初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）24.3 数据的四分位数教案及反思

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）24.3 数据的四分位数教案及反思，共12页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教材分析
本节课选自人教版初中数学数据的分析单元，是学生在学习平均数、中位数、方差后，对数据分布特征的进一步探究，是刻画数据离散程度的重要延伸，也是后续学习统计推断的基础，在整个数据统计知识体系中起到承上启下的关键作用.
教材以银行理财团队收益率为情境引入，通过“平均数与方差的局限性”引发认知冲突，自然过渡到四分位数的概念；接着以百分位数为基础，推导四分位数的定义与计算方法；再通过箱线图的绘制与解读，将抽象的分位数转化为直观的图形；最后通过对比两组数据的箱线图，引导学生分析数据的分布特征、波动范围与集中趋势.
教材的教学逻辑链条清晰完整：从实际问题出发，以“为什么要学”激发需求，再到“是什么、怎么算、怎么画、怎么用”层层递进，既注重概念的生成过程，又强调统计图表的实际应用，体现了“用数据说话”的统计核心素养，也为学生后续分析多组数据、解读统计图表奠定了方法基础.

二、学情分析
已有基础：学生已掌握平均数、中位数、方差的计算与意义，能理解数据的集中趋势与离散程度，具备初步的数据处理与分析能力；同时已接触过条形图、折线图等统计图表，具备一定的图表解读经验，为箱线图的学习提供了基础.
存在困难：一是四分位数的计算逻辑抽象，尤其是数据个数为奇数/偶数时，分位数位置的确定易混淆；二是箱线图各部分(箱体、须线、分位数)的意义理解困难，难以将图形特征与数据分布对应；三是缺乏用箱线图对比分析多组数据的经验，容易停留在表面解读，无法深入分析数据的分布特点与差异.
认知特点：初中生正处于从具象思维向抽象思维过渡的阶段，对抽象的统计概念理解需要借助直观情境与图形支撑；同时他们对生活化的实际问题兴趣浓厚，喜欢动手操作与合作探究，但在严谨的逻辑推理与数学表达上仍有不足，需要教师通过分步引导、情境化任务帮助他们突破难点，逐步建立统计思维.

三、教学目标
1.理解四分位数的概念，掌握其计算方法，能绘制并解读箱线图，会用箱线图描述数据的分布特征.
2.理解四分位数的意义，能结合箱线图对比分析多组数据的分布差异，体会统计图表的实际应用价值.
3.通过探究四分位数的计算、箱线图的绘制过程，提升数据处理、图表解读与对比分析能力，体会数形结合的思想方法.
4.感受统计知识在生活中的应用价值，激发对数据分析的兴趣，培养用数据说话的理性思维与严谨的科学态度.

四、教学重难点
重点：理解四分位数的概念，掌握其计算方法，能绘制并解读箱线图，会用箱线图描述数据的分布特征.
难点：理解四分位数的意义，能结合箱线图对比分析多组数据的分布差异，体会统计图表的实际应用价值.

五、教学过程
情境导入
前面我们已经学过用平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，用方差反映数据的离散程度.但在实际生活中，只知道平均水平和波动大小，往往不够全面.比如，两份数学测试卷，平均分相同、方差相近，但学生分数在不同分段的占比可能完全不同.
我们想知道：数据里偏低的一半、中间部分、偏高的一半分别处在什么范围?如何快速划分数据层次?今天，我们就来认识新的统计量——四分位数，用它来刻画数据的整体分布情况.
师生活动：教师展示两次数学测试成绩对比图，引导学生观察：“平均分、方差相近，但分数分布有何不同?”学生讨论发现集中趋势、离散程度无法体现数据层次分布，教师顺势引出四分位数.
设计意图：通过熟悉的成绩对比情境，引发认知冲突，让学生体会现有统计量的局限性，激发探究新统计量的需求，自然引入四分位数的学习.
探究新知
活动一：探究四分位数的定义与计算
问题1：某银行有 A 和 B 两个理财产品经营团队.近三年，这两个团队分别负责经营 12 项理财产品，收益率(单位：％)如下：
A 4.77 3.98 6.44 4.89 2.15 3.85
3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60
4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
如果你是一位购买理财产品的投资者，会选择哪个团队的产品？
师生活动：教师抛出理财选择问题，引导学生用平均数、方差分析A、B团队数据，发现局限性；再通过分步计算、标注，带领学生探究四分位数定义与分布含义，对比两团队数据特征.
我们可以用产品收益率的平均数和方差来刻画这两个团队的经营水平.
