2023届高考数学一轮复习作业正弦定理余弦定理新人教B版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业正弦定理余弦定理新人教B版（答案有详细解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．(2021·山东泰安市高三三模)在△ABC中，AC＝3，BC＝2，cs C＝eq \f(3,4)，则tan A＝( )
A．eq \f(\r(5),6) B．eq \f(\r(7),6) C．eq \f(\r(5),3) D．eq \f(\r(7),3)
D [由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2BC·ACcs C＝32＋22－2×3×2×eq \f(3,4)＝4，
所以AB＝2，因为AB＝BC，所以A＝C，所以cs A＝cs C＝eq \f(3,4)，tan A＝eq \f(\r(7),3)．]
2．在△ABC中，BC＝6，A＝eq \f(π,3)，sin B＝2sin C，则△ABC的面积为( )
A．6eq \r(3) B．6 C．9eq \r(3) D．4eq \r(2)
A [∵a2＝b2＋c2－2bccs A，∴36＝c2＋b2－bc，
∵sin B＝2sin C，∴b＝2c．
解得：c＝2eq \r(3)，b＝4eq \r(3)，∴△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×4eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3)．]
3．对于△ABC，有如下命题，其中正确的是( )
A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形
B．若sin A＝cs B，则△ABC为直角三角形
C．若sin2A＋sin2B＋cs2C＜1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB＝eq \r(3)，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为eq \f(\r(3),4)
C [对于A项，∵sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝π，即A＋B＝eq \f(π,2)，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B项，∵sin A＝cs B，∴A－B＝eq \f(π,2)或A＋B＝eq \f(π,2)，
∴△ABC不一定是直角三角形，故B错误；
对于C项，sin2A＋sin2B＜1－cs2C＝sin2C，∴a2＋b2＜c2，∴△ABC为钝角三角形，C正确；
对于D项，由正弦定理，得sin C＝eq \f(ABsin B,AC)＝eq \f(\r(3),2)，且AB＞AC，
∴C＝60°或C＝120°，∴A＝90°或A＝30°，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·ABsin A＝eq \f(\r(3),2)或eq \f(\r(3),4)，D不正确．故选C．]
4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则cs B＝( )
A．eq \f(1,9) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
A [由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cs C＝16＋9－2×4×3×eq \f(2,3)＝9，AB＝3，所以cs B＝eq \f(9＋9－16,2×9)＝eq \f(1,9)，故选A．]
5．(2021·河南安阳市高三一模)在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cs A＋cs B＝eq \r(3)，c＝eq \r(3)，则当sin A＋sin B取最大值时，△ABC外接圆的面积为( )
A．eq \f(π,2) B．eq \f(\r(3)π,2) C．π D．2π
C [由题意，在△ABC中，满足cs A＋cs B＝eq \r(3)，
因为(cs A＋cs B)2＋(sin A＋sin B)2＝2＋2(sin Asin B＋cs Acs B)＝2＋2cs(A－B)，
所以当A－B＝0时，即A＝B时，上式取得最大值，此时sin A＋sin B取最大值，
又由cs A＋cs B＝eq \r(3)，可得cs A＝cs B＝eq \f(\r(3),2)，
因为A，B∈(0，π)，所以A＝B＝eq \f(π,6)，则C＝eq \f(2π,3)，
又因为c＝eq \r(3)，利用正弦定理可得2R＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(2\r(3),\r(3))＝2，所以R＝1，
所以△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝π．]
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin2B＝bcs Acs B，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
B [由asin2B＝bcs Acs B得
sin Asin2B＝sin Bcs Acs B，
即sin B(cs Acs B－sin Asin B)＝0，
即sin Bcs(A＋B)＝0，
∵sin B≠0，∴cs(A＋B)＝0，
又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝eq \f(π,2)，故选B．]
二、填空题
7．(2021·河南新乡市高三二模)a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a2＋eq \f(1,7)bc＝b2＋c2，则cs A＝ ．
eq \f(1,14) [因为a2＋eq \f(1,7)bc＝b2＋c2，且a2＝b2＋c2－2bccs A，所以cs A＝eq \f(1,14)．]
8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsin A＋acs B＝0，则B＝ ．
eq \f(3π,4) [∵bsin A＋acs B＝0，∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,－cs B)．由正弦定理，得－cs B＝sin B，∴tan B＝－1．又B∈(0，π)，∴B＝eq \f(3π,4)．]
