安徽省合肥市第八中学2026届高三下学期强化训练三 数学试卷（含解析）

这是一份安徽省合肥市第八中学2026届高三下学期强化训练三 数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数满足，则（ ）
A．B．2C．D．
3．在等比数列中，，是方程的两个根，则（ ）
A．6B．9C．12D．6或12
4．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
5．甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．点G，O分别是的重心和外心，且，，则边BC的长为（）
A．6B．5C．7D．3
7．已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
8．斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用．斐波那契数列满足如下递推关系：，．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表：
经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ）
A．每公顷产量与耕种深度呈负相关B．耕种深度的平均数为12
C．每公顷产量的平均数为7.8D．
10．下列关于三次函数叙述正确的是（ ）
A．函数的图象一定是中心对称图形
B．函数可能只有一个极值点
C．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
D．当时，则过点的切线可能有一条或者三条
11．已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ）
A．若时，圆与圆有两条公切线
B．若时，两圆公共弦所在直线的方程为
C．弦长的最小值为
D．若点，则的最大值为
三、填空题
12．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______．
13．高等数学中对于一类反三角函数（如：，等）的求导过程如下：
请仿照上述方法，写出在处的切线斜率＝______.
14．已知，且，，是在内的三个不同零点，则______.
四、解答题
15．在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示.（其中A，B，C，且），且空间向量为该平面的一个法向量.
(1)求原点O到平面：的距离；
(2)根据点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并利用法向量和投影向量的相关知识证明.
16．为数列的前项和，已知.
（1）设，证明：，并求；
（2）证明：.
17．某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.
(1)记甲同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求；
(2)若甲同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.
18．已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
①证明：直线过定点；
②设的面积为，求的最大值.
19．已知函数．
(1)当时，
（I）求处的切线方程；
（II）判断的单调性，并给出证明；
(2)若恒成立，求的取值范围．
耕种深度
8
10
12
14
16
每公顷产量
6.0
7.5
7.8
9.2
9.5
，，两边对x求导得：，
由于，代入上式可得：，即
参考答案
1．A
【详解】或，
，故.
故选：A
2．C
【详解】由题意不妨设，所以，
所以，解得，所以.
故选：C.
3．D
【详解】因为，是方程的两个根，所以，
在等比数列中，有，
所以，所以或，
所以或．
4．B
【详解】由图知：且，则，故，
则，
由，则，，
所以，，
又，故，
综上，，
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍得到，再向左平移个单位得到，
故选：B
5．C
【详解】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，总方法数为，
因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同，故只需先把甲,乙,丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两人分别在三项活动中选择，
其方法数为. 故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为．
故选:C．
6．A
【详解】
如图，延长交于点，过点作于点，作于点.
因点分别是的重心和外心，则
，，，
则
于是
即得.
又由和，可得
整理得解得
因，则
即边的长为6.
7．C
【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，
又由圆，可化为，
可得圆心坐标为，半径，
设定点，满足成立，且
即恒成立，
其中，代入两边平方可得：
，解得，
所以定点满足恒成立，
可得，
如图所示，当且仅当在一条直线上时，
此时取得最小值，
即，
设，满足，
所以，
，
当时，等号成立，
故选：C.
8．A
【详解】因为，，…，，，
以上各式相加得，，
化简得，
由，即，
所以，解得；
因为，
所以，，，，
所以
.
故选：A
9．BD
【详解】A：对于，，所以每公顷产量与耕种深度呈正相关，故A错误；
B：由题意知，，故B正确；
C：由题意知，，故C错误；
D：将点代入方程，
得，解得，故D正确.
故选：BD
10．AC
【详解】对于A，
，
故为定值，故函数的图象一定是中心对称图形.
对于B，，
若有极值点，则有变号零点，而的图像为抛物线，
故，故有两个变号零点，
故有两个极值点，故B错误.
对于C，在处的切线方程为，
令，
则，当时，，
所以，
因为，故，不妨设，
若，则当或时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
而，故，
而时，，故有两个不同的零点，
故的图像与切线有且只有两个不同交点，
同理可得当时，故的图象与切线有且只有两个不同的交点，故C正确.
对于D，过点的切线的切点为，
由（2）的切线方程可得，
故，
整理得到：，
故或，
下面考虑的解，
整理得到：，
，
而，
故方程有且只有一个异于的实数根，
过点的切线有且只有两条，故D错误.
故选：AC.
11．BD
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
对于A，当时，，圆与圆相内切，有一条公切线，A错误；
对于B，当时，，圆与圆相交，两圆方程相减得
，即，B正确；
对于C，直线恒过定点，，点在圆内，
当时，取得最小值，此时直线,但是直线不能表示直线,所以C不正确；
对于D，令弦的中点为，线段的中点为，当与点都不重合时，
，有，当与点之一重合，上式成立，则，
因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，，
而，因此的最大值为，D正确.
故选：BD
12．60
【详解】由随机变量，正态分布关于均值对称，
因为，
所以和关于2对称，
所以，
所以二项式为：，
又二项展开式的通项为：，
令解得：，
所以二项展开式中常数项为：，
故答案为：60.
13．/
【详解】由 ，根据反正切定义得 ；
两边对 求导，得：；
整理得 ，利用三角恒等式 代入得： ；
将 代入，得
切线斜率为 处的导数值，代入得：y'∣x=1=11+12=12.
14．
【详解】由题意：，，
得：，
所以或，，
又，所以，，，
.
15．(1)
(2)，证明见解析
【详解】（1）原点坐标为，在平面上取点，
又平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离，
故原点到平面的距离为.
（2）类比平面内点到直线的距离公式，可得点到平面的距离公式为： .
证明：
在平面上任取一点，由平面方程得，平面的法向量为，
因为，，
点到平面的距离
.
16．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【详解】（1）由，，得，
由，可知.
可得.
所以.
所以当时
.
因为，所以，，因此.
（2）由（1）可知.
于是.
因此.
17．(1)分布列见解析，
(2)4
【详解】（1）由题意，可取0，1，2，3，4.
,
，
，
，
，
则的分布列为：
.
（2）每一轮获得纪念章的概率为，
每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，
设10轮答题获得纪念章的数量为，则，
，.
由，得，
解得，又，得，则获得4枚纪念章的概率最大.
18．(1)
(2)①证明见解析；②.
【详解】（1）由题可知，， 解得，
，
椭圆的方程为.
（2）①证明：设直线的方程为，，
由得，
，即，
，
在椭圆上 ，
，即，
，
，即，
在直线上，
，
，
，即，
此时，
直线的方程为，即直线过定点.
②解：记直线过定点，
，
，
，
，
令，则，
在上单调递增，
当时，有最大值.
19．(1)（I）；（II）单调递增，证明见解析
(2)
【详解】（1）当时，，可得.
（I），
所以在处的切线方程为，即.
（II），
设，则单调递增，
所以，即，
所以当时，单调递增.
（2）设，
由题意恒成立.
①当时，不恒成立，不合题意；
②当时，设，，
，，，
设，，，单调递增，
由零点存在定理得，使得.
在上，，即，
所以在上单调递减，，不恒成立，不合题意；
③当时， ，
则，
当时，，即，则，
所以当时，单调递增.
可得：，即，所以.
综上，的取值范围为．0
1
2
3
4