(1)计算团队A和团队B产品收益率的平均数和方差.
xA≈3.862，s2A≈1.327；
xB≈3.863，s2B≈0.117.
(2)应该选择哪个团队的理财产品?
可以看出：
①团队 B 的产品收益率的平均数稍大于团队 A，但差别不大；
②团队 A 的产品收益率的方差明显大于团队 B，即团队 B 的产品收益率的稳定性要好于团队 A.
因此，如果你是稳健型投资者，那么应该选择团队 B 经营的理财产品；如果你是激进型投资者，那么应该选择团队 A 经营的理财产品.
问题2：如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，那么产品收益率的平均数和方差能反映出这些信息吗？
答：平均数和方差虽然可以反映产品收益率的集中趋势和离散程度，但无法反映出投资客户关心的这些信息. 因此，我们需要能反映产品收益率更多分布信息的统计量.
百分位数：一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成 2 等份，将数据分成 100 等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数.
相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息.
由于每个团队的产品收益率的数据个数不多，我们可以用三个特殊的百分位数来刻画.
步骤一：如图所示，把团队A的产品收益率按从小到大的顺序排列：
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44
中位数为3.85+3.982=3.915
3.915把所有数据分成 2 等份，所有数据中小于这个值的占50％，称 3.915 为这组数据的 50％ 分位数.
步骤二：在 3.915 左侧和右侧的数据中，还可以分别得到它们各自的中位数3.195 和 4.44 ：
所有数据中小于这两个值的分别占 25％ 和 75％，称3.195 和 4.44 分别为这组数据的25％分位数和75％分位数.
由于 3.195，3.915，4.44 这三个值把这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数（中位数）、第三四分位数，分别记为 Q1，Q2，Q3.
第一四分位数又称下四分位数，第三四分位数又称上四分位数.
问题3：由团队 A 产品收益率的三个四分位数，观察其产品收益率的分布情况如何.
答：团队 A 产品：①其产品收益率小于 3.195％ 的项目数占总数的 25％；
②产品收益率小于 3.915％ 的项目数占总数的一半；
③产品收益率大于 4.44％ 的项目数占总数的 25％；
④产品收益率在 3.195％ 至4.44％ 之间的项目数占总数的 50％.
问题4：求出团队 B 产品收益率的三个四分位数.
答：把团队 B 的产品收益率按从小到大的顺序排列：
3.18 3.40 3.60 3.67 3.84 3.87 3.91 3.99 4.10 4.15 4.21 4.44
问题5：由团队 B 产品收益率的三个四分位数，观察其产品收益率的分布情况如何.
答：团队 B 产品：①其产品收益率小于 3.635％ 的项目数占总数的 25％；②产品收益率小于 3.89％ 的项目数占总数的一半；
③产品收益率大于 4.125％ 的项目数占总数的 25％；
④产品收益率在 3.635％ 至 4.125％ 之间的项目数占总数的 50％.
设计意图：以真实理财情境引发认知冲突，让学生体会平均数、方差的不足，经历四分位数的生成过程，理解其统计意义，学会用四分位数刻画数据分布.
活动二：探究箱线图的绘制与解读
师生活动：教师展示A、B团队箱线图，讲解其构成要素，引导学生分析箱体、须线的含义，对比两图的分布差异，归纳箱线图的解读方法与特点.
为了更加直观地观察产品收益率的分布特征，我们可以用产品收益率的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图.
团队 A 产品收益率的箱线图如图所示，它主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段(称为须线)构成.
箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示第一四分位数，箱体中部的竖线表示第二四分位数(中位数)，箱体的右端竖线表示第三四分位数，整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距.
问题6：由箱线图你能得到哪些分布信息?
答：(1)数据的极端值与分布范围；
(2)数据的四分位数；
(3)数据集中的范围与四分位距；
(4)分布是否对称，即分布的对称性.
类似地，可以画出团队 B 产品收益率的箱线图，如图所示.
箱线图也可以按竖直方向画．为了便于比较两组数据的分布特征，可以把两个箱线图按竖直方向并列画在同一幅图中.
问题7：比较团队A和团队B的箱线图，可以得到什么信息?
答：①表示中位数的水平线段差不多高：两个团队产品收益率的中位数几乎相等；
②团队 A 的箱体和须线比团队 B 的长：团队 A 的产品收益率波动明显比团队 B 的大.
（这两点与用平均数、方差比较的结果是一致的. “箱体”越高(宽)方差越大，即数据波动更大.）
③中位数对应的水平线段在箱子的中间位置：团队 B 的产品收益率分布比团队 A 的更对称；
④团队A有约25% 的产品收益率高于团队B的最高产品收益率，也有约 25% 的产品收益率低于团队B的最低产品收益率，等等.
