2026年高考数学一轮复习第八章平面解析几何重难点培优19圆锥曲线解答题题型全归纳(复习讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习第八章平面解析几何重难点培优19圆锥曲线解答题题型全归纳(复习讲义)(学生版+解析)，共19页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 5
\l "_Tc16555" 题型一 中点弦、弦长问题（★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 5
\l "_Tc7141" 题型二 面积问题（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 7
\l "_Tc26803" 题型三 定点及其探索性问题（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 9
\l "_Tc13512" 题型四 斜率有关定值问题（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 11
\l "_Tc3897" 题型五 长度、角度、面积的定值问题（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 13
\l "_Tc326" 题型六 非对称韦达化处理（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 14
\l "_Tc11957" 题型七 圆锥曲线与向量交汇（★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 15
\l "_Tc17557" 题型八 切线问题（★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 17
\l "_Tc28054" 题型九 定直线及其探索性问题（★★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 19
\l "_Tc8991" 题型十 圆锥曲线新定义问题（★★★★★） PAGEREF _Tc8991 \h 20
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 22
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 22
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 27
一、直线和曲线联立（以椭圆和抛物线为例）
1、椭圆与直线相交于两点，设，
，
椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，
注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．
2、抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．
抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．
二、根的判别式和韦达定理
与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．
同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．
与C相离；与C相切；与C相交．
注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；
焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
三、点差法
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；
将两式相减，可得；整理得：
四、弦长公式
（最常用公式，使用频率最高）
五、三角形面积问题
直线方程：
六、焦点三角形的面积
直线过焦点的面积为
注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数
七、平行四边形的面积
直线为，直线为
注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
八、探索圆锥曲线的定点、定值问题
1、定值问题
①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。
2、定点问题
定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等.
②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程.
③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程


题型一 中点弦、弦长问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·海南·模拟预测）已知椭圆，且该椭圆的离心率为，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于两点，线段的中点为．
(1)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
(2)若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程．
2．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若的中点为，求直线的方程．
3．过点的直线交抛物线于两点，求中点的轨迹方程．
4．（2025·黑龙江大庆·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线交于两点.当时，轴，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程.
5．（2025·河北·模拟预测）已知双曲线C：与双曲线的渐近线相同，且经过点，C的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与直线交于M，N两点．
(1)求C的方程；
(2)若，求满足条件的直线l有几条？
6．（2025·四川达州·模拟预测）过抛物线的焦点作平行于轴的直线被抛物线截得的弦长为4，已知点，设过点的直线与抛物线交于点，且直线交抛物线于点（点与点不重合）.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线交以为直径的圆于点，求的最小值.

题型二 面积问题
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知椭圆的离心率为．
(1)求的方程；
(2)过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程．
2．（25-26高三上·河北·开学考试）已知双曲线：的离心率为，实轴长为4.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线：与C的右支交于A，B两点，为坐标原点.
（i）求的取值范围；
（ⅱ）若直线与轴交于点，且，求的面积.
3．（2025·湖南·一模）已知，直线相交于点，且，点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，直线与曲线的另一个交点为，线段的中点为的面积为，求直线的方程．
4．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，轴上方的两动点在上，且，当时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的坐标；
(3)求四边形的面积的取值范围.
5．（2025·河南信阳·模拟预测）已知椭圆过点，焦距为2.
(1)求的方程；
(2)若，过作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于A，B，C，D四点，设线段，与的中点分别为M，N.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求四边形面积的取值范围.

题型三 定点及其探索性问题
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·北京房山·开学考试）已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．
2．（2025·宁夏中卫·三模）已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.
3．（24-25高三上·四川雅安·月考）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点．
(1)求的标准方程；
(2)过的直线与的上，下支分别交于，两点（异于），直线平分线段与的下支交于点．
（ⅰ）求证：直线与直线的交点在一条定直线上；
（ⅱ）过三点的圆是否经过定点，请说明理由．
4．（2025·陕西西安·二模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形．已知抛物线的焦点为F，直线过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线和，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN；
(3)证明：切线三角形PAB的外接圆过定点．
5．（2025·四川巴中·模拟预测）如图，椭圆的一个焦点为（1，0），过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为.

