2026年河南省叶县部分学校中考一模九年级数学试卷（含解析）

这是一份2026年河南省叶县部分学校中考一模九年级数学试卷（含解析），共21页。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 为丰富教职工文体生活，展现昂扬向上的精神风貌，增强团队凝聚力，4月16日下午，郑州市信息技术学校举行2026年教职工乒乓球混合团体赛．乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量超出标准质量记作，那么比标准质量轻记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：根据题意得：超出标准质量记为正数，则低于标准质量，应记为负数，
则比标准质量轻记作．
2. 如图，将直角三角形绕它的这条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：将直角三角形绕它的这条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是．
3. 若的值是有理数，则a的最小偶数值是（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 12
【答案】D
【解析】
【详解】A．当时，，不是有理数，不符合题意；
B．当时，3不是偶数，不符合题意；
C．当时，，不是有理数，不符合题意；
D．当时，，是有理数，且12是偶数，符合题意．
4. 如图，直线，是等边三角形，点A，C分别在直线m，n上，交直线m于点D．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】证明，∠DAC=∠1=35° ，再结合角的和差运算即可得到答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
5. 已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：5m·5m·5m·5m=5m+m+m+m=54m=5n，
则．
6. 随着上海国际花卉节的举行，这两天，上海街头各异的绿化带造型，频频在社交媒体上引发爆点．如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，下面描述正确的是（ ）
A. 平均数变小，方差变小B. 平均数变小，方差变大
C. 平均数变大，方差变小D. 平均数和方差均不变
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得出现有的高度一定小于等于原先的高度，即平均数变小，平整即波动变小了，方差就变小．
【详解】解：根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有的高度一定小于等于原先的高度，波动变小了，方差就变小，
∴平均数变小，方差变小．
7. 不等式组3x>2x−12x≤4的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：解得
解得
∴，
在数轴上表示如下：
8. 如图，在中，，，，以为直径的半圆O交于点D，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，利用直角三角形的性质求出，由圆周角定理得到，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接，
∵在中，，，
∴∠BAD=90°−∠C=60° ，
∴∠BOD=2∠BAD=120° ，
∵，
∴的直径为，
∴lBD⏜=120°×π×4360=4π3，即的长为．
9. 二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（ ）．

A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 可能只有一个实数根
【答案】A
【解析】
【详解】解：由图可知，方程的根的情况为有两个不相等的实数根．
10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点G．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转规律及中心角得到第4次旋转结束时点B的对应点为点D，连接，根据等边三角形的判定和性质得到是等边三角形，根据三角函数求出，，即可得到答案．
【详解】解：∵每次旋转，，，
∴第2026次旋转结束时点B的对应点与第4次旋转结束时点B的对应点相同，
∵正六边形中心角为，
∴第4次旋转结束时点B的对应点为点D，
如图，连接，
∴，
∵，
∴，是等边三角形，
∴，
∴，，
∴D2,−23，
即点B的对应点的坐标为．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 将一次函数的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为______．
【答案】
【解析】
【详解】解：将一次函数的图象向上平移个单位长度，
根据平移规律可得所得图象的函数表达式为．
12. 化简：______．
【答案】2
【解析】
【详解】解：原式=3x−3−xx−3+3x−3x−3
=3−x+3x−9x−3
=2x−3x−3
．
13. 统计数据显示，截至年月日，电影《飞驰人生3》的票房总收入约为亿元，如果该电影的平均票价是每张元，那么售出的电影票大约______张．（用科学记数法表示）
【答案】
【解析】
【分析】先将总票房统一单位为元，再根据售票张数等于总票房除以平均票价计算结果即可．
【详解】解：亿元 =4400000000 元 =4.4×109元，
售出电影票的张数：4.4×109÷50=0.088×109=8.8×107（张）．
14. 某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可．
【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快．
根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为．
