2026年高考数学大一轮复习(新高考版)专题04数列通项公式的求法(4种模型解题方法+强化训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学大一轮复习(新高考版)专题04数列通项公式的求法(4种模型解题方法+强化训练)(学生版+解析)，共5页。试卷主要包含了已知数列的前项和为，，，已知数列的前n项和满足，已知数列的前n项和为，且，.，设数列的前项和为，且，.，已知为数列的前项和，且.，已知数列的前项和为，且满足，，等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc161069161" 题型归纳
\l "_Tc161069162" 题型01 Sn与an关系法求数列通项 1
\l "_Tc161069163" 题型02 累加法求数列通项4
\l "_Tc161069164" 题型03 累乘法求数列通项6
\l "_Tc161069162" 题型04 构造法求数列通项 7
\l "_Tc161069167" 强化训练9
题型一：Sn与an关系法求数列通项
1．（2025·全国·模拟预测）已知数列的前项和，则（ ）
A．6B．11C．12D．2
2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河南三门峡·三模）已知数列的前n项和是，若，，则（ ）
A．B．1C．2D．3
4．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求的通项；
(3)求的最大值．
5．（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列的前n项和满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围．
6．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求.
7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）设数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，.
8．（2025·山东·模拟预测）已知为数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
9．（2025·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，且满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
题型二：累加法求数列通项
10．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（ ）
A．239B．225C．211D．261
12．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，．
(1)若，，成等差数列，求k；
(2)求．
13．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项为，前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，求证：．
14．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)令（），求数列的前项和．
题型三：累乘法求数列通项
15．（2025·全国·模拟预测）数列递推指的是通过数列第项与前几项或者后几项的关系，计算出数列的任一项．若数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
16．在数列中，若，则（ ）
A．1012B．1013C．2023D．2024
17.若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和.已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则 .
18．设等差数列的前项和为，，
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足，，记的前项和为，求
19．设为正项等比数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，，求的前项和.
题型四：构造法求数列通项
20．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（ ）
A．4B．3C．D．
21．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项 ．
22．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和.
23．（2025高三·全国·专题练习）已知，点在函数的图象上，其中，，，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求及数列的通项；
(3)记，求数列的前项和，并证明：．
24．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知方程的两实根分别为，数列的通项公式为的前项和为.
(1)求；
(2)求的值；
(3)设数列的前项和为，证明：.
一、单选题
1．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前项和，则（ ）
A．153B．161C．163D．238
2．（2025·四川成都·二模）已知正项等差数列满足，则（ ）
A．4050B．2025C．4048D．2024
3．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4．（2025·广西·模拟预测）已知数列的前项和为，，且，则（ ）．
A．不是等比数列B．
C．D．
5．（2025·四川绵阳·一模）已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是等差数列D．是等比数列
三、填空题
6．（2025·河南·模拟预测）记为正项数列的前项和，，为等比数列，则 ．
7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则 ； ．
8．（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则
9．（2025·河南信阳·模拟预测）甲、乙两人进行射击比赛，每次由其中一人射击，规则如下：若击中则此人继续射击，若未击中则换对方射击．无论之前射击情况如何，甲每次射击的命中率均为，乙每次射击的命中率均，第一次射击的人是甲、乙的概率各为．求第三次射击的人是甲的概率为 ．
10．（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 .
四、解答题
11．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：．
12．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
13．（2025·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)若，求；
(2)若，求关于n的表达式．
14．（2025·安徽合肥·模拟预测）记为数列的前n项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设递增的等差数列满足，且成等比数列.设，证明：.
15．（25-26高三上·广东·开学考试）已知数列的前n项和为，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，求证：．
16．（2025·全国·模拟预测）设数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和．
17．（2025·贵州·模拟预测）在等差数列中，；记为数列的前项和，且.
(1)分别求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
18．（2025·湖南·模拟预测）设正项数列的前n项和，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
19．（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有.
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求的前n项和.
已知Sn与n的关系或Sn与an的关系式求an时，可利用an=Sn−Sn−1(n≥2) 代换、变形求出an,注意验证a1是否满足an=Sn−Sn−1 .
形如an+1=an+f(n)型的递推数列（其中f(n)是关于n 的函数）可构造&an−an−1=f(n−1),&an−1−an−2=f(n−2),&⋯&a2−a1=f(1),
将上述n−1个式子两边分别相加,可得an=f(n−1)+f(n−2)+⋯+f(2)+f(1)+a1(n≥2) .
（1）若f(n)是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
（2）若f(n)是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
（3）若f(n)是关于n 的二次函数,累加后可分组求和;
（4）若f(n)是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和.
形如an+1=an⋅f(n)(an+1an=f(n))型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数) 可构造&anan−1=f(n−1),&an−1an−2=f(n−2),&⋯&a2a1=f(1),
将上述n−1 个式子两边分别相乘,可得an=f(n−1)⋅f(n−2)⋅⋯⋅f(2)f(1)a1(n≥2) .
类型一：形如an+1=pan+q(p≠1且q≠0)型的递推式.数列{an} 为线性递推数列,其通项公式可通过待定系数法构造等比数列来求.
设an+1+λ=p(an+λ),展开移项整理得an+1=pan+(p−1)λ ，与题设an+1=pan+q 比较系数（待定系数法）得λ=qp−1(p≠1,q≠0)⇒an+1+qp−1=p(an+qp−1)⇒an+qp−1=p(an−1+qp−1)(n≥2) ,即数列
{an+qp−1}构成以a1+qp−1为首项，以p 为公比的等比数列.
类型二：形如an+1=pan+f(n)(p≠1)型的递推式.（1）当f(n) 为一次函数类型（即等差数列）时，设an+An+B=p[an−1+A(n−1)+B],通过待定系数法确定A，B 的值,转化成以a1+A+B为首项,以p为公比的等比数列{an+An+B} ,再利用等比数列的通项公式求出{an+An+B}的通项公式，整理可得an.(2)当f(n) 为指数函数类型（即等比数列）时,设an+λf(n)=p[an−1+λf(n−1)],通过待定系数法确定λ 的值,转化成以a1+λf(1)为首项,以p为公比的等比数列{an+λf(n)} ,再利用等比数列的通项公式求出{an+λf(n)}的通项公式，整理可得an .