2026年高考数学一轮复习第八章平面解析几何重难点培优15圆锥曲线中参数的最值(范围)问题全归纳(复习讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习第八章平面解析几何重难点培优15圆锥曲线中参数的最值(范围)问题全归纳(复习讲义)(学生版+解析)，共19页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26889" 01 知识重构・重难梳理固根基 PAGEREF _Tc26889 \h 1
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 距离、长度的最值范围问题（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 三角形、多边形面积的最值范围问题（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 3
\l "_Tc26803" 题型三 坐标、截距的最值范围问题（★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 5
\l "_Tc13512" 题型四 斜率、角度的最值范围问题（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 6
\l "_Tc3897" 题型五 向量、代数式的最值范围问题（★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 7
\l "_Tc326" 题型六 参数的最值范围问题（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 8
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 10
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 10
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 14
一、圆锥曲线中的最值范围问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
二、最值范围问题的一般解题步骤
第一步设参数：依题意设出相关的参数，如设点坐标，设比例式的参数，设直线的方程等；
第二步联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于x(或y)的一元二次方程；
第三步求最值：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式；
第四步求最值：利用配方法、基本不等式法、单调性法等求其最值．
三、参数取值范围问题
1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．


题型一 距离、长度的最值范围问题
1．已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围.
2．（2025·安徽·一模）已知动点满足关系式.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点.
①证明：三点共线；
②当直线与有两个交点时，求的取值范围.
3．（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3．
(1)求点M的轨迹方程C；
(2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围．
4．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知椭圆C：的左焦点为，过点斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，M为AB中点，O为坐标原点．
(1)若直线OM的斜率为，求直线l的方程；
(2)P为椭圆上的点，直线PM与x轴交于点Q，若，求的取值范围．
5．如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，点是弦的中点．
(1)若，求点的轨迹方程；
(2)求的取值范围．

题型二 三角形、多边形面积的最值范围问题
1．已知双曲线的渐近线上一点到左焦点的最短距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)O为坐标原点，直线与双曲线的左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．
①求实数t的取值范围．
②设、分别为的面积和的面积，求的取值范围．
2．（2025·福建三明·三模）平面直角坐标系中，M是一个动点，直线与直线垂直，垂足位于第一象限，直线与直线垂直，垂足位于第四象限，且.
(1)求动点M的轨迹方程C；
(2)若过点的直线交曲线C于B、D两点，D关于x轴的对称点为点A（异于点B），直线AB与x轴交于点G，求面积的取值范围.
3．已知椭圆的两个焦点，过点作垂直于长轴的直线交椭圆于点，此时与椭圆长轴的两端点形成的四边形的面积为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于点及，求四边形的面积的最小值．
4．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知椭圆，为的右焦点，为上的动点，当直线与轴垂直时，，是直线上一动点，的最小值为1．
(1)求的方程；
(2)过作的两条切线分别交轴于两点，求面积的取值范围．
5．（24-25高三下·重庆·月考）如图，已知曲线的左、右焦点分别是，，曲线的焦点是，点是与在第一象限内的公共点且点的横坐标为，，过的直线分别与曲线和交于点，和，．

(1)求曲线和曲线的方程；
(2)若与面积分别是，，求的最小值．
6．（2025·湖南邵阳·三模）已知抛物线上有两点，，当时，线段的中点的横坐标的最小值为．
(1)求的方程；
(2)若圆位于与直线所围成的封闭区域（包含边界）内，求圆的半径的最大值；
(3)以的焦点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别交于点，，与在第一象限的交点为．若直线，与的另一个交点分别为，，直线与直线相交于点，求的面积的最小值．

