【期末冲刺练】：专题2第二单元《不等式与不等式组》培优专项练习-2025~2026北师大版八年级数学下册（含答案）

这是一份【期末冲刺练】：专题2第二单元《不等式与不等式组》培优专项练习-2025~2026北师大版八年级数学下册（含答案），共7页。
A．a﹣5＜b﹣5B．−a3＞−b3
C．2a+1＜2b+1D．−a+12＜−b+12
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：若a＞b，
两边同时减去5得a﹣5＞b﹣5，则A不符合题意，
两边同时除以﹣3得−a3＜−b3，则B不符合题意，
两边同时乘以2再同时加上1得2a+1＞2b+1，则C不符合题意，
两边同时乘以﹣1再同时加上12得−a+12＜−b+12，则D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
2．（2分）·【较易】已知a＞b，则下列不等式中，正确的是（ ）
A．﹣3a＞﹣3bB．2a＞2bC．3﹣a＞3﹣bD．a﹣3＜b﹣3
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：已知a＞b，
两边同时乘以﹣3得﹣3a＜﹣3b，则A不符合题意，
两边同时乘以2得2a＞2b，则B符合题意，
两边同时乘以﹣1再同时加上3得3﹣a＜3﹣b，则C不符合题意，
两边同时减去3得a﹣3＞b﹣3，则D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
3．（2分）·【较易】已知实数x，y，z满足x+y＝3，x﹣z＝6．若x≥﹣4y，则x+y+z的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【分析】设x+y+z＝t，用x表示z得到z＝x﹣6，则t＝3+x﹣6＝x﹣3，所以x＝t+3，再利用x≥﹣4y，y＝3﹣x得到x≥﹣4（3﹣x），解不等式得到x≤4，所以t+3≤4，然后解不等式得到t的最大值即可．
【解答】解：设x+y+z＝t，
∵x﹣z＝6，
∴z＝x﹣6，
∵x+y＝3，
∴t＝3+x﹣6＝x﹣3，y＝3﹣x，
∴x＝t+3，
∵x≥﹣4y，
即x≥﹣4（3﹣x），
∴x≤4，
∴t+3≤4，
解得：t≤1，
∴若x≥﹣4y，则x+y+z的最大值为1．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4．（2分）·【较易】本学期学校打算以知识竞赛的方式评选“博雅之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（ ）
A．3x﹣2（50﹣x）≥120B．3x﹣2（50﹣x）≤120
C．3x﹣2（50﹣x）＞120D．3x﹣2（50﹣x）＜120
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】根据题意，获奖条件是得分不低于120分，即总得分≥120，总得分由答对得分减去扣分计算，据此列不等式即可．
【解答】解：设答对x道题，总得分 ＝3x﹣2（50﹣x），
由题意可得：3x﹣2（50﹣x）≥120．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，列一元一次不等式，找出题目的不等关系是解题的关键．
5．（2分）·【较易】新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价100元，出售时标价为140元，本次打折销售要保证利润不低于5%，则最多可打（ ）
A．六折B．七折C．七点五折D．八折
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】设商品打x折销售，根据售价、进价和利润率的关系建立一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：设商品打x折销售，
根据题意列一元一次不等式得：140×x10−100100≥5%，
整理得，14x≥105，
解得x≥7.5，
所以商品最多可打七点五折，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式．
6．（2分）·【较易】按照如图程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】根据题意列不等式组求出x的取值范围，进而得到m和n的值，再代入代数式计算即可求解．
【解答】解：由程序图可得，3x−2≤703(3x−2)−2＞70，
解得263＜x≤24，
∵输入正整数x，程序操作了两次后停止，所有符合条件的正整数x的最大值为m，最小值为n，
∴m＝24，n＝9，
∴m﹣n＝24﹣9＝15．
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，代数式求值，熟知以上知识是解题的关键．
7．（2分）·【较易】如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），则一元一次不等式kx+b＜4的解集为（ ）
A．x＜﹣2B．x＞4C．x＜4D．x＞﹣2
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【分析】首先利用图象过A（﹣2，4），确定函数值kx+b＝4，再考虑函数的增减性利用不等式求解集即可．
【解答】解：由条件可知x＝﹣2时，kx+b＝4，
