安徽省合肥市第八中学2026届高三最后一卷数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】集合 ,则 .
2. 已知复数 ，在复平面内，复数 与 对应的点关于直线 对称，则
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】在复平面内, 对应的点为 ,
而 关于直线 对称的点为 ,则 ,所以 .
3.两个粒子 从同一发射源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为 ，则 在 上的投影向量的长度为
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】因为 则 ,所以 在 上的投影向量长为 .
4.意大利画家达·芬奇提出:固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么? 这就是著名的“悬链线问题”, 其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数,其函数表达式为 ,相应的双曲正弦函数的表达式为 . 设函数 ，若实数 满足不等式 ，则 的取值范围为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知: 的定义域为 ,
因为 ,所以函数 为奇函数,
又因为 ,且 在 上为减函数,
由复合函数的单调性可知: 在 上为增函数,
因为 ,所以 ,
所以 ,解得: ,所以实数 的取值范围为 .
5.设函数 ,若点 为函数 图象的一个对称中心, 且 在 上的最大值为 2,则 的最小值为
A. 4 B. 5 C. 7 D. 10
【答案】C
【解析】 ,
点 是 的对称中心,因此 ,代入得 ,
即 ,整理得 ;
当 时, ,而根据解析式可知 最大值为 2,
说明区间必须包含 ,因此 ,解得 ; 结合 且 ,
时, ,不满足; 时, ,满足条件. 因此 的最小值为 7 .
6.如图,正三棱台 的上、下底面边长分别为 1 和 3,平面 将棱台分成两部分,则三棱锥 和四棱锥 的体积比是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由正三棱台上、下底面边长分别为1和3,知 ,
又 ,
所以 .
7.双曲线 的左、右焦点为 、 ， 、 为双曲线 右支上两点且满足 ,若 时, ,则双曲线 的离心率为
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】设 交双曲线的左支于点 ,由对称性知 ,则 ,
设 ,则
利用 解得: ,
又 ,解得:
8.若实数 满足 ,则 的大小关系不可能是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 可得 ,
与 互为反函数,故其交点 在直线 上,且交点横坐标小于 1 ,
而 与 交点的横坐标等于 1,
从而 在同一直角坐标系中的大致图象如图所示:
与 的图像交点为 与 的图像交点为 ,且 当直线 位于点 的上方时,此时直线 与三个函数的交点横坐标满足 , 当直线 位于点 的上方, 的下方时,此时直线 与三个函数的交点横坐标满足 ,
当直线 位于 点的上方, 的下方时,此时直线 与三个函数的交点横坐标满足
当直线 位于 点的下方时,此时直线 与三个函数的交点横坐标满足 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知数列 是首项为1，公差为 的等差数列，数列 是首项为2，公比为 的等比数列， 且 ,则
A.
B. 数列 的前 50 项中,有 7 项在数列 中
C. 数列 的前 项和为
D. 数列 的前 5 项和为 650
【答案】ACD
【解析】对于 ,设 的公比为 ,由于 ,则 ,解得 , 所以 正确;
对于 ,可知 ,令 ,即 ,存在 2,6,22,使得 ,所以 错误;
对于 ,设数列 的前 项和为 . 则 ,所以 正确;
对于 ,则 ,故 2) ,
两式相减得: 5) ,故 ,则 ,所以 正确.
10.在篮球训练课上, 两位同学进行“定点投篮”比赛,规则为: 比赛共进行5轮,在每轮比赛中,两人各定点投篮一次,投中得1分,投不中得0分. 已知 每次定点投篮投中的概率分别为 ， ， ，若5轮比赛后 ， 的总得分分别为 ， ，则下列结论正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C.
D. 若当且仅当 时， 取得最大值，则
【答案】ABD
【解析】由题得,随机变量 .
对于 ,若 ,则 ,故 正确;
对于 ,由题意得,
所以 ,
若 ,则 ,
所以 ,即 ,故 正确;
对于 ,假设 ,
则 ,
化简整理得 ,即 ,
所以当且仅当 时, ,故 错误;
对于 ,由题意得, ,若当且仅当 时, 取得最大值,
则 解得 ,故 正确.