9．(2021·山西吕梁市高三三模)已知锐角△ABC中，AB＝6cs A，AC＝2AB－2，sineq \f(A,2)＝eq \f(1,2)，延长AB到点D，使sin ∠BCD＝eq \f(\r(39),26)，则S△BCD＝ ．
eq \r(3) [∵sineq \f(A,2)＝eq \f(1,2)，∴A＝60°，AB＝6cs A＝3，AC＝2AB－2＝4，
△ABC中，由余弦定理可知BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cs A＝13，
∴BC＝eq \r(13)，cs ∠CBA＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(\r(13),13)，
∴∠CBD＝180°－∠CBA为钝角，
∴∠BCD是锐角，∵sin ∠BCD＝eq \f(\r(39),26)，
∴cs ∠BCD＝eq \f(7\r(13),26)，
∴cs ∠CBD＝cs(π－∠CBA)＝－cs ∠CBA＝－eq \f(\r(13),13)，sin ∠CBD＝eq \f(2\r(39),13)，
∴sin D＝sin(∠CBD＋∠BCD)＝eq \f(\r(3),2)，
△BCD中，由正弦定理得eq \f(BC,sin D)＝eq \f(DC,sin ∠CBD)，∴DC＝4，
∴S△BCD＝eq \f(1,2)×BC×DC×sin ∠BCD＝eq \f(1,2)×eq \r(13)×4×eq \f(\r(39),26)＝eq \r(3)．]
三、解答题
10．(2021·天津高考)在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶eq \r(2)，b＝eq \r(2)．
(1)求a的值；
(2)求cs C的值；
(3)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C－\f(π,6)))的值．
[解](1)因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶eq \r(2)，由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶1∶eq \r(2)，
∵b＝eq \r(2)，∴a＝2eq \r(2)，c＝2．
(2)由余弦定理可得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(8＋2－4,2×2\r(2)×\r(2))＝eq \f(3,4)．
(3)∵cs C＝eq \f(3,4)，∴sin C＝eq \r(1－cs2C)＝eq \f(\r(7),4)，
∴sin 2C＝2sin Ccs C＝2×eq \f(\r(7),4)×eq \f(3,4)＝eq \f(3\r(7),8)，cs 2C＝2cs2C－1＝2×eq \f(9,16)－1＝eq \f(1,8)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C－\f(π,6)))＝sin 2Ccseq \f(π,6)－cs 2Csineq \f(π,6)＝eq \f(3\r(7),8)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,8)×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(21)－1,16)．
11．(2021·北京高考)已知在△ABC中，c＝2bcs B，C＝eq \f(2π,3)．
(1)求B的大小；
(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．
①c＝eq \r(2)b；②周长为4＋2eq \r(3)；③面积为S△ABC＝eq \f(3\r(3),4) ．
[解](1)由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得sin C＝2sin Bcs B＝sin 2B，故C＝2B(舍)或C＋2B＝π．故B＝A＝eq \f(π,6)．
(2)由(1)知，c＝eq \r(3)b，故不能选①．
选②，设BC＝AC＝2x，则AB＝2eq \r(3)x，故周长为(4＋2eq \r(3))x＝4＋2eq \r(3)，解得x＝1．
从而BC＝AC＝2，AB＝2eq \r(3)，设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，
cs B＝eq \f(AB2＋BD2－AD2,2·AB·BD)＝eq \f(1＋12－AD2,4\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
解得AD＝eq \r(7)．
选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝2eq \r(3)x，故
S△ABC＝eq \f(1,2)·(2x)·(2x)·sin 120°＝eq \r(3)x2＝eq \f(3\r(3),4)，
解得x＝eq \f(\r(3),2)，即BC＝AC＝eq \r(3)，设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，
cs B＝eq \f(AB2＋BD2－AD2,2·AB·BD)＝eq \f(9＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)－AD2,3\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
解得AD＝eq \f(\r(21),2)．
1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的外接圆的面积为3π，且cs2A－cs2B＋cs2C＝1＋eq \r(3)sin Asin C，则△ABC的最大边长为( )
A．2 B．3 C．eq \r(3) D．2eq \r(3)
C [由cs2A－cs2B＋cs2C＝1＋eq \r(3)sin Asin C得1－sin2A－1＋sin2B＋1－sin2C＝1＋eq \r(3)sin Asin C，
即－sin2A＋sin2B－sin2C＝eq \r(3)sin Asin C，
由正弦定理得b2－a2－c2＝eq \r(3)ac，即c2＋a2－b2＝－eq \r(3)ac，
则cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq \f(－\r(3)ac,2ac)＝－eq \f(\r(3),2)，则B＝150°，即最大值的边为b，
∵△ABC的外接圆的面积为3π，设外接圆的半径为R，∴πR2＝3π，得R＝eq \r(3)，