15. 如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，已知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接．设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象．则点D的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据点P、Q的运动速度、运动时间、运动路程之间的关系，确定、、之间的关系，结合勾股定理和图2中点E坐标求出、、长度，再根据点Q的位置不同分类讨论，表示出的面积为y与运动的路程x之间的函数关系，并确定x的取值范围，根据二次函数的性质求出最大值，得到点D的坐标．
【详解】∵点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，
∴点P的运动路程是线段长度，
∵点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，
∴点Q的运动路程是线段长度，
∵点P、点Q同时从点A出发，同时到达点C，
∴运动时间相等，
∵点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，
∴点Q的运动路程是点P运动路程的2倍，
即当点P运动的路程为x时，点Q的运动路程是；且，
由图2点E可知，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，，即162+32−AB2=AB2，解得，∴，
当点Q在线段上运动时，过点Q作，垂足为点H，此时点P运动的路程是，点Q的运动路程是，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，即 ，
∵，
∴开口向上，
对称轴为直线，
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴当时，y最大，最大为；
当点Q在线段上运动时，此时点P运动的路程是，点Q的运动路程是，
∵，
∴QC=AB+BC−AB+BQ=32−2x ，
S△APQ=12AP×QC=12x32−2x=−x2+16x 10≤x≤16，即 10≤x≤16，
∵，
∴开口向下，
对称轴为直线x=−b2a=−162×−1=8 ，
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴当时，y最大，最大为，
∴图2中点D的坐标为．
本题考查了运动速度、运动时间、运动路程之间的关系，相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质，解题关键是能够看出图2中各点的含义和分类讨论．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）计算：；
（2）因式分解：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
17. 2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日，为深入贯彻落实总体国家安全观，切实增强青少年国家安全意识和法治素养，在甲、乙两个学校分别抽取部分学生开展国家安全知识竞赛．竞赛满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．下面是甲、乙两个学校参赛学生的成绩统计表和成绩分布折线统计图：
甲、乙两个学校参赛学生的成绩统计表
（1）求出参赛学生成绩统计表中a，b的值；
（2）小轩说：“这次竞赛我得了7分，在我们学校排名属于中游偏上！”请你判断小轩是哪个学校的学生，并说明理由；
（3）结合以上信息，请你说明哪个学校的竞赛成绩好一些．
【答案】（1）7.5，6.5；
（2）小轩是乙学校的学生，理由见解析；
（3）甲学校的竞赛成绩好一些，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据平均数及中位数的定义计算即可；
（2）根据两学校的中位数判断即可；
（3）根据已知数据判断即可．
【小问1详解】
解：．
将乙学校抽取学生成绩按从低到高排列是4，4，6，6，6，7，7，8，9，9，排在第5位和第6位的数字分别是6，7，
∴．
【小问2详解】
解：小轩是乙学校的学生．
理由如下：小轩得7分，等于甲学校成绩的中位数7分，高于乙学校成绩的中位数6.5分．
∵小轩的成绩在学校里排名属于中游偏上，
∴可以判断小轩是乙学校的学生．
【小问3详解】
解：∵甲学校参赛学生成绩的平均数和中位数均高于乙学校，
∴甲学校的竞赛成绩好一些．（合理即可）
18. 如图，为的内接三角形，为的直径．
（1）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①作平分，交于点D；
②过点D作，交的延长线于点E；
（2）在（1）的条件下，求证：是的切线．
【答案】（1）和如图所示：
（2）证明：证明：如图，连接．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，即，
∴．
∵为半径，
∴是的切线．
【解析】
【分析】（1）①根据角平分线的作法作图即可；
②根据垂线的作法作图即可；
（2）连接，根据角平分线的定义及等边对等角得到，可知，根据垂线的定义得到，可知，即可证明是的切线．
【小问1详解】
解：略
【小问2详解】
证明：略
19. 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知．
（1）______；
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）
【答案】（1）；
（2）景点C与景点D之间的距离为 ．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质可得出，的度数，再根据即可求解；
（2）通过计算的度数，得到，由等角对等边可得，在中，解直角三角形求出，，从而求出，再根据，，求出，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，由题意可得，，，，．
，，
；
【小问2详解】
解：∵，
∴．
由（1）得．
∴．
∴ ．
∵，
∴．
由题意得，
∴在中， ，CM=AC⋅cs30°=4×32=23km．
∴BM=AB+AM=4+2=6km．