又由图象知k＞0，一次函数y随x的增大而增大，
∴关于x的不等式kx+b＜4的解集是x＜﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
8．（2分）·【较易】一部电梯的额定限载量为1000千克，两人要用电梯把一批货物从底层搬到顶层，这两个人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为40千克，若两人一起乘电梯，则他们每次最多搬运货物的箱数为（ ）
A．5B．21C．22D．25
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】设他们每次搬运货物x箱，根据电梯的额定限载量为1000千克，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解答】解：设他们每次搬运货物x箱，
根据题意得：60+80+40x≤1000，
解得：x≤432，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为21，
∴他们每次最多搬运货物的箱数为21．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9．（2分）·【中档】如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则−2＜x＜−23．其中正确的结论是（ ）
A．①③B．③④C．①②③④D．①③④
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数与一元一次方程．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）得到x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，于是可对③进行判断；先确定一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2，再求出一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为(−23，0)，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线y＝ax+2在直线y＝mx+n的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+2的图象经过第一、二、三象限，
∴a＞0，故①正确，符合题意；
∵一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限，且与y轴的负半轴相交，
∴m＞0，n＜0，
∴mn＜0，故②错误，不符合题意；
∵一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4），
∴x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，故③正确，符合题意；
把（﹣2，﹣4）代入y＝ax+2得﹣4＝﹣2a+2，
解得：a＝3，
∴一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2，
当y＝0时，3x+2＝0，
解得：x=−23，
∴一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为(−23，0)，
∴当x＜−23，ax+2＜0，
∴当−2＜x＜−23时，mx+n＜ax+2＜0，故④正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
10．（2分）·【较难】已知关于x、y的方程组x+3y=4−ax−y=−3a，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的一个解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④x=4y=−1是方程组的解．其中说法错误的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②④D．②③
【考点】解一元一次不等式组；二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
【专题】探究型．
【分析】根据题目中的方程组可以判断各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：当a＝1时，x+3y=3x−y=−3，解得，x=−32y=32，∴x+y＝0≠2﹣1，故①错误，
当a＝﹣2时，x+3y=6x−y=6，解得，x=6y=0，则x+y＝6，此时x与y不是互为相反数，故②错误，
∵x+3y=4−ax−y=−3a，解得，x=−5a+22y=2+a2，
∵x≤1，则−5a+22≤1，得a≥0，
∴0≤a≤1，则1≤2+a2≤32，即1≤y≤32，故③错误，
∵x+3y=4−ax−y=−3a，解得，x=−5a+22y=2+a2，当x=−5a+22=4时，得a=−65，y=2+a2=2−652=25，故④错误，
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程（组）的解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程和不等式的性质解答．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）·【易】已知2a＞1，请写出一个符合条件的a的值 1（答案不唯一） ．
