12x1x+x12，y=1x2x−1+a+lnx2，所以1x2= 12x1，−1+a+lnx2=x12，
所以a=x12+1−lnx2=x12+1−ln2x1=x12−lnx1+1−ln2，
令t=x1，t>0，ℎ(t)=t2−lnt，
所以ℎ'(t)=12−1t=t−22t，由ℎ'(t)0得00，y′=1x−1=1−xx，
当01时，y′