问题8：与直方图、条形图比较，箱线图在表示数据方面有什么特点？
箱线图可以不受数据量影响，并排展示多组数据的分布，便于比较各组的中位数、离散程度、数据中的极端情况等信息，还能直接反映数据的对称程度、集中范围.
总结：按从小到大的顺序排列的一组数据，可以按以下步骤确定其四分位数：
①先找出这组数据的中位数，作为这组数据的第二四分位数；
②然后找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第一四分位数和第三四分位数.
③利用一组数据的三个四分位数，以及最小值、最大值可以刻画这组数据的大致分布情况.
特别解读
箱线图能较为全面地反映数据的分布情况：
1.箱体长度：箱体越长，中间50%的数据越分散，箱体越短，中间50%的数据越集中.
2. 须线长度： 须线越长，说明数据在两端分布越广，数据整体离散程度高；须线越短，说明数据在两端分布越集中，离散程度低.
3.上须线显著长于下须线：存在偏大的值；下须线显著长于上须线：存在偏小的值；须线长度基本对称：数据在两端均匀分布.
设计意图：通过直观图示让学生掌握箱线图的绘制与解读，理解其在多组数据对比中的优势，深化对数据分布的认识，培养数据分析能力.
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师引导学生先对甲、乙两地气温数据排序，计算四分位数，再共同绘制箱线图，对比分析两地气温的分布差异，总结解读结论.
例1 根据表中的数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点.
解：将表中两地的气温(单位：℃)分别从小到大的顺序排列，可得
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
甲、乙两地气温各有 13 个数据. 甲地气温的最小值为 9，最大值为 24，三个四分位数分别为
Q2= 16，Q1=11+122=11.5，Q3=21+212=21.
乙地气温的最小值为 11，最大值为 21，三个四分位数分别为
Q2= 16，Q1=13+142=13.5，Q3=18+192=18.5.
在同一幅图中画出两地气温的箱线图，如图所示.
可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地约有 25% 时刻的气温高于乙地的最高温度，约有 25% 时刻的气温低于乙地的最低温度.
设计意图：通过教材例题巩固四分位数计算与箱线图绘制方法，让学生在实际情境中掌握用箱线图对比分析数据分布的方法，提升数据分析能力.
【经典例题】
师生活动：教师引导学生解读被污染数据的箱线图，分析四分位数与数据特征；再通过两班成绩箱线图，引导学生观察中位数、箱体结构，讨论数据分布差异与平均分估计方法.
例2 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11，其箱线图如图所示：
下列说法错误的是( )
A. 这组数据的第一四分位数是4
B. 这组数据的中位数是10
C. 这组数据的第三四分位数是15
D. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18
分析：箱线图从左到右(从下到上)表示的数据依次为最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值.
A. 这组数据的第一四分位数是4，正确；
B. 这组数据的中位数是10.5，错误；
C. 这组数据的第三四分位数是15，正确；
D. 由箱线图可知最小值是3，最大值是18，所以被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，正确.
故选B.
例2 已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩的箱线图如图所示.
(1)图中虚线分别对应甲班和乙班的哪个四分位数：__________，____________；
(2)图中甲班的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？
(3)由此图估计甲、乙两班中平均分较高的班级是哪个．
答：(1)中位数；上四分位数
(2)甲班成绩处于中等偏下的人的成绩比处于中等偏上的人的成绩更分散．
(3)由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班成绩的上四分位数是128，同时，甲班成绩的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高．
设计意图：通过变式题巩固箱线图的解读与四分位数应用，培养学生从箱线图中提取信息、分析数据分布特征的能力，深化对统计图表的理解.
课堂练习
【教材练习】
1. 某城市 9 月份空气质量指数的箱线图如图所示.
(1)这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数分别是多少？
(2)请分析这个月空气质量的特点.
解：(1)这个月空气质量指数的最大值是110，最小值是30，Q1=40，Q2=50，Q3=80.
(2)空气质量指数低于 40 的天数约占总数的 25%；
空气质量指数低于 50 的天数约占总数的 50%；
空气质量指数高于 80 的天数约占总数的 25%；
空气质量指数在 40~80 之间的天数约占总数的 50%.(答案不唯一).
2. 计算第 149 页“问题 1”中每组数据的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较两个小组的跳绳成绩特点.