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】根据不等式的性质求出a的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：∵2a＞1，
∴a＞12，
∴a的值可以是1．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是关键．
12．（3分）·【易】如果关于x不等式x﹣3≤m的正整数解有4个，那么m的取值范围是 1≤m＜2 ．
【考点】一元一次不等式的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【分析】先解出不等式，再根据正整数解得到答案即可．
【解答】解：x﹣3≤m，
∴x≤m+3，
由关于x的不等式x﹣3≤m的正整数解有4个，
∴正整数解是1、2、3、4，
∴4≤m+3＜5，
∴m的取值范围是1≤m＜2．
故答案为：1≤m＜2．
【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13．（3分）·【较易】如图，直线y＝x+6与直线y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）相交于点A（m，4），则不等式x+6＞kx+b的解集是x＞﹣2 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【分析】先利用直线y＝x+6的解析式确定A点坐标，然后结合函数特征写出直线y＝x+6在直线y＝kx+b上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：把A（m，4）代入y＝x+6，得m+6＝4，
解得m＝﹣2，
所以，当x＞﹣2时，x+6＞kx+b．
故答案为：x＞﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象，比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，解此题需要有数形结合的思想．
14．（3分）·【较易】按照如下程序，输入x的值并计算规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为 15 ．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】根据程序操作了两次后停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合“所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n”，可得出m，n的值，再将其代入m﹣n中，即可求出结论．
【解答】解：根据题意得：3x−2≤703(3x−2)−2＞70，
解得：263＜x≤24，
∵所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，
∴m＝24，n＝9，
∴m﹣n＝24﹣9＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
15．（3分）·【较难】关于x的一元一次不等式组x≤a−1x+12＞x4−1有解且最多有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ﹣9 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用．
【分析】先求不等式组的解集，根据解集内有3个整数解，求解即可．
【解答】解：x≤a−1①x+12＞x4−1②，
由①得，x≤a﹣1，
由②得，x＞﹣6，
∴不等式组的解集是：﹣6＜x≤a﹣1，
∵解集内最多有3个整数解，
∴最多的这三个整数是﹣5，﹣4，﹣3，
∴﹣3≤a﹣1＜﹣2，
∴﹣2≤a＜﹣1，
若少于三个时，a＜﹣2，
结合不等式组有解，a＞﹣5，
∴a的取值范围：﹣5＜a＜﹣1，
∴﹣4﹣3﹣2＝﹣9，
故答案为：﹣9
【点评】本题考查了一元一次不等式组的求解，根据关于x的一元一次不等式组的解的情况求出a的取值范围是关键．
三．解答题（共10小题，满分85分）
16．（5分）·【较易】解不等式（组），并在数轴上表示它的解集．
（1）3x﹣7＞x+1；
（2）2x+6＞7x−44x+25≥x−12．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）先解不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
（2）解不等式组，再把不等式组的解集表示在表示在数轴上．
【解答】解：（1）∵3x﹣7＞x+1，
∴3x﹣x＞1+7，
∴2x＞8，
∴x＞4；
把不等式的解集表示在数轴上：
（2）解不等式2x+6＞7x﹣4得：x＜2，
解不等式4x+25≥x−12得：x≥﹣3，
∴原不等式组的解集为：﹣3≤x＜2．
把不等式组的解集表示在数轴上：
【点评】本题考查了不等式和不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
