安徽省合肥一六八中学2026届高三上学期数学限时训练（八）试卷（Word版附解析）

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命题：刘大锐 审题：马文政
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】由，
所以，
又因为，
所以，
故选：C
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的几何意义得到，再利用复数的运算法则代入计算即可.
【详解】在复平面中，点坐标为 对应的复数为 ，
.
故选：D
3. 已知平面向量，若，则（ ）
A. B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量平行的判定可得到，再利用向量的模长计算公式计算即可.
【详解】平面向量，
因为，所以，解得
因此，，
.
故选： C
4. “”是“函数图象关于对称”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦型函数的对称轴及充分条件、必要条件求解即可.
【详解】若函数的图象关于对称，
则，即，
可得是函数的图象关于对称的充分不必要条件.
故选：A
5. 已知是定义在上且周期为6的奇函数，当时，，则（ ）
A. -4B. -2C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用周期性与奇偶性转化即得答案.
【详解】由于的周期为 6，因此，
又因为是定义在上的奇函数，
所以，
又由条件得：，
所以
故选：B
6. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A. 16B. C. 18D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列基本量方法计算出，再根据等差数列的通项公式可得答案.
【详解】设公差为 ，
，，，
由于 成等比数列，可得：，
即：，
即：，
解得： 或 ，
又因为，所以，
故.
故选：A
7. 在中，，边上的高等于，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知结合勾股定理求出，再利用余弦定理求出，再由三角形面积公式，可得.
【详解】∵在中，，边上的高等于，
∴，
由余弦定理得：，
故，
∴.
故选：C
8. 若，曲线与恰有一个交点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得时恰有一个解，由满足上式，从而得到时无解，令，，求出的值域，即可得到关于的不等式，解得即可.
【详解】因为时曲线与恰有一个交点，
所以当时恰有一个解，
即当时恰有一个解，
显然满足，
所以当时无解，
即时无解，
令，，
则，所以为偶函数，
令，，则，所以在上单调递增，
所以，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
又当时，所以，
综上可得在上恒成立，
所以当时，又为偶函数，所以当时，
由上述分析可得与在无交点，
所以或，解得或，
即的取值范围为.
故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特殊值判断A、C，利用作差法判断B，根据不等式的性质判断D.
【详解】对于A：当，时满足，但是，故A错误；
对于B：因为当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C：当时，故C错误；
对于D：因为，所以，则，
又，当且仅当时取等号，所以，所以，故D正确.
故选：BD
10. 已知，则（ ）
A. 曲线关于点对称
B. 2是函数的极小值点
C. 若方程有三个不同的实数根，的取值范围为
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出即可判断A，求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值，即可判断B、C、D.
【详解】函数的定义域为，
对于A：因为，
所以关于点对称，故A正确；
对于B：因为，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，故B正确；
对于C：因为，，
若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为，故C错误；
对于D：令 ，即 ，整理得 。
因式分解：易得 是根，使用综合除法：,
再因式分解 ，
故,因此.
其中 恒成立，且当 时严格大于 0.
符号分析：
当 （即 )，，，故 ，即 。
当 ，（仅在 和 处等于 0），故 .
因此 当且仅当 ，解集为 ，故D正确.
故选：ABD
11. 在中，角的对边分别为，已知，以下说法正确的是（ ）
A.
B. 若为的外心，则
C. 若，则
D. 若点为所在平面内一动点，且，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据余弦定理和条件计算判断A，建立坐标系，先计算外心的坐标，再结合向量的数量积坐标公式计算判断B，根据向量关系计算得到点坐标，进而计算向量的模判断C，根据条件和两点间距离公式，结合三角函数计算得到最值判断D.
【详解】因为，结合余弦定理的推论可得
，
对于A，由余弦定理推论，因为，所以，A正确.
对于B，以点为原点，为轴建立坐标系，，
外心在垂直平分线上，代入的垂直平分线方程
得，，，B错误.
对于C，设，因为，，
，所以，
解得,C正确.
对于D，设满足则
，
由圆的方程得代入化简得，
设，得
，其中，
因为，得的最小值为，D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角的终边经过点，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式计算可得.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，所以.
故答案为：
13. 已知，则的最小值为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用可得答案.
【详解】因为，
，
代入，得：，
即：，
当且仅当，即 时取等号.
综上， 的最小值为 2.
故答案为：2
14. 牛顿数列是牛顿迭代法在求函数零点时生成数列．对于函数和数列,若,则称数列为函数的牛顿数列．已知数列满足,其中是函数的牛顿数列．则数列的通项公式为___________．记数列的前项和为,若对恒成立，则实数的取值范围为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据题意得到与的关系，再将代入后，观察与的关系即可；
（2）分为奇数和偶数讨论，再利用数列单调性求解即可.
【详解】对于第一空：数列为函数的牛顿数列，
有，得，
，
则，两边取对数得：
，即.
又.
对于第二空：，
则可整理为：，
即解.
分为奇数和偶数讨论：
当为奇数时，，不等式变为：.
由于是递增函数，且当时，，故.
当为偶数时，，不等式变为：
，即.
由于是递减函数，且当时，，故.
因此，.
故答案为：①；②.
四､解答题（15题15分，16题15分，17题17分）
15. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）求的大小；
（2）若，且，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理并结合题设求出即可求解；
（2）由结合角B的范围即可分析求解.
【小问1详解】
由余弦定理及得，
显然，，
；
【小问2详解】
，
，
，
的取值范围是.
16. 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由，可得，可得①，
由可得，整理可得②，
联立①②可得，，所以，.
【小问2详解】
因为，则，
所以，，
，
上式下式得
，
因此，.
17. 已知函数．
（1）求在点处的切线的方程，并证明除切点外，函数的图象在切线的下方；
（2）若，
（i）证明：函数恰有两个零点；
（ii）设为的较大零点，，证明：．
【答案】（1），证明见解析；
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，先求出导函数，然后求出切线的斜率，根据直线的点斜式方程即可求出切线方程；构造新的函数利用单调证明函数图象在切线的下方.
（2）（i）利用导数判断函数的单调性，进而证明恰有两个零点；
（ii）根据条件计算化简可得，结合，得到取对数得证结果．
小问1详解】
，所以，即在点处的切线的斜率为l，
又，所以在点处的切线l的方程为．
令
当时，单调递增，
当时，单调递减，
，所以除切点外，函数的图象在切线l的下方．
【小问2详解】
（i）由题可知，
则，设，
则，
因为，所以，所以在上是减函数．
由，又结合，得，所以，
所以存在，使得，
所以当时，，即，此时单调递增，
当时，，即，此时单调递减，所以是唯一的极值点，
显然，
因为在上递增，所以在上必存在一个零点，
由（1）可知，所以，又因为，即
所以，则，
所以区间上必存在一个零点，
综上所述：在区间上恰有两个零点．
（ii）证明：由（i）可知，，得，
，得，所以，
即，因为，
所以，
所以，即所以成立．