2026年陕西省商洛市部分学校中考一模九年级数学试卷（含解析）

这是一份2026年陕西省商洛市部分学校中考一模九年级数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 如果西安市2026年2月的最高温度零上记作，那么该月的最低温度零下可记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由零上为正可得零下为负，直接对应即可得出答案．
【详解】解：∵零上记作，即零上温度记为正，
∴与零上意义相反的零下温度记为负，因此零下可记作．
2. 据新华社北京1月21日电，2025年我国人工智能核心产业规模约为万亿元．将数据万亿元用科学记数法表示为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，且比原来的整数位数少1，先将 “万亿元” 转化为数字，再用科学记数法表示即可．
【详解】解：万亿元亿元元元．
3. 如图是一个花灯的立体图，它的俯视图可以近似看作（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上边看到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：它的俯视图可以近似看作
4. 如图，将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线的性质可得，再利用邻补角的性质解答即可求解．
【详解】解：如图，∵直尺的对边平行，，
，
．
5. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：原式．
6. 已知，是一次函数图象上的两点，且，，则该函数的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第二、三、四象限
C. 第一、二、四象限D. 第一、三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数的性质判断出，再结合一次函数的性质即可得出结论．
【详解】∵，，
∴对于一次函数，随的增大而增大，
∴，
故一次函数的图象经过第一、三象限；
∵，，
故，两点在第二象限，
故一次函数的图象经过第二象限；
综上，一次函数的图象经过第一、二、三象限．
7. 如图，在中，为边延长线上一点，连接交对角线于点，过点作交于点．若，则的长为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：在中，，
设，
．
，
，．
，
．
，
，，
，
，
，即，
解得，（舍去）．
．
8. 在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的对称轴为直线，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A. 的值为
B. 抛物线不可能经过坐标原点
C. 的最大值为
D. 关于的方程在范围内有实数根，则
【答案】D
【解析】
【详解】解：A选项，二次函数图象的对称轴为直线，，，A选项不符合题意；
B选项，，，当时，二次函数为，当时，，即当时，抛物线经过坐标原点，B选项不符合题意；
C选项，，抛物线的对称轴为直线，当时，取得最小值，此时最小值为，C选项不符合题意；
D选项，关于的方程在的范围内有实数根，当时，，；当时，，，，D选项符合题意．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9. 计算： ____________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据算术平方根与立方根的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
=4-2
=2．
故答案为：2．
本题考查了算术平方根和立方根，解题关键是熟记算术平方根和立方根定义，准确求出算术平方根和立方根．
10. 园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第个图形中花卉的总盆数为________．（用含的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】找到图中的规律解题即可．
【详解】解：本题图形分两部分，第一部分是用圆点表示的图形，数量规律是1，2，3，4，…；
第二部分是用三角形表示的部分，数量规律是，，，…，
第个图形中花卉的总盆数为．
11. 陕西富平柿饼霜厚肉糯、甜润无涩．某商家购进一批柿饼，以每盒22元的价格出售，每盒可获利，则该批柿饼的进价为每盒________元．
【答案】20
【解析】
【分析】设该柿饼的进价为每盒元，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设该柿饼的进价为每盒元，根据题意得：
，
解得，
答：该柿饼的进价为每盒元．
12. 如图，四边形内接于，是的三等分点，连接，．若，则的度数为________．
【答案】##度
【解析】
【分析】先根据弧的三等分点得到弧的度数关系，再利用圆周角定理、等腰三角形的性质求解．
【详解】解：如图，连接，
，根据圆心角等于圆周角的两倍，
，
是的三等分点，
，
，
，
．
13. 如图，已知菱形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边与该反比例函数的图象交于点，连接，．若点的纵坐标为6，则与的面积之和为________．
【答案】
【解析】