17．（5分）·【较易】解不等式组2x−1≤04(x+1)＜7x+10，并把解集表示在数轴上．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式2x﹣1≤0得：x≤12，
解不等式4（x+1）＜7x+10得：x＞﹣2，
所以不等式组的解集为−2＜x≤12．
把解集表示在数轴上如下：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知以上知识是解题的关键．
18．（8分）·【较易】皖南某古城文创店售卖徽墨与歙砚两种特色文创商品，已知购买2盒徽墨、1方歙砚共需130元；购买1盒徽墨、2方歙砚共需170元．某校计划购进这两种文创商品共30件，总费用不超过1800元，则最多可以购进多少方歙砚？
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】先设两种文创商品单价，根据购买费用条件列二元一次方程组求出单价；再设歙砚数量，由总费用限制列一元一次不等式，求出不等式最大整数解即为最多购进歙砚的数量．
【解答】解：设每盒徽墨x元，每方歙砚y元；根据题意得：
2x+y=130x+2y=170，
解得
x=30y=70，
每盒徽墨30元，每方歙砚70元；
设购进歙砚a方，则购进徽墨（30﹣a）盒，
由总费用不超过1800元，
列不等式：70a+30（30﹣a）≤1800，
70a+900﹣30a≤1800，
40a≤900，
a≤22.5，
∵a为正整数，
∴a的最大值为22，
答：最多可以购进22方歙砚．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键读懂题意正确列式．
19．（8分）·【较易】为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于5月中旬举办“校园读书节”，现需采购A，B两种图书．已知购买2本A种图书和3本B种图书共需180元，购买4本A种图书比购买5本B种图书多30元．
（1）求A，B两种图书的单价；
（2）该校计划购买A，B两种图书共50本，且B种图书的数量不超过A种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）设两种图书单价，根据两组购买费用条件列二元一次方程组，求解得单价；
（2）设A图书数量，根据数量限制求取值范围，列出总费用一次函数，取最小整数解得最优方案．
【解答】解：（1）设A种图书单价x元，B种图书单价y元，
根据题意列方程组：2x+3y=1804x−5y=30，
解得：x=45y=30，
答：A种图书单价45元，B种图书单价30元；
（2）设购买A种图书m本，则B种图书（50﹣m）本，
由题意：B数量不超过A数量一半，即50﹣m≤12m，
解得：m≥1003≈33.33，
m为正整数，所以m最小取34，
设总费用为W元：W＝45m+30（50﹣m）＝15m+1500W，随m增大而增大，
故m＝34时费用最少，
此时：A：34本，B：50﹣34＝16本，
答：购买A种34本、B种16本，所需费用最少．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
20．（8分）·【较易】先阅读，再完成练习．
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
|x|＜3，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3；
|x|＞3，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于﹣3的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3．
解答下面的问题：
（1）不等式|x﹣3|＞5的解集是x＞8或x＜﹣2 ；
（2）已知关于y的二元一次方程组2x−y=9m+4x+4y=−8m+2的解满足|x+y|≤3，求m的取值范围．
【考点】不等式的解集；数轴；绝对值；二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）根据题目所提供的方法进行计算即可；
（2）将方程组中两个方程相加得到x+y=13m+2，再求出不等式|13m+2|≤3的解集．
【解答】解：（1）|x﹣3|＞5的解集为x﹣3＞5或x﹣3＜﹣5，即x＞8或x＜﹣2，
故答案为：x＞8或x＜﹣2；
（2）将方程组2x−y=9m+4①x+4y=−8m+2②的①+②得，
3x+3y＝m+6，
所以x+y=13m+2，
不等式|x+y|≤3，即|13m+2|≤3，
所以﹣3≤13m+2≤3，
解得﹣15≤m≤3．
【点评】本题考查一元一次不等式组的解集，掌握一元一次不等式组的解法是正确解答的关键．
21．（8分）·【较易】2026年都江堰放水节（国家级非物质文化遗产）盛大启幕，活动联动成都春假，引爆文旅消费热潮．某景区专营店售卖放水节纪念徽章和李冰治水主题书签两种文创产品，在传播传统文化的同时实现良好经营收益．已知购进2枚纪念徽章和3套主题书签，总进价为130元；购进4枚纪念徽章和1套主题书签，总进价为150元．
（1）求每枚纪念徽章、每套主题书签的进价；
（2）该店计划购进两种文创产品共50件，其中主题书签的数量不超过纪念徽章数量的2倍，且购进两种产品的总进价不超过1400元．求符合条件的进货方案共有多少种？并求出最小总进价及对应的进货方案．
【考点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）设两种文创进价为未知数，根据两组购进数量与总进价列二元一次方程组，求解得单价；
