安徽省合肥市第八中学2026届高三考前保温训练数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份安徽省合肥市第八中学2026届高三考前保温训练数学试卷含解析（word版+pdf版），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设全集 U=x∈N x20,a40 ,即可判断 A ; 结合单调性分析数列 an 的正负性,即可得 Sn 的最值,即可判断 BCD.
【详解】因为数列 an 为等差数列,
则 S9=9a5>0 ,即 a5>0 ,
且 S8=4a4+a50 ,故 C 错误, D 正确.
10. 已知随机事件 A,B,C 满足 PA=13,PB=25,PC=13,PA∪B=35 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 事件 A,B 相互独立
B. PA∣B=PB∣A
C. 若 PAC=PAC ,则 PA∣C=12
D. 若 PC∣A+PC∣A=23 ,则 PAC=19
【答案】ACD
【分析】利用条件概率公式, 相互独立事件概率公式, 并事件概率公式来进行求解即可.
【详解】利用概率加法公式: 由 PA∪B=PA+PB−PAB ,
代入 PA=13,PB=25,PA∪B=35 得: PAB=13+25−35=215 ，
又 PAPB=13×25=215 ,所以算 PAPB=PAB ,
所以事件 A,B 相互独立,故 A 正确;
根据条件概率公式计算: PA∣B=PABPB=21525=13,PB∣A=PABPA=21513=25 ,
则 PA∣B≠PB∣A ,故 B 错误;
由 PAC=PAC ,且 PC=PAC+PAC ,得 PC=2PAC ,
因为 PC=13 ,所以 PAC=16 ,
即 PA∣C=PACPC=1613=12 ,故 C 正确:
由 PC∣A+PC∣A=23 可得: PCAPA+PCAPA=23 ,
代入 PA=13,PA=23 ，可得 3PCA+32PCA=23⇒18PCA+9PCA=4 ，
又因为 PCA+PCA=PC=13 ,两式消元解得:
18PCA+913−PCA=4⇒9PCA=1⇒PCA=19 ,故 D 正确.
11. 设复数 z 满足 z2−4=z2 ,则( )
A. z−2−z+2=22 B. z≥2
C. 关于 z 的方程 z=a+aia∈R 有解 D. 若复数 w 满足 w=1 ,则 z−w≥2−1
【答案】ABD
【分析】设 z=x+yix,y∈R ,根据 z2−4=z2 可得 x2−y2=2 ,故 Px,y 在双曲线上,由双曲线的性质可判断 ABC 的正误,根据三角形不等式可判断 D 的正误.
【详解】设 z=x+yix,y∈R ,则 x+yi2−4=x+yi2 ,
整理得 x2−y2−4+2xyi=x2−y2+2xyi ,
故 x2−y2−42+4x2y2=x2−y22+4x2y2 即 x2−y2=2 ,
故 Px,y 在双曲线 x2−y2=2 上,焦点坐标为 2,0,−2,0 ,实半轴长为 2 ,
故 ∥z−2−z+2∥ 表示 P 到两个焦点的距离差的绝对值,
故 z−2−z+2=22 ，故 A 正确；
z 即为 P 到原点的距离，故 OP 大于等于实半轴长，故 z≥2 ，故 B 成立，
对于 C ,由 z=a+aia∈R 可得 x+yi=a+ai ,而 x,y,a∈R ,
故 x=a,y=a ,而 x2−y2=2 ,故矛盾,故 C 错误;
对于 D ,因为 z 即为 P 到原点的距离,由 B 的分析可得 z≥2 ,
而 z−w≥z−w≥2−1 ,故 D 正确;
故选: ABD.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 等比数列 an 的前 n 项之积为 Tn ,若 a5=4 ,则 lg2T9= _____.
【答案】 18
【详解】由等比中项的性质可得 T9=a1a2⋯a8a9=a59=49=218 ,
所以 lg2T9=lg2218=18 .
13. 在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 与角 β 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对称. 若 sinα=13 ,则 csα−β =
【答案】 −79
【详解】试题分析: 因为 α 和 β 关于 y 轴对称,所以 α+β=π+2kπ,k∈Z ,那么 sinβ=sinα=13 ,
csα=−csβ=223 (或 csβ=−csα=223 ),
所以 csα−β=csαcsβ+sinαsinβ=−cs2α+sin2α=2sin2α−1=−79 .
【考点】同角三角函数, 诱导公式, 两角差的余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系,以及诱导公式,常用的一些对称关系包含: 若 α 与 β 的终边关于 y 轴对称,则 α+β=π+2kπ,k∈Z ,若 α 与 β 的终边关于 x 轴对称,则 α+β=2kπ,k∈Z ,若 α 与 β 的终边关于原点对称,则 α−β=π+2kπ,k∈Z .
14. 过正四面体的一条棱作截面将其分为两个三棱锥, 则这两个三棱锥外接球半径之比的范围是_____.
【答案】 32,233
【分析】建系, 利用坐标运算以及球的定义得出球心坐标和半径, 再构造函数求范围.
【详解】如图,正四面体 D−ABC ,过点 D 作 DH⊥ 平面 ABC ,且垂足为 H ,
取线段 BC 的中点为 E ,则 A,H,E 三点共线,
以 H 为原点,以平行于 BC 的直线为 x 轴,以 HE,HD 所在直线为 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设正四面体的棱长为 2,
则 AE=DE=3,HE=13AE=33,AH=23AE=233 ,
因为 DH⊥ 平面 ABC,HE⊂ 平面 ABC ,所以 DH⊥HE ,
则 DH=DE2−HE2=3−39=263 ,
则 A0,−233,0,B1,33,0,C−1,33,0,D0,0,263 ,
设过棱 AD 的平面与 BC 交于点 F ,故可设 Fm,33,0,m∈−1,1 ,
设三棱锥 D−AFC 的外接球半径为 R1 ,球心坐标为 x1,y1,z1 ,
三棱锥 D−AFB 的外接球半径为 R2 ,球心坐标为 x2,y2,z2 ,
则 R12=x12+y1+2332+z12=x1+12+y1−332+z12
=x1−m2+y1−332+z12=x12+y12+z1−2632 ,
R22=x22+y2+2332+z22=x2−12+y2−332+z22
=x2−m2+y2−332+z22=x22+y22+z2−2632 ,
解得, x1=m−12,y1=m−123,z1=3−m26,R12=3m2−2m+118 ,
x2=m+12,y2=−m+123,z2=m+326,R22=3m2+2m+118,
故 R12R22=3m2−2m+113m2+2m+11=1−4m3m2+2m+11 ,
若 m=0 ,则 R12R22=1 ;
若 m∈−1,0∪0,1 ,则 R12R22=1−43m+11m+2 ,
因为 y=3m+11m+2 在 −1,0 上单调递减,在 0,1 上单调递减,
且当 m=−1 时 y=−12 ,当 m=1 时 y=16 ,
所以 3m+11m+216 ,
则 −13