则eq \f(b,sin B)＝2R＝2eq \r(3)，即b＝2eq \r(3)sin B＝2eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \r(3)，故选C．]
2．在△ABC中，若eq \f(bcs C,ccs B)＝eq \f(1＋cs 2C,1＋cs 2B)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
D [由已知eq \f(1＋cs 2C,1＋cs 2B)＝eq \f(2cs2C,2cs2B)＝eq \f(cs2C,cs2B)＝eq \f(bcs C,ccs B)，
所以eq \f(cs C,cs B)＝eq \f(b,c)或eq \f(cs C,cs B)＝0，即C＝90°或eq \f(cs C,cs B)＝eq \f(b,c)，
由正弦定理，得sin Ccs C＝sin Bcs B，即sin 2C＝sin 2B，
因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，
所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D．]
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq \r(3))bc，sin Asin B＝cs2eq \f(C,2)，BC边上的中线AM的长为eq \r(7)．
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面积．
[解](1)由a2－(b－c)2＝(2－eq \r(3))bc，
得a2－b2－c2＝－eq \r(3)bc，∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，
又0＜A＜π，∴A＝eq \f(π,6)．
由sin Asin B＝cs2eq \f(C,2)，
得eq \f(1,2)sin B＝eq \f(1＋cs C,2)，即sin B＝1＋cs C，
则cs C＜0，即C为钝角，
∴B为锐角，且B＋C＝eq \f(5π,6)，
则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－C))＝1＋cs C，
化简得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,3)))＝－1，
解得C＝eq \f(2π,3)，∴B＝eq \f(π,6)．
(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，
由余弦定理得AM2＝b2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\up12(2)－2b·eq \f(a,2)·cs C＝b2＋eq \f(b2,4)＋eq \f(b2,2)＝(eq \r(7))2，
解得b＝2，
故S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)．
1．(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2eq \r(3)，则AC＝ ，cs ∠MAC＝ ．
2eq \r(13) eq \f(2\r(39),13) [由题意作出图形，如图，
在△ABM中，由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2BM·BA·cs B，
即12＝4＋BM2－2BM×2×eq \f(1,2)，解得BM＝4(负值舍去)，
所以BC＝2BM＝2CM＝8，在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs B＝4＋64－2×2×8×eq \f(1,2)＝52，
所以AC＝2eq \r(13)；在△AMC中，由余弦定理得
cs ∠MAC＝eq \f(AC2＋AM2－MC2,2AM·AC)＝eq \f(52＋12－16,2×2\r(3)×2\r(13))＝eq \f(2\r(39),13)．]
2．(2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积．
条件①：c＝7，cs A＝－eq \f(1,7)；
条件②：cs A＝eq \f(1,8)，cs B＝eq \f(9,16)．
[解] 选条件①：c＝7，cs A＝－eq \f(1,7)，且a＋b＝11．
(1)在△ABC中，由余弦定理，得
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(11－a2＋72－a2,2×11－a×7)＝－eq \f(1,7)，
解得a＝8．
(2)∵cs A＝－eq \f(1,7)，A∈(0，π)，∴sin A＝eq \f(4\r(3),7)．
在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin C＝eq \f(c·sin A,a)＝eq \f(7×\f(4\r(3),7),8)＝eq \f(\r(3),2)．
∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×8×3×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3)．
若选条件②：cs A＝eq \f(1,8)，cs B＝eq \f(9,16)，且a＋b＝11．
(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cs A＝eq \f(1,8)，cs B＝eq \f(9,16)，
∴sin A＝eq \f(3\r(7),8)，sin B＝eq \f(5\r(7),16)．
在△ABC中，由正弦定理，可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
∴eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(\f(3\r(7),8),\f(5\r(7),16))＝eq \f(6,5)．
又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5．
(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acs B＋cs Asin B
＝eq \f(3\r(7),8)×eq \f(9,16)＋eq \f(1,8)×eq \f(5\r(7),16)＝eq \f(32\r(7),128)＝eq \f(\r(7),4)．
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×6×5×eq \f(\r(7),4)＝eq \f(15\r(7),4)．