（2）设徽章数量为m，根据数量关系、总进价限制列不等式组，求整数解，再利用一次函数求最小总进价．
【解答】解：（1）设每枚纪念徽章进价x元，每套主题书签进价y元，
根据题意列方程组：2x+3y=1304x+y=150，
解得：x=32y=22，
答：每枚纪念徽章进价32元，每套主题书签进价22元；
（2）设购进纪念徽章m件，则主题书签（50﹣m）件，
根据题意列不等式组：50−m≤2m32m+22(50−m)≤1400，
解得：503≤m≤30，
m为正整数，
所以m＝17，18，19，……，30共14种进货方案，
总进价：W＝32m+22（50﹣m）＝10m+1100，
W随m增大而增大，所以m取最小值17时，总进价最小，
进货方案：纪念徽章17件，主题书签50﹣17＝33件，
最小总进价：W＝10×17+1100＝1270元．
共14种进货方案；购进纪念徽章17件、主题书签33件时，总进价最小，最小总进价1270元．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
22．（8分）·【较易】2026年被公认为“智能AI元年”，AI产品深受欢迎．某销售公司针对市场情况，计划购进一批AI产品进行销售．据了解，购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A型和3件B型产品需要11万元．
（1）求每件A型和B型产品的进价分别是多少万元？
（2）若该公司计划购买这两种型号的产品共12件（两种型号的产品均购买），购买总费用不超过20万元，那么该公司至少需要购进多少件A型产品？
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）设A型、B型进价分别为x、y万元，依题意列二元一次方程组，求解得单件进价；
（2）设购进A型a件，则B型（12﹣a）件，列费用不等式，结合均购买求a最小整数解；
【解答】解：（1）设每件A型进价x万元，B型进价y万元，
x+y=42x+3y=11，
解得：x=1y=3，
答：A型每件1万元，B型每件3万元；
（2）设购进A型产品a件，则B型（12﹣a）件，
a+3（12﹣a）≤20，
解得a≥8，
又两种都买，a＜12，
所以至少购进8件A型；
答：该公司至少需要购进8件A型产品．
【点评】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．
23．（8分）·【中档】某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表：
（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有几种生产方案？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）设A种产品应生产x件，B种产品应生产y件，根据某工厂计划生产A，B两种产品共10件，工厂计划获利14万元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10﹣m）件，根据工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【解答】解：（1）设A种产品应生产x件，B种产品应生产y件，
由题意得：x+y=10x+3y=14，
解得：x=8y=2，
答：A种产品应生产8件，B种产品应生产2件；
（2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10﹣m）件，
由题意得：2m+5(10−m)≤44m+3(10−m)＞20，
解得：2≤m＜5，
∵m为正整数，m可以取2或3或4；
∴工厂有3种生产方案：
①生产A种产品2件，B种产品8件；
②生产A种产品3件，B种产品7件；
③生产A种产品4件，B种产品6件．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，找准数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键．
24．（13分）·【较难】【定义新知】
给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．
例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集．
同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”．
例如：不等式组M：x＞2x＞1是不等式组N：x＞−2x＞−1的子集．
【新知应用】
（1）请写出不等式x＜2的一个子集 x＜1（答案不唯一） ；
（2）若不等式组A：x+1＞4x−1＜5，不等式组B：2x−1＞1x＞−3，则其中不等式组 A 是不等式组M：x＞2x＞1的“子集”（填：A或B）；
（3）若关于x的不等式组x＞ax＞−1是不等式组x＞2x＞1的“子集”，则a的取值范围是 a≥2 ；
（4）若a，b，c，d为互不相等的整数，a＜b，c＜d，下列三个不等式组D：a≤x≤b，E：c≤x≤d，F：4＜x＜9，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则a（b+c+d）的值为 120 ；
（5）已知不等式组G：2x≥m3x＜n有解，且不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则mn的最大值为 15 ．