题型三 坐标、截距的最值范围问题
1．已知过点的动直线与抛物线相交于、两点．
(1)当直线的斜率是时，．求抛物线的方程；
(2)对（1）中的抛物线，当直线的斜率变化时，设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围．
2．已知为坐标平面上的动点，且直线与直线的斜率之积为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点斜率为的直线与曲线交于不同的两点中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，求证为定值；
(3)在（2）的条件下，设，且，求直线在轴上的截距的变化范围．
3．已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，下顶点为，是线段的中点．已知．
(1)求椭圆方程；
(2)设为椭圆上的点，若，求的取值范围；
(3)过点的动直线与椭圆有两个交点在轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
4．（2025·广东·一模）已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）．
(1)当垂直于轴，且四边形的面积为，求直线的方程；
(2)当倾斜角互补时，直线与直线交于点，求的内切圆的圆心横坐标的取值范围．
5．已知椭圆的离心率为，过点的直线交E于两点，当轴时，．
(1)求E的标准方程；
(2)设点O为坐标原点，为E上一点，且P在第一象限，过点P的直线交x轴y轴分别于点，且当点P与点A重合时，的面积最小．
（ⅰ）求点A的坐标；
（ⅱ）记的垂心为点H，求点H的横坐标的最小值．

题型四 斜率、角度的最值范围问题
1．已知焦点为F的抛物线Γ：上存在不同的两点，（异于原点O）．
(1)若且，求直线AB的方程；
(2)若点A，B，F三点共线，求的取值范围．
2．已知椭圆，，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为6，且的最大值为3．
(1)求的方程；
(2)设点，过的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围．
3．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知椭圆过点，离心率为
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点，与x轴交于点P，与y轴交于点Q，
（ⅰ）若点M为线段AB的中点，求证：；
（ⅱ）若原点O总在以AB为直径的圆外，求直线l斜率的取值范围.
4．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q，
(1)求双曲线C的方程；
(2)求直线AP，AQ的斜率之和；
(3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值.
5．（2025·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线的斜率为1时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求的值；
(3)若记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值．

题型五 向量、代数式的最值范围问题
1．已知椭圆：的离心率，点在上.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆的左顶点为A，过点A作斜率为的直线交椭圆于点P，交y轴于点D，若过原点作直线的平行线交椭圆于点E，求的最小值.
2．已知点F是抛物线的焦点，点是抛物线C上一点．且，又．
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l绕其上一点P旋转，当直线l与抛物线C只有一个公共点时，求直线l的方程；
(3)设过点F的直线交抛物线C于A，B两点，求的最小值．
3．（2025·河北张家口·一模）已知，分别为椭圆（）的左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程；
(3)在（2）的条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值.
4．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知为坐标原点，双曲线的一条渐近线方程为，且点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与的右支交于点（异于顶点），且以为直径的圆过的右顶点.
（i）直线是否过定点？若是，求出该定点，若否，说明理由；
（ii）设直线与轴交于点，求的取值范围.
5．（24-25高三上·天津·期末）已知椭圆C：的离心率为点在椭圆C上，A，B分别为椭圆的左右顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线：与椭圆C相交于P，Q两点，且求证：为坐标原点的面积为定值；
(3)若M为平面上的一个动点，设直线AM，BM的斜率分别为且满足直线AM，BM分别交动直线于点D，E，过点D作BM的垂线交x轴于点判断是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