【分析】由菱形得，利用 “同底等高的三角形面积相等”将与的面积之和转化为菱形面积的一半，再通过反比例函数解析式求出点 A 坐标，进而计算菱形的面积即可求解．
【详解】解：如图，过点作交轴于点，连接，
∵四边形是菱形，
∴，轴，，
∴，
∴，
∵点的纵坐标为6，
∴点的纵坐标为6，
∵点在反比例函数的图象上，
将代入解析式得，
解得，
∴点，即，，
在中，
，
∴，
∴．
14. 如图，在边长为6的正方形中，，分别是边，上的点，，连接．若，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】将绕点顺时针旋转得到，通过全等三角形得到，根据正方形性质以及已知条件求解的长．
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，
，，，
四边形是边长为6的正方形，
，
，
三点共线，
，
，
，
，
又
，
，
，
设，，
，，，
，
在中，，即，
解得，（不符合题意，舍去），
．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【详解】解：
16. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】，原不等式组的所有整数解为1，2，3，4
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
原不等式组的解集为，
原不等式组的所有整数解为1，2，3，4．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【详解】解：原式
，
当时，原式．
18. 如图，是的一条弦，请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】过点O作直线于点D，然后在直线上作，再作射线交于点C，即可．
【详解】解：如图，点即为所求．
19. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定和平行线的性质证明即可
【详解】证明：，，
，，，
，
在和中，
，
．
20. 以“逐梦冰雪，陕耀未来”为主题的陕西省第一届冬季运动会在榆林如期举办，某学校建议同学们利用寒假时间自主观看比赛．甲、乙两位同学计划从，，，四个赛场中随机选择一个去观看比赛．
（1）甲同学选择赛场属于________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”）
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学选择不同赛场观看比赛的概率．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】（1）根据随机事件的定义解题；
（2）根据列表法解题即可．
【小问1详解】
解：甲同学选择A赛场属于随机事件；
【小问2详解】
解：根据题意，列表如下：
由上表可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择不同赛场观看比赛的结果有12种，
．
21. 如图，小琪想测量广场边的图腾柱的高度，图腾柱外围有栅栏无法直接到达底部处进行测量．在对周边进行测量时，小琪发现图腾柱所在的广场比广场外的路面高，身高的小琪（）站在广场上图腾柱的另一侧，且距离点远的处，在处的灯光的照射下，小琪留在地面上的影长为，广场边沿留在路面上的影长为，已知点，，，，在同一条直线上，，，，广场与路面平行，求图腾柱的高度．
【答案】图腾柱的高度为
【解析】
【分析】运用两次相似三角形的性质，先利用求出与的比例关系，将用表示出来，再通过列出将都用表示再计算出的值即可求出的值．
【详解】解：，
．
，，
，
，
，即，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
．
答：图腾柱的高度为．
22. 在某次虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器（如图①）．实验开始时，高位容器内水面高度一定，实验开始的短时间内，由于水流速度恒定，高位容器内水面高度随时间均匀下降，高位容器内水面高度与实验时间之间的关系如图②所示．
（1）实验开始时，高位容器内水面高度为________；
（2）求实验开始的短时间内，与之间的函数关系式；
（3）若实验进行到第时，水流速度发生变化，求此时高位容器内的水面高度．
【答案】（1）30 （2）
（3）此时高位容器内的水面高度为
【解析】
【分析】（1）通过图②函数与轴的交点即可解决，
（2）用待定系数法即可求出与的函数关系式，
（3）将代入第二小问求出的函数关系式求出即可．
【小问1详解】
解：观察图象可知实验开始时，高位容器同水面高度为；
【小问2详解】
设与之间的函数关系式为，
将，代入，得，
解得，
与之间的函数关系式为；
【小问3详解】
当时，，
答：此时高位容器内的水面高度为．
23. 某地为了把草莓产业从“规模扩张”向“品质升级”转型，同时为农户提供更科学的种植技术指导，研究人员针对某核心草莓种植基地的试验棚开展专项抽样调查．科研人员从试验棚中随机选取颗草莓并测量其单果质量，数据如下（单位：克）：


通过对以上数据的分析整理，绘制了如下统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）________，________；
（2）求这个数据的中位数和众数；
（3）已知单颗质量满足的草莓为长势良好的草莓，若该试验棚里一共可以收获草莓约颗，估计长势良好的草莓的总质量为多少千克？
【答案】（1），
（2）中位数为，众数为
（3）估计长势良好的草莓的总质量为千克
【解析】