【考点】解一元一次不等式组；不等式的定义．
【专题】新定义；一元一次不等式（组）及应用；创新意识．
【分析】（1）根据定义写一个任意一个解都是不等式x＜2的一个解的不等式即可；
（2）分别求得三个不等式组的解集，看A和B两个不等式组中哪个不等式组的解集的任意一个解，都是不等式组M的一个解即可；
（3）易得后一个不等式组的解集为x＞2，根据关于x的不等式组是后一个不等式组的“子集”，可得关于x的不等式组的解集为：x＞a，那么可得关于a的不等式，求解即可；
（4）根据所给条件和新定义可判断出a、b、c、d的值，代入代数式求解即可；
（5）易得不等式组的解集．根据不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，可得m和n的取值范围，进而根据m，n为正整数，求mn的最大值可得m和n的值，相除即可得到mn的最大值．
【解答】解：（1）∵x＜1的任意一个解都是不等式x＜2的一个解，
∴不等式x＜2的一个子集为：x＜1．（答案不唯一）．
故答案为：x＜1．（答案不唯一）．
（2）解不等式组A得：3＜x＜6；
解不等式组B得：x＞1；
解不等式组M得：x＞2．
∵不等式组A的任意一个解，都是不等式组M的一个解，
∴不等式组A是不等式组M：x＞2x＞1的“子集”．
故答案为：A．
（3）∵不等式组x＞2x＞1的解集为：x＞2，关于x的不等式组x＞ax＞−1是不等式组x＞2x＞1的“子集”，
∴关于x的不等式组的解集为x＞a．
∴a≥−1a≥2．
∴a≥2．
故答案为：a≥2．
（4）∵E：c≤x≤d，F：4＜x＜9，E是F的“子集”，a，b，c，d为互不相等的整数，
∴5≤x≤8．
∴c＝5，d＝8．
∵D是E的“子集”，D：a≤x≤b，
∴6≤x≤7．
∴a＝6，b＝7．
∴a（b+c+d）＝6（7+8+5）＝120．
故答案为：120．
（5）∵不等式组G：2x≥m3x＜n有解，
∴解集为：m2≤x＜n3．
∵不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，
∴m2≤1n3＞3．
解得：m≤2n＞9．
∵m，n为正整数，求mn的最大值，
∴m最大为2，n最小为10．
∴mn的最大值=15．
故答案为：15．
【点评】本题综合考查不等式（组）中新定义的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．
25．（14分）·【较难】学校准备在教室靠走廊一侧做一排开放式储物柜（没有门和背板），柜中每个格子内部空间满足：长度35cm，高度25cm，深度40cm．
某工厂现有一些厚度为2cm的板材，其类型、规格和价格如表．
（1）林老师从该厂购买了1块A型顶板，2块竖板，3块隔板，用这6块板材组装了一个三层一列的储物柜（如图），请计算该储物柜的高度；
（2）学校采购该厂现有的板材，不切割直接进行组装，再将其并排放在一起供师生使用．为不影响视野，储物柜高度不超过1米；为确保结构稳定，每个储物柜的顶板、竖板和隔板之间无缝隙不错位，其两侧有竖板且每列底部都有隔板．
①用一块B型顶板以及若干块竖版和隔板可以组装出一个三层几列的储物柜？购买能组装出这个储物柜所需的全部板材要多少费用？
②已知七年1班有51名学生，每名学生都要有独立格子可用，请你设计一个最优的购买方案，并求该方案所需费用．
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】优选方案问题；推理能力．
【分析】（1）根据竖板的高加上顶板的厚度即可；
（2）①根据B型顶板的长度确定竖板和隔板的个数即可得出答案；
②先分别求出1个A，B，C型顶板组成的储物柜所需费用，再分别求出五个方案的费用，比较得出答案．
【解答】解：（1）储物柜的高度为81+2＝83（cm）；
（2）①由4×35+5×2＝150（cm），可知需要竖版5块，即可组一个三层四列的储物柜；
每一列需要3块隔板，共需要3×4＝12（块）隔板，
则此储物柜需要12块隔板，1块B型顶板，5块竖板，
即85+5×60+12×15＝565（元），
所以购买能组装出这个储物柜所需的全部板材要565元；
②1块A顶板需要30+60×2+15×3＝195（元）；
1块B型顶板需要565（元）；
1个C型顶板需要21块隔板，1块C型顶板，8块竖板，即130+8×60+21×15＝925（元），
方案一：全部用A型顶板，195×17＝3315（元），共需要3315元；
方案二：4个B型顶板，1个A型顶板，565×4+195＝2455（元），共需要2455元；
方案三：3个C型顶板，925×3＝2775（元）；
方案四：由21×2+12＞51，则2个C型顶板，1个B型顶板，925×2+565＝2415（元）；
方案五：由21×2+3×3＝51，则2个C型顶板，3个A型顶板，925×2+195×3＝2435（元）；
因为2415元费用最低，
所以购买2个C型顶板，1个B型顶板，8×2+5＝21个竖板，3×7×2+3×4＝54个隔板，该方案所需费用为2415元．
【点评】本题主要考查了方案设计的问题，涉及有理数运算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．A种产品
B种产品
成本（万元/件）
2
5
利润（万元/件）
1
3
板材类型
规格：长×宽（cm）
价格（元/块）
竖板
81×40
60
隔板
35×40
15
A型顶板
39×40
30
B型顶板
150×40
85
C型顶板
261×40
130