(1)求椭圆的方程.
(2)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
6．已知双曲线C：（，）的右顶点为A，左焦点为F，过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且．
(1)求C的方程．
(2)过点的直线交C于，两点，直线AP，AQ分别交y轴于点G，H，试问在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由．

题型四 斜率有关定值问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交.
(1)求C的方程；
(2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率；
(3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值.
2．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积；
(3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2025·河北·模拟预测）已知圆，圆过点且与圆内切，若圆的圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线交于两点（在轴上方），且曲线与轴交于两点（在点左侧），记直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是请求出定值；如果不是，请说明理由．
4．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知双曲线C：．的离心率为，点在双曲线C上，过C的左焦点F的直线l与C的左支相交于A，B两点，且l分别交C的两条渐近线于M，N两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若O是坐标原点，，求的面积；
(3)已知点，直线AP交直线于点Q，设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值．
5．在平面直角坐标系中，点分别是椭圆的右顶点、上顶点、左顶点，若的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知两点，其中点在线段上运动（不含端点），与关于点对称，直线与椭圆的另一交点为点，直线与椭圆的另一交点为点，设直线的斜率分别为，直线的斜率分别为.
（i）求的面积的最大值；
（ii）求证：为定值，并求出该定值.

题型五 长度、角度、面积的定值问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·四川南充·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与线段相交与，与椭圆交于两点，证明：.
2．（2025·重庆·模拟预测） 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且过点为椭圆的左、右顶点，的周长为，记动点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作椭圆的切线交曲线于、两点（含情况），记、的面积分别为、，求的值.
3．如图，是椭圆的左、右焦点，，是以为直径的圆上关于轴对称的两个动点．

(1)设直线的斜率分别为，求．
(2)直线和与椭圆的交点分别为和．问：是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由．
4．过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线恰为抛物线的准线.
(1)求的方程；
(2)将抛物线向左移4个单位长度得到新抛物线，抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不重合的两点，交于点.若直线经过坐标原点，求证：的面积恒为定值.
5．（2025·河南南阳·模拟预测）已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为．
(1)写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积；
(2)已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由；
(3)若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值．
6．（2024·湖南长沙·二模）如图，双曲线的左､右焦点，分别为双曲线的左､右顶点，过点的直线分别交双曲线的左､右两支于两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线交双曲线的右支于两点.
①记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
②试探究：是否为定值？并说明理由.

题型六 非对称韦达化处理
1．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交于点，证明：点在定直线上．
(3)设直线的斜率分别为，证明：为定值．
2．已知分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF1⊥F1F2时，|PF2|＝2|PF1|．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）过点Q（﹣4，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为点M′，证明：直线NM′过定点．
3．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.

题型七 圆锥曲线与向量交汇
【技巧通法·提分快招】
1．已知直线与双曲线的右支交于不同的两点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)直线与轴交于点，是否存在实数使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
2．双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点．
(1)若双曲线的离心率为2；求b的值；
(2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率．
3．（24-25高三下·广东·开学考试）已知动点在椭圆上，且的左、右焦点分别为.设直线为上不重合的两点.
(1)求的离心率；
(2)已知；
（i）证明：点在轴的异侧；
（ii）证明：当的面积取最小值时，存在常数使得，并求的值.
4．椭圆的离心率为，设A，B分别为E的左，右顶点，C，D分别为上、下顶点，四边形ACBD的面积为4．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线与椭圆交于G、H，求的面积；
(3)过点的直线l与椭圆E交于两点P，Q（不与A，B重合），若直线PB与直线相交于点N，求证：三点A，Q，N共线．
5．（23-24高三上·河北保定·期末）已知动点在上，过作轴的垂线，垂足为，若为中点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)过作直线交的轨迹于、两点，并且交轴于点．若，，求证：为定值．
6．（2024·贵州贵阳·三模）已知为双曲线的右顶点，过点的直线交于D、E两点.
(1)若，试求直线的斜率;
(2)记双曲线的两条渐近线分别为，过曲线的右支上一点作直线与，分别交于M、N两点，且M、N位于轴右侧，若满足，求的取值范围（为坐标原点）.