11.三棱锥 中, 且 与平面 所成角为 ,下列说法中正确的有
A. 当 时
B. 当 时三棱锥 的外接球半径为
C. 三棱锥 的外接球半径为 2 时
D. 三棱锥 的外接球半径最小时，三棱锥 的体积为
【答案】AD
【解析】由题意,建系如图:
则 ,由 ,可设三棱锥 的外接球球心为 ,则
外接球球半径 满足
所以 . 对选项 A: 当 时 , ,所以 ，即选项 A 正确；
对选项 B:当 时 ，所以三棱锥 的外接球半径为 ，即选项 B 错误；
对选项 C:三棱锥 的外接球半径为 2 时 ， 解得 ，故舍去; 解得 ,即选项 错误;
对选项 D: 三棱锥 的外接球半径最小时 ，此时 ，所以三棱锥 的体积为 ,即选项 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.圆 与直线 交于 两点,则弦长 的最小值为________.
【答案】2
【解析】圆心到直线的距离 ,所以 .
13.已知数列 ,令 为 中的最大值 ,则称数列 为 的 “控制数列”, 中不同数的个数称为“控制数列” 的“阶数”,例如: 为 1,3,4,2, 则“控制数列” 为1,3,4,4，其“阶数”为3，若 由1,2,3,4任意顺序构成，则使“控制数列” 的“阶数”为2的所有 的个数为_______.
【答案】 11
【解析】当 由 1,4 构成时,则 为 2,3 的一个排列,故满足条件的数列 有 (个);
当 由2,4构成时,则 为 1,3 的一个排列, 或 ,故满足条件的数列 有 (个);
当 由 3, 4 构成时,则 为1,2,4的一个排列,故满足条件的数列 有 (个),
由分类加法计数原理可得满足条件的数列 共有 11 个 .
14.若函数 的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直, 则称函数 具有 性质. 若函数 具有 性质,其中 , 为实数，且满足 ，则实数 的最大值是________.
【答案】
【解析】由题意可得, .
于是, .
设切点分别为 ,则由函数 具有 性质,可得 ,
即 ,
整理得 ,
将上式视为关于 的方程,则其判别式:
,
即 ,注意到 ,
,则 ,
故 ,
此时 或
代入方程可得 ，因此， .
另一方面,由 ,可设 ,其中 ,
则 ,即 .
因此, . 实数 的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在 中,内角 所对的边分别为 ,若 .
(1)求C；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围 .
【解析】(1)因为 ,
所以 ,
即 ,
由正弦定理得 ,由余弦定理知, ,
因为 ,所以 .
(2)由(1)知， ，所以 ，
又 是锐角三角形,可得 ,解得 ,
由正弦定理知 ,又 ,可得 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
故 面积的取值范围为 .
16.某中学举办校园文化节，设置了“数智达人”和“英语秀达人”两项特色活动，两项活动前10 名得分统计如下:
(1)求出数智达人前10名分数的平均数、标准差；
(2)经检查发现:有一名同学的数智达人与英语秀达人得分均在前10名，但是老师却将其数智达人与英语秀达人得分统计反了，已知正确的数智达人前10名分数的平均分为141 ，标准差为 .
① 求该生正确的数智达人得分是多少？并说明理由；
②为了便于成绩分析，对数智达人前10名的正确分数进行“M分数”转换，要求如下:转化前后名次不变，且10个“M分数”的平均分为50、标准差为10. 请你给出一个满足要求的线性转换公式: (其中, 表示数智达人分数, 表示数智达人分数对应的 “M 分数”, , 为常数),并证明.
(参考公式: )
【解析】(1)设数智达人前10名学生分数的平均分为 ,标准差分别为 ,
则 ,
(2)因为该同学数智达人得分与英语秀达人得分相差10分，由题表知，可能是英语秀达人 132 分与数智达人142分统计反了; 也可能是英语秀达人134分与数智达人144分统计反了.