∵，
∴．
∴ ．
∴DC=DM−CM=6−23km ．
答：景点C与景点D之间的距离为6−23km ．
20. 某校开展校园读书月活动，为了提高学生的阅读热情，准备购进A，B两种型号的钢笔作为奖品．已知用480元购进A型钢笔的数量比用175元购进B型钢笔的数量多25支，且A型钢笔的单价是B型钢笔单价的1.6倍．
（1）求两种型号钢笔的单价各是多少元．
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：；乙：．
①甲所列方程中的x表示______，乙所列方程中的y表示______．
②从甲、乙两名同学的方法中，选择一个进行解答；
（2）该校准备用不超过1280元的价格购进这两种型号的钢笔共200支，则最多可购进A型钢笔多少支？
【答案】（1）①B型钢笔的单价；用480元购进A型钢笔的数量；②见解析；
（2）最多可购进A型钢笔93支．
【解析】
【分析】（1）①根据题意判断即可；
②任选其一，根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）设购进A型钢笔支，则购进B型钢笔支，根据题意列不等式求出的取值范围，可知最多可购进A型钢笔的数量．
【小问1详解】
解：①B型钢笔的单价；用480元购进A型钢笔的数量
②选甲同学的方法．
．
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
∴1.6x=1.6×5=8 ．
答：A型钢笔的单价为8元，B型钢笔的单价为5元．
选乙同学的方法．．
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
（元），（元）．
答：A型钢笔的单价为8元，B型钢笔的单价为5元．
【小问2详解】
解：设购进A型钢笔m支，则购进B型钢笔支．
根据题意，得8m+5200−m≤1280 ．
解得m≤2803．
∵m为正整数，
∴m最大为93．
答：最多可购进A型钢笔93支．
21. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点P为直线OA上位于点A右侧的一点，且，过点P作轴，垂足为Q，交反比例函数的图象于点M．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点M的坐标．
【答案】（1）；
（2）点M的坐标为．
【解析】
【分析】1）将点代入可知点A的坐标为，再代入求解即可；
（2）过点A作轴，垂足为N．可知，证明，得到，进而得到，将代入，得，将代入求解即可．
【小问1详解】
解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点．
∴将点代入，得．解得．
∴点A的坐标为．
将点代入，得，
解得．
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：如图，过点A作轴，垂足为N．
∵轴，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
将代入，得．
将代入，得．
∴点M的坐标为12,94．
22. 某游乐场的圆形喷水池中心O处有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，第一象限内抛物线对应的函数表达式为y=−15x−52+7 ．
（1）求雕塑的高；
（2）求落水点C，D之间的距离；
（3）若需要在上的一点E处竖立雕塑，，，．雕塑的顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【答案】（1）雕塑的高为；
（2）；
（3）雕塑的顶部F不会碰到水柱．
【解析】
【分析】（1）把代入，求出y的值即可求解；
（2）令，求出x的值即可求解；
（3）把代入，求出y的值即可求解．
【小问1详解】
解：由题可得，点A在的图象上，
把代入，得．
∴点A的坐标为，
∴雕塑的高为
【小问2详解】
解：由题可得，点D在的图象上，且位于x轴正半轴．
令，则．
解得，（不符合题意，舍去）．
∴．
∵从A点喷出的水柱形状相同，
∴．
【小问3详解】
解：∵，
∴当时，．
∵，
∴雕塑EF的顶部F不会碰到水柱．
23. 综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）【操作判断】
如图1，折叠矩形纸片，使点A与点C重合，折痕为，将纸片展开，连接，则四边形的形状是______．
（2）【深入探究】
如图2，在矩形纸片中，点E，F分别是边上的点，且，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，得到四边形，请你猜想四边形的形状，并说明理由；
（3）【拓展应用】
在（2）的条件下，连接．若，，当直线与矩形的一边平行时，请直接写出的长．
【答案】（1）菱形 （2）四边形为平行四边形，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质以及等腰三角形的判定可得，即可解答；
（2）证明，可得，再证明△CEM≌△AFNSAS，可得，即可解答；
（3）分两种情况讨论，分别利用相似三角形的和解直角三角形解答即可．
【小问1详解】
解：由折叠的性质得：，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
【小问2详解】
解：四边形为平行四边形，理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴△CEM≌△AFNSAS，
∴，
∴四边形为平行四边形；
【小问3详解】
解：当时，设直线交于点G，交于点H，连接交于点O，此时，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
在中，，
∴∠MAH=∠EMG ，
∴，
∴MEAM=EGMH，即，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当时，设直线交于点I，交于点J，连接交于点O，连接交于点K，此时，
同理：点I为的中点，，
∴，
在△AIM 和中，
∵，
∴△AIM≌△BIMSAS，
∴，
∵点B与点M关于对称，
∴垂直平分，
∴，
在中，，
∴，
在中，；
综上所述，的长为或．
学校
平均数/分
中位数/分
合格率
优秀率
甲学校
a
7
乙学校
6.6
b