2026年高考数学大一轮复习(新高考版)专题05数列求和的方法(4种模型解题方法+强化训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学大一轮复习(新高考版)专题05数列求和的方法(4种模型解题方法+强化训练)(学生版+解析)，共5页。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc161069161" 题型归纳
\l "_Tc161069162" 题型01 倒序相加法求和 1
\l "_Tc161069162" 题型02 错位相减法求和 6
\l "_Tc161069164" 题型03 裂项相消法求和11
\l "_Tc161069163" 题型04 分组（并项）法求和16
\l "_Tc161069167" 强化训练21
题型01 倒序相加法求和
【例1-1】已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4069B．2023
C．2024D．4046
【例1-2】已知，则（ ）
A．-8088B．-8090C．-8092D．-8094
【变式1-1】（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（ ）
A．2024B．4048C．3036D．2025
【变式1-2】已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： .
【变式1-3】已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前2024项和.
题型02 错位相减法求和
【例2-1】已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【例2-2】（2025·江西景德镇·三模）已知分别是等差数列和等比数列的前项和，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若为递增数列，，求数列的前项和．
【例2-3】（2025·新疆·模拟预测）已知为等比数列，是，的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【变式2-1】（2025·安徽合肥·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【变式2-2】（2025·广西·模拟预测）欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数，欧拉函数表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数．例如（1，3，5，7与8互质）．
(1)求，，的值；
(2)已知数列满足，求的前项和．
【变式2-3】（2025·辽宁大连·一模）已知首项相同的等差数列的公差与等比数列的公比大小相等，且，
(1)求数列和的通项公式;
(2)令，求数列的前项和.
题型03 裂项相消法求和
【例3-1】（2025·四川巴中·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
【例3-2】已知等比数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前48项和.
【例3-3】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记为数列的前n项和，且满足，．
(1)求；
(2)求；
(3)令，记数列的前n项和为，证明：．
【变式3-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列是等差数列，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
【变式3-2】（2025·湖南·模拟预测）设正项数列的前n项和，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【变式3-3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为.
(1)证明：是常数列；
(2)设，求数列的前项和.
题型04 分组（并项）法求和
【例4-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）若是等比数列，且，则数列的前8项和为（ ）
A．689B．716C．729D．1597
【例4-2】已知数列的前项和为，若则 .
【例4-3】（2025·河南·模拟预测）已知数列和满足是等比数列，是等差数列.
(1)求和的通项公式；
(2)求和的通项公式；
(3)求的前项和.
【变式4-1】（2025·陕西·一模）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前项和．
【变式4-2】（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若数列满足，，且当，.
（i）求证：；
（ii）求数列的前项的和．
【变式4-3】（2025·河南新乡·模拟预测）已知数列各项均为正数，且满足，，，
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，试证明：，
一、单选题
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，且，则（ ）
A．1364B．1363C．1264D．1263
2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河南·三模）函数满足：，，且，则（ ）．
A．4900B．4950C．5000D．5050
4．（2025·云南·模拟预测）已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·广东广州·模拟预测）已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（ ）
A．9143B．9145C．10009D．10154
二、多选题
6．（2025·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足，则（ ）
A．为等差数列B．
C．数列为递增数列D．数列的前项和为
7．（2025·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．数列是等差数列
C．D．
8．（2025·广东·模拟预测）记为数列的前项和，若，则（ ）
A．的最小值为
B．的最大值为
C．存在数列，使得
D．存在数列，使得
三、填空题
9．（2025·江西新余·模拟预测）设，函数表示不超过的最大整数．若正项数列中，，且当时，，为其前项和，则 ．
10．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，且数列的前项和为，则 .
11．（2025·四川成都·模拟预测）已知数列满足，则 ．（表示不大于的最大整数）
12．（2025·贵州·模拟预测）高斯（Gauss）是德国著名的数学家，是历史上最杰出的数学家之一，被誉为“数学王子”.称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：.设，当时，的值域为 ；当，. .
四、解答题
13．（2025·广东广州·模拟预测）已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列．
(1)写出的前6项；
(2)记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和．
14．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)给定正整数m，设函数，求．
15．（2025·陕西·模拟预测）已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和．
(1)求通项公式及；
(2)设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和．
16．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项，且满足
(1)求证：为等比数列；
(2)设，记的前项和，求满足的最小正整数．
17．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列的首项，且满足（）.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若（），求数列的前项和.
18．（2025·安徽·模拟预测）已知数列的前项积为，其中，数列的通项公式为.
(1)求数列及的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求证：.
19．（2025·安徽·一模）已知函数为函数的导函数.
(1)证明：；
(2)若函数，请判断在区间上的零点个数，并说明理由；
(3)若函数，证明：当时，.
如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n 项和.
1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法.
2.用错位相减法求和时，应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.
1.裂项相消法的原则及规律
(1)裂项原则：一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.
(2)消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项.
2.常见的裂项技巧
①1n(n＋1)＝1n－1n＋1. ②1n(n＋2)＝121n−1n＋2. ③1(2n−1)(2n＋1)＝1212n−1−12n＋1.
④1n＋n＋1＝n＋1－n. ⑤1n(n＋1)(n＋2)＝121n(n＋1)−1(n＋1)(n＋2).
1.分组求和法常见题型
①若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
②若数列{cn}的通项公式为cn＝an,n为奇数,bn,n为偶数,
其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.并项求和法常见题型
①数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n项和.
②数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n项和.