2027届高考数学人教A版一轮复习：第33讲 正、余弦定理的应用举例 课时作业

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1.如图,设A,B两点在河的两岸,在点A所在河岸边选一定点C,测得AC的距离为50 m,∠ACB=30°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离是( )
A.252 m B.502 m
C.253 mD.503 m
答案:A
解析:在△ABC中,∠ACB=30°,∠CAB=105°,
所以∠ABC=180°-30°-105°=45°,
由正弦定理ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,
得AB=AC·sin∠ACBsin∠ABC=50sin30°sin45°=50×1222=252(m).
2.(2026·山西太原模拟)已知一个足球场地是南北走向.在一次进攻时,某运动员从点A处开始带球沿正北方向行进16m到达B处,再转向北偏东60°方向行进24m到达C处,然后起脚射门,则A,C两点间的距离为 ( )
A.87mB.810m
C.32mD.819m
答案:D
解析:如图,根据题意可知,AB=16米,BC=24米,∠ABC=120°,
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cs 120°=162+242-2×16×24×(-12),解得AC=819(米).
3.(2026·贵州贵阳模拟)某研究小组为测量某建筑最高点A离地面的高度,选取了与该建筑底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=11.2 m,在点C处测得该建筑顶端A的仰角为72.4°,则该建筑的高度约为(参考数据:tan 72.4°≈3.15,sin 53°≈0.80)( )
A.18 mB.20 m
C.22 mD.24 m
答案:C
解析:由题意可知,∠BCD=23°,∠CDB=30°,
所以∠CBD=127°.
又因为CD=11.2 m,
由正弦定理CDsin∠CBD=CBsin∠CDB,
可得11.2sin127°=CBsin30°,又sin 127°=sin(180°-53°)=sin 53°,则CB≈7 m.
又因为∠ACB=72.4°,所以AB=CBtan∠ACB≈7×3.15=22.05≈22(m).
4.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°(A,B,C在同一铅垂平面内).若CD=50 m,且山坡对于地平面的坡度为θ,则cs θ=( )
A.32B.22
C.3-1D.2-1
答案:C
解析:因为∠CBD=45°,所以∠ACB=45°-15°=30°,又sin 15°=6−24,
在△ABC中,由正弦定理可得BCsin15°=100sin30°,解得BC=50(6-2),
在△BCD中,由正弦定理可得50(6−2)sin∠BDC=50sin45°,解得sin∠BDC=3-1,
即sin(θ+90°)=3-1,所以cs θ=3-1.
5.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作,其中第一道题目是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,ED和GF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆.若ED=GF=4,EG=15,EH=8,GC=13,则海岛的高AB为( )
A.16B.24
C.32D.40
答案:A
解析:设AE=x,
在△ABH中,DEAB=EHAH=EHAE+EH⇒4AB=8x+8,①
在△ABC中,FGAB=GCAC=GCGC+AE+EG⇒4AB=1313+x+15=1328+x⇒4AB=1328+x,②
由①②可得4AB=8x+8,4AB=1328+x⇒x=24,AB=16.
6.(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向,距离为126 n mile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向,距离为83 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向,则下列说法正确的是( )
A.A处与D处之间的距离是24 n mile
B.灯塔C与D处之间的距离是8 n mile
C.灯塔C在D处的南偏西30°方向
D.D处在灯塔B的北偏西30°方向
答案:AC
解析:在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,∠DAB=75°,AB=126,
则∠B=45°,由正弦定理得AD=ABsin∠Bsin∠ADB=126×2232=24,
∴A处与D处之间的距离为24 n mile,故A正确;
在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcs 30°,
又AC=83,解得CD=83,∴灯塔C与D处之间的距离为83 n mile,故B错误;
∵AC=CD=83,∴∠CDA=∠CAD=30°,灯塔C在D处的南偏西30°方向,故C正确;
灯塔B在D处的南偏东60°方向,D处在灯塔B的北偏西60°方向,故D错误.
7.(多选)如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,从D处往正东方向行驶30n mile至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是( )
A.∠CAD=60°
B.A,D之间的距离为152n mile
C.A,B两处岛屿间的距离为156n mile
D.B,D之间的距离为303n mile
答案:BC
解析:由题意可知CD=30,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°,
所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°=45°≠60°,故A错误;
∠ADB=15°+45°=60°,
在△ACD中,由正弦定理得ADsin30°=30sin45°,得AD=30×sin30°sin45°=152(n mile),故B正确;
在Rt△BCD中,因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以BD=2CD=302≠303(n mile),故D错误;
在△ABD中,由余弦定理得,
AB=AD2+BD2−2AD·BDcs∠ADB=
450+1 800−2×152×302×12=156(n mile),故C正确.