若英语秀达人132分与数智达人142分统计反了,
则
若英语秀达人134分、数智达人144分，
则
所以是英语秀达人132分与数智达人142分统计反了.
所以正确的数智达人得分为 142 分.
②设转换公式为 ，则 ，
所以 ,将 代入，
得 ,所以 ,
即满足要求的线性转换公式为 ,下面证明: 因为 “ 分数” 转换之前的10个正确分数的平均分是 ,标准差为 ,则转换后的平均分 .
因为 ,
所以转换后的标准差 ,
即转换公式 满足条件得证 .
17.如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， ，侧面 为正三角形，且平面 平面 .
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求二面角 的正弦值；
【解析】
(1) 记 的中点为 ,连接 ,
由题可得 且 ,因为平面 平面 ,由面面平行的性质定理知: 面 ,所以 , 所以 . 在三角形 中由余弦定理可得 ,所以 ，所以三棱锥 的体积
(2)由 解得四棱锥 的高 ,以 为原点建系如图,
则 ,设 ,
由 得 ，
解得 或者 ;
由 (1) 中 且 可得 ，
经检验得: ， 即 ,
因为 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,则 ;
设平面 的法向量为 ,设二面角 ,
故 ,所以 .
18.已知椭圆 ,直线 与椭圆 有且仅有一个公共点 ,过点 且与 垂直的直线 分别交 轴、 轴于 ， 两点. 当点 运动时，记点 的轨迹为曲线 ,
(1)求 之间的关系；
(2)求曲线 的轨迹方程；
(3)若 点在第一象限，直线 和曲线 交于 ，且 ，求 点坐标.
【解析】(1) 联立方程 可得 ,
因为有且仅有一个公共点,则 ,
整理得
(2)由(1)可解得点 坐标为 ,即 ,其中
于是,过点 且与 垂直的直线 为 ,即直线
可得 ,即 ,
则 ,即 ,
其中 , 所以点 的轨迹方程是 .
(3)联立方程 ,可得 ,
设
利用韦达定理带入 ,化简得 ,
又 ,带入整理得 ,进而求得: ,
由 点在第一象限知 ,且此时 .
19.记 ,已知函数 和 的定义域都为 ,若存在 , 使得 ,当且仅当 时等号成立,则称 和 在 上 “ 次缠绕”.
(1)判断 和 在 上 “几次缠绕”，并说明理由；
(2)设 ，若 和 在 上 零次缠绕”，求 的取值范围；
(3)记所有定义在区间 上的函数组成集合 ，证明:给定 ，对任意 ，都存在 ,使得 ,且 和 在 上 “ 次缠绕”.
【解析】(1)函数 和 在 上 “3 次缠绕”,
理由如下:
的零点为-1,0,1.
令
,当且仅当 ,即 时等号成立. 所以函数 和 在 上 “3 次缠绕”.
(2)设 ，
因为 和 在 上 “ 3 次缠绕 ”,
所以存在互异的三个正数 ,使得 ,
当且仅当 ,3 时等号成立,所以 是 的三个零点.
注意到 ,所以1是 的一个零点.
① 当 时， ， 在 上递增，1是 的唯一零点，不合题意；
② 当 时， ， 在 上递减， 1 是 的唯一零点，不合题意；
③ 当 时,令 ,即 ,
可知方程 存在两根 ,且 ,
当 时， 递减；
当 时, 递增,
当 时, 递减,
所以 ,
因为 ,
设 ,
因为 ,所以 在 上递减,所以 ,即 ,
所以存在 ,
又 ,
所以存在 ,所以 恒成立,
即 时, 和 在 上 “ 3 次缠绕”,
综上, 的取值范围是 .
(3) 取 ,
设 ,
令 ,
显然 ,且 ,
当且仅当 时,等号成立.
所以对任意 ,
存在 ,
其中 ,
使得 ,且 和 在 上 “ 次缠绕” .数智达人前10名分数
148, 146, 144, 142, 140, 140, 138, 136, 134, 132
英语秀达人前10名分数
144, 143, 142, 141, 140, 140, 139, 138, 137, 136