【分析】（1）找出B组和E组的频数，即可求解；
（2）根据中位数和众数的定义即可求解．
（3）先求得的数据的平均数，再根据样本估计总体进行计算即可求解．
【小问1详解】
解： 组有： ，共个，故
组有： ，共个，故
【小问2详解】
解：将个数据从小到大排序后第，个数据分别为，6，
中位数为，
个数据中，出现了次，出现的次数最多，
众数为23；
【小问3详解】
解：颗草莓中质量在之间的数据有：，，，，，，，，，，
满足的数据的平均数为（克），
（千克），
答：估计长势良好的草莓的总质量为千克
24. 如图，是的直径，是的弦，连接，过点作的切线，交的延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）若的半径为，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据等边对等角得出，结合三角形的外角性质得出，推得，根据平行线的判定得出，根据切线的定义得出，根据平行线的性质即可证明；
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，结合正切的定义得出，结合圆的概念和勾股定理，列出方程求出，求得，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质即可求出．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
【小问2详解】
如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
在中，，
故，
在中，，
∴，
∵的半径为，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得．
25. 在一次烟花大赛中，两个不同位置的发射台同时发射了特制的烟花弹，烟花弹的轨迹高度与水平距离之间的关系图象可近似看作抛物线，如图所示，以水平地面为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知如下信息：
烟花弹的发射点位于坐标原点，其爆炸最高点坐标为，落地点为；
烟花弹的发射点位于轴上点，其爆炸最高点坐标为．
设所有烟花弹轨迹的对称轴均垂直于水平地面，且均沿抛物线轨迹运动直至落地．
（1）求烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式；
（2）若将烟花弹的轨迹关于轴对称后，得到一条新的抛物线，点在抛物线上，轴，求点到点的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法解题即可；
（2）根据待定系数法和轴对称的性质求出抛物线的表达式，求出点的坐标，将点的横坐标代入抛物线的表达式，进而解题．
【小问1详解】
解：烟花弹的发射点位于坐标原点，其爆炸最高点坐标为，
设烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为y=a1x−42+80 ，
将代入表达式，得0=a10−42+80 ，
解得，
烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为y=−5x−42+80 ；
【小问2详解】
解：烟花弹的爆炸最高点坐标为−4,64，
设烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为y=a2x+42+64,
将代入表达式，得0=a2−10+42+64 ，
解得，
烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为y=−169x+42+64 ，
烟花弹的轨迹对应的抛物线与的轨迹对应的抛物线关于轴对称，
抛物线的表达式为y=−169x−42+64 ，
如图，
为烟花弹的落地点，烟花弹的轨迹对应的抛物线表达式为y=−5x−42+80 ，
令，
解得（不符合题意，舍去），，
，
轴，点在抛物线上，
设F8,h，则h=−169×8−42+64=3209，
点到点的距离为．
26. 问题探究
（1）如图①，为的直径，且，为上一点，过点作于点，则的最大值为________；
（2）如图②，在和中，，，连接，，若，求的长；
问题解决
（3）如图③，某植物园原计划设计四边形花卉园展示区，其中，，后根据实际需求，需要将四边形扩建为四边形，点在边的延长线上，连接，，，满足，，，且的面积最大，请问是否能扩建出满足要求的四边形？若能，请求出此时面积的最大值；若不能，请说明理由．（结果保留根号）
【答案】（1）
（2）
（3）能，最大值为
【解析】
【分析】（1）为上一点，，当为圆的半径时，取得最大值；
（2）通过证明，利用直角三角形的边长比例关系求解；
（3）先证明，再证明，作的外接圆，连接，，过点作于点，过点作于点，求得，即得面积的最大值．
【小问1详解】
解：如图①，当点与圆心重合时，的值最大，此时为的半径，
为的直径，，
的最大值为．
【小问2详解】
解：，，
，
在和中，
，
，
又，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：能扩建出满足要求的四边形．
理由如下：
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，
∴，
如答案图②，延长至点，使，连接，
，
，
，
，
令和的交点为，则，
又∵，
，即，
，
，
作的外接圆，连接，，过点作于点，过点作于点，
则，，
在中，，，
，
，
当三点共线时，取等号，
，
面积的最大值为，
综上所述，面积的最大值为．甲
乙
A
B
C
D
A
B
C
D
组别
草莓单果质量（克）
频数