8.如图,位于某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救,甲船立即前往救援,同时把消息告知位于甲船南偏西30°且与甲船相距10 n mile的C处的乙船,乙船也立即朝着渔船前往营救,则sin∠ACB= .
答案:217
解析:由题意得∠CAB=120°,AC=10,AB=20,
由余弦定理得,CB2=AC2+AB2-2AC·ABcs∠CAB=700,∴CB=107,
由正弦定理得,CBsin∠CAB=ABsin∠ACB,即10732=20sin∠ACB,解得sin∠ACB=217.
9.(2026·河南南阳模拟)如图,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上一点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方20 km和54 km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波,8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km,求x的值;
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离.(结果精确到0.01 km)
解:(1)依题意,得 PA-PB=1.5×8=12(km),
PC-PB=1.5×20=30(km),所以 PB=(x-12)km,PC=(x+18)km.在△PAB 中,AB=20 km,
由余弦定理得cs∠PAB=PA2+AB2−PB22PA·AB=x2+202−(x−12)22x·20=3x+325x.
同理在 △PAC 中,cs∠PAC=72−x3x.
由于 cs∠PAB=cs∠PAC,所以 3x+325x=72−x3x,解得 x=1327.
(2)作 PD⊥a,垂足为 D,在 Rt△PDA 中,
PD=PA·cs∠APD=PA·cs∠PAB=x·3x+325x≈17.71(km).
所以目标 P 到海防警戒线a的距离为 17.71 km.
10.为了测绘海面上一座活火山顶点E的高度,测绘船围绕活火山展开测量,如图为测绘活动的俯视图,在测绘船的路线中,三个观测点A,B,C恰好构成正三角形,点D为火山口在俯视图中的位置.已知从A,B,C三点测量点E的仰角的正切值分别为13,14,13.
(1)求∠BDA的正弦值;
(2)若正三角形ABC的边长为a,求火山顶点E的高度.
解:(1)取线段AC的中点F,连接BF,DF,设火山顶点E的高度为h,
则依题意可知AD=CD=3h,BD=4h.
∵AD=CD,AB=CB,
∴DF⊥AC,BF⊥AC,且BF平分∠ABC,
∴B,D,F三点共线,∴∠ABD=12∠ABC=π6,
由正弦定理可知sin∠BAD=BDAD·sin∠ABD=4ℎ3ℎ·12=23,
∴cs∠BAD=1−(23)2=53,
∴sin∠BDA=sin(π-∠BAD-∠ABD)
=sin(∠BAD+∠ABD)
=sin∠BADcs∠ABD+cs∠BADsin∠ABD
=23·32+53·12
=23+56.
(2)在△ABD中,由正弦定理可知,sin∠ADBAB=sin∠ABDAD,
∴AD=AB·sin∠ABDsin∠ADB=a·1223+56=37(23-5)a,
即3h=37(23-5)a,∴h=23−57a.
[B组 能力提升练]
11.如图,在山脚A处测得山顶P的仰角α为45°,沿倾斜角β为15°的斜坡向上直走100m到达B处,在B处测得山顶P的仰角γ为60°,则山的高度PQ为( )
(参考数据:sin 15°=6−24)
A.50(6+2)m
B.50(3+1) m
C.100(3+1) m
D.120 m
答案:A
解析:依题意,∠PAQ=45°,∠BAQ=15°,则∠PAB=30°,∠APQ=45°,
又∠PBC=60°,则∠BPC=30°,即有∠APB=15°,∠ABP=135°,
在△ABP中,AB=100,由正弦定理APsin∠ABP=ABsin∠APB,
得AP=ABsin∠ABPsin∠APB=100sin135°sin15°=100×226−24=100(3+1),
在Rt△PAQ中,PQ=APsin 45°=100(3+1)·22=50(6+2),
所以山的高度PQ为50(6+2) m.
12.在某海域开展的海上演习中,我方军舰要到达C岛完成任务.已知军舰A位于B市的南偏西25°方向上,且在C岛的北偏西58°方向上,B市在C岛的北偏西28°方向上,且距离C岛248 km,此时,我方军舰沿着AC方向以50 km/h的速度航行,则我方军舰到达C岛大约需要 h.(参考数据:3≈1.73,sin 53°≈45,cs 53°≈35)
答案:4
解析:设我方军舰大约需要x h到达C岛,则AC=50x,
依题意,∠ABC=28°+25°=53°,∠ACB=58°-28°=30°,BC=248 km,
在△ABC中,sin∠BAC=sin(53°+30°)=sin 53°·cs 30°+cs 53°sin 30°≈45×32+35×12=43+310≈4×1.73+310=0.992,
由正弦定理得BCsin∠BAC=ACsin∠ABC,即2480.992≈50x0.8,解得x≈4,
所以我方军舰大约需要4 h到达C岛.