题型八 切线问题
【技巧通法·提分快招】
1．已知椭圆的离心率为，过原点的直线交椭圆于、两点，且的最大值为．

(1)求椭圆的方程；
(2)若点在椭圆上．
（ⅰ）如图①，当、是短轴端点，为右顶点时，、交于、，求的长度；
（ⅱ）如图②，过作两条切线、，若其斜率之积为，求的值．
2．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，渐近线方程为，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作双曲线的切线与轴交于点，试判断与的大小关系，并给予证明．
3．已知一结论：若圆C的方程是，则经过圆C上一点的切线方程为.
(1)由上面结论分别写出下面两个所求的切线方程（不需要解题过程）
①经过双曲线上一点的切线方程
②经过抛物线上一点的切线方程
(2)已知椭圆方程为，A为椭圆上顶点，P为椭圆的右顶点，求椭圆上点到直线AP距离的最大值并求出点M坐标（注：若需要椭圆上经过某点的切线方程可以直接写）
4．（2024·河南郑州·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为．
5．在平面直角坐标系中，已知点，，点M满足：．记M的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点的直线l交曲线C于M，N两点，过点M，N分别作曲线C的切线，两切线交于点，试探究：动点是否在一条定直线上？若不在，请说明理由；若在，求出该直线的方程．

题型九 定直线及其探索性问题
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·江苏常州·期末）平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，其右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求，的方程；
(2)点是上位于第一象限的动点，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．问点是否在一条定直线上，若在，求出直线的方程；若不在，说明理由．
2．已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点．
(1)求的标准方程；
(2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上．
3．（24-25高三上·上海·月考）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为．
(1)求椭圆的离心率和标准方程；
(2)求点的坐标；
(3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上；
4．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点，，和动点满足是，的等差中项．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上．
5．（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线的一条渐近线的方程为，虚轴的一个端点到渐近线的距离为．双曲线C的右焦点为F，点M在C上，且轴，过点M与C相切的直线l与x轴交于点P．
(1)求双曲线C的方程．
(2)若点M在x轴上方，求以线段MP为直径的圆的一般方程．
(3)过点P的直线交双曲线C于D，E两点（点D在双曲线的左支上，且不为左顶点），G为线段PF的中点，直线GE与MF交于点H，求证：直线DH与x轴平行．

题型十 圆锥曲线新定义问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·江西·模拟预测）定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.
(1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
(2)如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；

(3)若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围.
2．（2025·海南·模拟预测）定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”.
结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线.
结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点.
试根据上面的定义和结论解决下列问题：
已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点.
(1)求；
(2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点；
(3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值.
3．（24-25高三下·山东·月考）对于抛物线，给定一点，若抛物线上存在两点，，使得，且不与轴垂直，则称弦是拋物线的一条“伴随弦”.已知抛物线存在“伴随弦”.
(1)求的取值范围.
(2)求伴随弦的中点的轨迹方程.（用表示）
(3)伴随弦的弦长是否有最大值？若有，求出最大值（用表示）；若没有，请说明理由.
4．一般地，平面曲线（为实常数且）在点处的切线方程为.对于椭圆上不同的两点，，称为椭圆在两点处的线性积，并记为.
(1)证明：.
(2)已知，椭圆在两点处的切线交点的轨迹为曲线.
（ⅰ）求曲线的方程；
（ⅱ）已知为椭圆的上顶点，若点与曲线上的点之间的距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆的方程.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为．
(1)求的方程；
(2)已知直线交于两点，直线与轴不平行，记直线的斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点．
2．已知抛物线的焦点到准线的距离为2.
(1)求的方程：
(2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值.
3．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交C于M，Q两点，且．
(1)求C的方程；
(2)若点P是C的准线上的一点，过点P作C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求点O到直线AB的距离的最大值．
4．已知椭圆的两个焦点是，且过点的直线与交于，两点，若的周长为8，的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)点在椭圆上，设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别交于点（不重合），为原点，证明为定值．
5．（24-25高三上·天津河北·期末）已知直线经过椭圆的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的下顶点为A，P 是椭圆C上一动点，直线AP 与圆O：相交于点 M(异于点A)，M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q (异于点A).设直线 MN，PQ 的斜率分别为，试探究当时，是否为定值，并说明理由.
6．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的左焦点为F，若T为直线上一点，过点F且与TF垂直的直线交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为M.
（ⅰ）证明：点M在直线OT上（O为原点）；
（ⅱ）求的面积的最大值，以及此时点T的坐标.
7．（24-25高三上·山东·期中）如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点.