题型六 参数的最值范围问题
1．（24-25高三上·江苏·期末）已知双曲线的离心率为，双曲线过点，直线与的右支交于 两点，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线的斜率为，求的取值范围.
2．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，且上一点到和的距离均为．
(1)求的方程；
(2)记分别为过点且与轴不垂直的直线，交于交于，且满足，求的取值范围．
3．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点坐标是，且椭圆上的点到距离的最大值为，过点的直线交椭圆于点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数取值范围．
4．已知双曲线的实轴长为2，离心率为，圆的方程为，圆的一条切线与双曲线交于两点，与双曲线的两条渐近线交于，两点，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)求实数的范围.
5．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交于两点.
(1)若离心率时，求的渐近线方程；
(2)若，点在第一象限且为等腰三角形，求点的坐标；
(3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，求的取值范围．
2．已知抛物线，过作互相垂直的两条直线，与抛物线相交于两点，与抛物线相交于两点，线段的中点分别为．
(1)证明：直线过定点；
(2)若线段的中点记为E，求点E的纵坐标的最小值．
3．（2025·安徽池州·二模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且左､右焦点分别为.
(1)求的方程；
(2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求的最小值，并指出此时点的坐标.
4．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围．
5．（24-25高三上·浙江绍兴·月考）已知椭圆的离心率为，短轴端点和长轴端点间的距离为.
(1)求的方程；
(2)过左焦点的直线交于，两点，点在上.
（i）若的重心为坐标原点，求直线的方程；
（ii）若的重心在轴上，求的横坐标的取值范围.
6．如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由；
(3)若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围.
7．（24-25高三下·重庆·月考）已知圆，动圆C过，且与圆外切设圆心C的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)设定点，过作直线l交曲线于A、B两点，直线，分别交直线于P、Q两点，求的最小值．
8．已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点．
(1)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标．
(2)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值．
9．已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
10．已知抛物线：（）的焦点为，点，过的直线交于，两点，当点的横坐标为1时，点到抛物线的焦点的距离为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线，与的另一个交点分别为，，点，分别是，的中点，记直线，的倾斜角分别为，.求的最大值.
11．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线．
(1)若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？
(2)设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x．
（i）若，求实数的值；
（ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围．
12．已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点．
(1)求双曲线的方程；
(2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
13．已知椭圆的焦距为2，点在C上，F是C的右焦点．
(1)求C的方程；
(2)如果直线与C相交于P，Q两点，且射线FA平分．
（ⅰ）求m的取值范围，并证明l过定点；
（ⅱ）求四边形FPAQ的面积S的取值范围．
14．设椭圆的两个焦点坐标分别为，且过点.
(1)求的方程；
(2)已知，过点的直线与交于G，S两点，直线SA与交于点（异于）.
①证明：；
②若点是的外心，求的最大值.
15．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）．
步骤1：用圆规作一个圆：，设圆心为，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．且折痕均与椭圆相切，设点为两条折痕的交点，且过点的两条折痕与椭圆相切与、两点，为坐标原点，、分别表示直线与直线的斜率．
(1)求的值；
(2)若；
①求点轨迹方程；
②的取值范围．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江西·模拟预测）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，是椭圆上异于，的点，且直线与直线的斜率之积为1．
(1)求点的坐标；
(2)求面积的最大值．
2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的切线分别交直线，于点，椭圆的左、右焦点分别为．
（i）证明：四点共圆；
（ii）若（i）中圆的半径，求的取值范围．
3．（2025·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为直线上的动点，过作的垂线，该垂线与线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于两点，线段的中点为.
（i）求的最大值；
（ii）求四边形面积的最小值.
4．（24-25高三上·上海松江·期末）已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点．
(1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度；
(2)设点，当时，求点A的坐标；
(3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围．
5．（2025·辽宁·模拟预测）已知，，动点满足，作轴于点，为直线上一点，且满足，记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若是上的动点，过作椭圆：的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，求的取值范围.
6．（2025·山东临沂·三模）已知为抛物线的焦点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过的直线与交于，两点，试探究：在轴上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由；
(3)若，抛物线上两点，满足，且，求的最大值.
7．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，点到定点的距离与点到直线：的距离之比为2，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知点，，为曲线的左、右顶点．若直线与曲线的右支分别交于点.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求的最大值．
8．（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）设动点到坐标原点的距离和它到直线的距离之比是一个常数，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系；
(2)若时，得到的曲线为，将曲线向左平移一个单位得到曲线，过点的直线与曲线交于不同的两点，，过的直线分别交曲线于，设，，求的取值范围．
9．（2025·云南曲靖·二模）已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为．
①求的值；
②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围．
10．（25-26高三上·重庆·月考）过点作直线与抛物线：相交于两点，是的准线，过作且交于，过B作且交于.
(1)当，且与轴平行时，,求抛物线的方程；
(2)记,
（i）若，是否存在，使得为定值？若存在，则求出；若不存在，请说明理由；
（ii）若，且的斜率为，求的取值范围.
11．（2025·上海杨浦·二模）已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点.
(1)求双曲线的焦点坐标和渐近线方程；
(2)过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值；
(3)若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围.
12．（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆 短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆C交于两点，其中分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点
(1)若的坐标为求椭圆C的方程；
(2)在（1）的条件下，过点并垂直于轴的直线交C于点，椭圆上不同的两点满足 成等差数列. 求弦的中垂线在轴上的截距的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围.