甲组 182 194 143 185 156
乙组 199 148 242 170 141
解：将数据按照从小到大的顺序排列
甲组 143 156 182 185 194
乙组 141 148 170 199 242
甲组数据的四分位数分别是：Q1=149.5，Q2=182，Q3=189.5.
乙组数据的四分位数分别是：Q1=144.5， Q2=170，Q3=220.5.
在同一幅图中画出两组跳绳成绩的箱线图，如图所示.
由此可知，甲组数据相对集中，波动较小，而乙组数据较为分散，最大值与最小值的差距比较大.(答案不唯一).
3. 任何一组数据的四分位数，是否都恰好能把这组数据分成四等份？举例说明.
（注：分成四等份指将数据平均分成四份，每份数据个数相等.）
解：任何一组数据的四分位数，并不都恰好能把这组数据分成四等份，如10，20，30，40，50.
师生活动：教师引导学生独立完成空气质量指数、跳绳成绩的箱线图分析与四分位数计算，再组织讨论“四分位数是否总能四等分数据”，结合实例辨析概念本质.
设计意图：通过分层练习巩固箱线图解读与四分位数计算，结合辨析题深化对概念的理解，提升学生数据处理与思辨能力.
【限时训练】
1.9月3日上午，阅兵仪式结束后，鸽笼开启，8万羽和平鸽展翅高飞，礼赞和平.小明根据一位鸽友的40只鸽子的归巢时间作了如下箱线图.这40只鸽子中约有 只鸽子在30min之内归巢．
【答案】10
2.甲、乙两地5月份日平均气温的箱线图如图所示，从中可以发现这个月的日平均气温值方差较大的是 地(填“甲”或“乙”)．
【答案】甲
3.某连锁超市共有300家门店，公司对所有门店的月营业额(单位：万元)进行统计分析后，得到下四分位数为32万元，中位数(即第50百分位数)为40万元，上四分位数为48万元，则大约有 家门店的月营业额在48万元及以下;大约有 家门店的月营业额在32万元∼40万元内。
【答案】225；75
4.小明参加8场羽毛球比赛所得的分数由低到高为74，78，78，80，81，a，b，85，若这组数据的上四分位数为82，则小明得分的平均数为 ．
【答案】80
5.小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有A，B两所学校适合.小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数．
A：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50；
B：
(1)补全上表中缺失的数据；
(2)小明计算出A校预约人数的四分位数m25=40，m50=48，m75=48；并绘制了箱线图，请求出这B学校预约人数的四分位数，并绘制出它的箱线图；
(3)根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由．
【答案】解：(1)A学校预约人数的平均数为28+30+40+45+48+48+48+48+48+5010=43.3；
根据折线图，B学校预约人数为25的出现次数最多，因此众数为25；
将B学校预约人数从小到大顺序排列，第5个数为45，第6个数为50，因此中位数为45+502=47.5．
补全表格如下：
(2)小明计算出A校预约人数的四分位数m25=40，m50=48，m75=48；并绘制了箱线图，
B学校预约人数的四分位数为m25=25，m50=47.5，m75=65；
绘制箱线图如下：
(3)小明爸爸应该预约A学校，理由如下：
从平均数和方差看，两所学校的平均数相差不大，但A学校的方差小于B学校，即A学校预约人数比较稳定；基于四分位数或箱线图，可以发现A的中位数与B的中位数相差不大，但A学校预约人数明显比B的波动小．所以小明爸爸应该预约A学校．
师生活动：教师引导学生独立完成箱线图、四分位数、方差相关的综合练习题，核对答案后组织交流解题思路，重点分析利用箱线图和统计量进行决策的方法.
设计意图：通过梯度练习巩固四分位数、箱线图、方差的知识，强化数据解读与实际决策能力，形成完整的统计分析方法体系.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.什么是百分位数？四分位数指的是什么？
3.箱线图的构成和作用分别是什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
特色作业
主题：用箱线图分析班级数学单元测试成绩的分布特点
任务：1.收集本班某次数学单元测试的所有成绩，整理成数据列表；
2.计算这组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值；
根据五数绘制箱线图；
3.结合箱线图，分析本班成绩的分布特点（如集中趋势、波动范围、不同分数段的占比），并提出 1——2 条合理的教学建议.
要求：1.数据整理清晰，分位数计算过程完整；
2.箱线图绘制规范，标注清晰；
3.分析结合图表信息，观点明确，建议贴合实际；
4.作业以图文形式呈现，可附简要文字说明.学校
平均数
众数
中位数
方差
A
48
48
58.01
B
48.4
354.01
学校
平均数
众数
中位数
方差
A
43.3
48
48
58.01
B
48.4
25
47.5
354.01