(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
8．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知椭圆的短轴长为，离心率为．
(1)求的方程．
(2)过点作直线与圆相切，且直线与交于A，B两点．
①求的取值范围；
②求（用含的式子表示）．
9．（2025·北京海淀·二模）已知椭圆．设直线交椭圆于不同的两点、，与轴交于点．
(1)当时，求的值；
(2)若点满足且，求的大小．
10．（25-26高三上·云南临沧·月考）已知椭圆的上焦点也是抛物线的焦点，的上顶点为，下顶点为，且.
(1)求的方程.
(2)过点作一条斜率为的直线，与交于，两点，与交于，两点.
（i）若为定值，求的值.
（ii）是否存在实数，使得的面积恰好是的面积的3倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
11．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于两点（不与重合），设直线的斜率分别为，且.
(1)判断直线是否过轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
(2)若分别在第一和第四象限内，证明：直线与的交点在定直线上.
12．（2025·广东广州·三模）已知双曲线．
(1)若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程；
(2)若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
13．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知椭圆：，左右焦点分别为，，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，又P，Q是上异于椭圆顶点的两点.
(1)若点Q在第一象限且满足的面积比的面积大，求点Q的横坐标的取值范围；
(2)若线段的中点坐标为，求直线的方程；
(3)记点A在直线上的射影为点H，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点A、H、O（为坐标原点）三点的圆是否为定圆?若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.
14．（2025·辽宁·三模）已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为.
(1)求的离心率.
(2)若过点且斜率为1的直线与交于两点（在左支上，在右支上），且.
①求的方程；
②已知不经过点的直线与交于两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点.
15．（25-26高三上·河北·开学考试）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程.
(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点.
（ⅰ）若为原点，求面积的最大值；
（ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值.
16．（24-25高三下·北京·月考）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为，离心率等于．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆的左顶点，为右焦点，为椭圆上一个动点．设直线与直线交于点，连接，过作的平行线与交于点，求的值．
17．已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P是直线上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．
(1)证明：；
(2)取，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
18．（2024·四川成都·模拟预测）椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且．
(1)求椭圆方程；
(2)求的取值范围．
19．（2025·四川绵阳·模拟预测）中心在原点，左、右焦点分别为，的椭圆的离心率，椭圆上的动点（不与顶点重合），满足当时，到左焦点的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当的最大值小于5时，过点作椭圆的切线，与轴交于，与轴交于，求的最小值.
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上，且，直线过点且与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知，，若直线，交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（23-24高三上·贵州黔西·月考）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的标准方程和准线方程；
(2)记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标.
2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值．
3．（23-24高三上·山西·期末）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为1.
(1)求的方程.
(2)过点的直线与交于不同的两点A，B，问：在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
4．已知双曲线C：的离心率为，F为C的左焦点，P是C右支上的点，点P到C的两条渐近线的距离之积为．
(1)求C的方程；
(2)若线段PF与C的左支交于点Q，与两条渐近线交于点A，B，且，求．
5．已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程．
(2)已知点，过点的直线与轨迹交于两点，记直线与直线的交点为．试问：点是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．
6．（23-24高三上·湖南株洲·开学考试）已知是椭圆的左焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，椭圆的离心率为，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)，为椭圆的左，右顶点，点，当不与，重合时，射线交椭圆于点，直线，交于点，求的最大值.
7．（2025·上海杨浦·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）.
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离；
(3)求四边形面积的取值范围.
8．已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求C的方程.
(2)若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D.
（i）证明：直线DN恒过点；
（ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值.
9．（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，且
(1)求的方程；
(2)过且不与轴重合的直线与的另一个交点为，与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点.
（ⅰ）若，求的面积；
（ⅱ）证明：存在定点，使得.
10．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值；
(3)过点作，垂足为，求的最大值．
11．（2025·重庆·模拟预测）已知椭圆的左，右焦点为，，P为C上一动点，内切圆面积的最大值为，且到直线的距离为3c，过的直线l交C于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若，探究：是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由；
(3)若，直线l与直线相交于点Q，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列．
12．（2025·吉林·模拟预测）已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.
(1)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标；
(2)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线.
（i）求双曲线的标准方程及离心率；
（ii）双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值.
13．（24-25高三下·重庆·月考）已知双曲线的渐近线方程为，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为1的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为为坐标原点.
(1)求的面积；
(2)记，证明：数列为等比数列；
(3)分别为线段的中点，记的面积分别为.判断是否为定值，如果是定值，求的值；如果不是，请说明理由.
14．（24-25高三上·湖北·月考）现有一双曲线，和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线交双曲线左支于A，B两点（点在点上方），判断是否是定值，并给出理由；
(3)在（2）的条件下，过点作平行于的直线交双曲线右支于C，D两点（点在点上方），与相交于点，求证：为定值．
15．（2025·河北邯郸·一模）已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为，为坐标原点，.
(1)求的方程；
(2)若上存在不关于轴对称的两点，使得恰好被轴平分，求面积的取值范围；
(3)过的直线与交于不同的两点椭圆在两点处的切线相交于为线段的中点，证明：三点共线.
16．（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆的左右焦点为，短轴长为为上一点，为的重心.

