人教版（2024）九年级上册（2024）29.1.2 过三点的圆教学设计

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）29.1.2 过三点的圆教学设计，共21页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。

教师备课 素材示例
●情境导入 展示破损圆形镜子图片，提问：“家里的圆形镜子摔碎了，只留下一块带圆弧的碎片，想配一块和原来一样大的新镜子，该怎么确定圆心和半径呢？”
引导思考：要画一个和原镜子一样的圆，关键是找到圆心和半径，而镜子的圆弧上有无数个点，能不能通过这些点来确定圆？
【教学与建议】教学：用生活中的“圆镜修复”创设悬念，让学生感受数学与生活的联系，激发探究欲．建议：可让学生先大胆猜想“需要几个点才能确定一个圆”，带着猜想进入新课学习．
●探究导入 探究1：过一个点作圆
问题1：经过一个点A，能作圆吗？能作多少个？
学生活动：用圆规在草稿纸上尝试作图，小组讨论．
引导归纳：画圆需要确定圆心和半径，以点A外任意一点为圆心，以该点到A的距离为半径，就能画圆．
初步结论：经过一个点能作无数个圆．
探究2：过两个点作圆
问题2：经过两个点A，B，能作圆吗？圆心有什么特点？
学生活动：回忆“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，尝试作线段AB的垂直平分线，在平分线上取点作圆．
引导归纳：经过A，B的圆，圆心到A，B的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．
初步结论：经过两个点能作无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上．
探究3：过三个点作圆
问题3：经过三个点A，B，C(不在同一直线上)，能作圆吗？怎么确定圆心？
学生活动：思考圆心需同时到A，B，C三点的距离相等，既要在AB的垂直平分线上，又要在BC的垂直平分线上．
初步猜想：两条垂直平分线的交点就是圆心，这样的圆有且只有一个．
【教学与建议】教学：以旧知为起点，通过“反向思考”层层设问，让学生经历“观察—猜想—归纳”的过程，自然过渡到新课，符合知识迁移规律．建议：让学生先在草稿纸上简单画一画“过1个点、2个点的圆”，直观感受“无数个圆”的特点；对于“过三点作圆”，可先让学生大胆猜想，再通过作图验证，培养逻辑推理能力．
命题角度1 不在同一直线上的三个点确定一个圆
题型主要有两种，一是已知不在同一直线上的三点绘制一个圆；二是已知三角形求它的外接圆半径．

【例1】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了(如图)，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是(A)
A．① B．② C．③ D．④
命题角度2 三角形的外接圆与外心
根据三角形外接圆的定义确定三角形的外心，利用外心是三角形三边垂直平分线的交点解决线段、角度相等问题．
【例2】
(1)如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是(C)
A．点E B．点F
C．点G D．点H
(2)如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作CD⊥AB于点D.若CD＝3，AC＝6，则BC的长为__5__．
命题角度3 反证法
这类题目一般只考查假设的第一步．反证法证明一般有三个步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)推理得出矛盾；(3)肯定原命题的结论成立．
【例3】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是__点在圆上或圆内__．
欧几里得喜爱的证法
英国著名的数学家哈代说过：“欧几里得所喜爱的间接法(反证法)是数学最好的武器之一，它比象棋中任何的‘丢卒保车’走法都高明．因为一个棋手提供牺牲的只是一兵一卒，而一个数学家提供的是整个求证的目标．”反证法是一种间接证法，它可以分为两种：如果所要证明的结论，它的反面只有一种情况就叫归谬法；如果结论的反面有两种以上情况就叫穷举法．
高效课堂 教学设计
1．探究过点画圆的过程，掌握过不在同一条直线上三点画圆的方法．
2．了解运用反证法证明命题的思想方法．
▲重点
过不在同一条直线上的三点作圆．
▲难点
探究过三点作圆的过程，明白过同一条直线上的三点不能作圆的道理．

◆活动1 新课导入
1．圆的大小由__半径__确定；位置由__圆心__确定．
2．线段垂直平分线上的点到线段两个__端点__的距离__相等__．
3．到线段两端点的距离相等的点在线段的__垂直平分线__上．
◆活动2 探究新知
1．教材P117 探究．
提出问题：
(1)作圆，使圆经过两个已知点A，B，你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
(2)作圆，使该圆经过三个已知点A，B，C(其中A，B，C三点不在同一条直线上)，你是如何作的？你能作出几个这样的圆？
(3)探究锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外心的位置．
学生完成并交流展示．
2．教材P118 思考及以下内容．
提出问题：
(1)经过不在同一条直线上的三点A，B，C作⊙O，圆心O如何确定？请作出该圆．
(2)请用反证法证明：经过不在同一条直线上的三点能作出一个圆．
(3)总结用反证法证明的步骤．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．经过已知点A可以作__无数__个圆，经过两个已知点A，B可以作__无数__个圆，它们的圆心在__线段_AB的垂直平分线__上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作__一__个圆．
2．经过三角形的__三个顶点__可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的__垂直平分线__的交点，叫作这个三角形的外心．
锐角三角形的外心在三角形__内部__；直角三角形的外心是三角形__斜边的中点__；钝角三角形的外心在三角形__外部__；任意三角形的外接圆有__一__个，而一个圆的内接三角形有__无数__个．
3．用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；③由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立．
◆活动4 例题与练习
例1
如图所示的是残缺的圆形轮片，如何找此残片所在的圆的圆心．(不写作法，保留作图痕迹)
解：在弧上任意找两条弦，分别作它们的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是圆心．图略．

例2 用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.
练习
教材P118 练习第1，2题．
◆活动5 课堂小结
三角形外接圆及三角形的外心的概念．
1．作业布置
(1)教材P120 习题29.1第5，6题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思