(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上不同三点，满足，且成等差数列，线段中垂线交轴于点，求点纵坐标的取值范围；
(3)直线与交于点，交轴于点，若，求实数的取值范围.
17．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知椭圆经过，两点.为坐标原点，且的面积为，过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.且直线，分别与轴交于点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程；
(3)设，，求的取值范围.
18．（2025·浙江·二模）已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.

(1)求椭圆的方程；
(2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点.
①求的最小值；
②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.
19．（24-25高三下·山东·月考）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为．
(1)求C的标准方程；
(2)若点是C上第一象限的动点，过点作直线l（l不与渐近线平行），若l与C只有一个公共点，且l与x轴相交于点M．
（i）证明：；
（ii）若点N在直线l上，且，那么点N是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由．
20．法国数学家加斯帕尔·蒙日是18世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：.，则称圆心在原点O，半径为的圆为“椭圆C的伴随圆”.已知椭圆C：的左焦点为，点在C上，且.
(1)求椭圆C的方程以及椭圆C的伴随圆的方程；
(2)将向上平移6个单位长度得到曲线，已知，动点E在曲线上，探究：是否存在定点，使得为定值，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)已知不过点A的直线l：与椭圆C交于M，N两点，点，分别在直线AM，AN上，证明：.
21．（2024·海南海口·模拟预测）对于二次曲线，我们有：若是曲线上的一点，则过点与曲线相切的直线方程为．已知椭圆，，动圆，点是与在第一象限的交点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点作动圆的切线，经过椭圆的右焦点，求与满足的关系式；
(3)若，直线与，均相切，切点在上，切点在上，求的最大值．
1、点差法在圆锥曲线中的结论
（1）椭圆：
（2）双曲线：
（3）抛物线：
2、弦长有关的问题
（1）弦长公式：．
（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；
（3）涉及到面积的计算问题．
三角形的面积问题
直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：
1、一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式.
进一步，=
2、特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.


圆锥曲线的定点问题
1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
圆锥曲线的定值问题
1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，
求定值问题常见的解题方法有两种：
法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；
法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。
2、直接法解题步骤
第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标；
第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；
第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。
角度关系的证明往往转化为斜率问题或坐标问题，其中角相等问题优先考虑转为斜率之和为零处理，或考虑用向量进行计算。
三点共线问题的解题策略
（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等来证明三点共线；
（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；
（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；
（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第三点也在该直线上；
（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线；
（6）面积法：通过计算求出以三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”。
1、椭圆（双曲线）的切线
（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；
（2）椭圆（双曲线）在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆（双曲线）相切.
双曲线的以为切点的切线方程为
2、抛物线的切线
（1）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：；
（2）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：．
定直线问题
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.
【一般策略】
①联立方程消去参；
②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；
③将横纵坐标分别用参数表示，再消参；
④设点，对方程变形解得定直线.
解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点在某定直线．
目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况：
（1），即动点恒过直线．
（2），即动点恒过直线．
（3），即动点恒过直线．
圆锥曲线背景下的新定义问题处理思路
1、明确新定义：首先仔细阅读题目，明确新定义的内容、符号及其含义。
2、联系常规知识：将新定义与圆锥曲线的第一、第二定义或标准方程等常规知识联系起来，找出它们的相似之处或转换关系。
3、建立数学模型：根据新定义，建立相应的数学模型或方程，利用解析几何或代数方法进行求解。
4、验证与推理：在求解过程中，注意验证每一步推理的正确性，确保最终答案符合题目要求。
5、灵活应用：对于复杂问题，可能需要综合运用多种数学知识和方法，灵活应对。