2026年高考数学一轮复第04讲复数(专项训练)(全国通用)(学生版+解析)

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17943" 01 常考题型过关练
\l "__x0001_ 01" 题型01 复数的概念
\l "__x0001_02" 题型02 复数的分类
\l "__x0001_03" 题型03 共轭复数
\l "__x0001_ 04" 题型04复数的几何意义
题型05 复数的四则运算
\l "__x0001_06" 题型06 复数的高次方计算
\l "__x0001_ 07" 题型07 与复数模相关的轨迹（图形)问题
\l "__x0001_08" 题型08 复数范围内解方程
\l "__x0001_09" 题型09 复数的三角表示*
\l "__x0001__1" 02 核心突破提升练
\l "__x0001__2" 03 真题溯源通关练
01 复数的概念
1．复数（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用，可求值.
【详解】.
故选：A.
2．当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（ ）
A．2，0，2；B．2，0，2；
C．1+，0，1+；D．2，2，0，2，2.
【答案】A
【分析】根据的乘方的周期性，分类讨论求解即可.
【详解】由的乘方的周期性，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
综上，（为虚数单位）的所有可能值为，
故选：A
3．已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的四则运算化简得，求出虚部判断选项.
【详解】，虚部为.
故选：A
4．（多选）下面四个命题中，真命题为（ ）
A．若复数z满足则;
B．若复数，则;
C．若复数z满足，则或;
D．若复数，则
【答案】BC
【分析】根据复数的四则运算可逐项判断
【详解】对于A，设复数，则，
故，即或，当，为纯虚数时成立，故A错误；
对于B，设，，
，，即，
又，，
所以，故B正确；
对于C，，
则，
即，
解得或，即或，故C正确；
对于D，，则，例，此时，但，故D错误；
故选：BC.
02 复数的分类
5．设，则下面四个命题中，正确的是（ ）
A．一定是纯虚数B．若，则
C．D．若，则是纯虚数．
【答案】C
【分析】根据复数的含义、共轭复数的概念对选项逐一判断.
【详解】对于选项A：
设，则，
所以，
当时，，所以不一定是纯虚数.所以A错误.
对于选项B：
设，为实数，
所以.
则，令，
则，符合题意，但是.所以B错误.
对于选项C ：
设，,则，
若，则，此时；
若，则，所以成立，所以C正确.
对于选项D：
设，,则，
若，则，所以.
则，当时为纯虚数，当时，为实数，所以D错误.
故选：C.
6．（多选）若复数（i为虚数单位），其中真命题为（ ）
A．B．若，则
C．若为虚数，则也为虚数D．若，则的最大值为
【答案】ABC
【分析】A选项，；B选项，计算出，故；C选项，化简得到，由题意得，故也是虚数，C正确；D选项，根据复数的几何意义得到的几何意义为复平面内，到的距离为1的圆，从而求出的最大值.
【详解】A选项，，则，故，A正确；
B选项，若，则，，
，B正确；
C选项，，
由题意得，故也是虚数，C正确；
D选项，的几何意义为复平面内，到的距离为1的圆，
故此圆上的点到原点的距离最大值为，D错误.
故选：ABC
7．（多选）已知复数、，则（ ）
A．若，则B．若为纯虚数，则也为纯虚数
C．若，则是实数D．若，则
【答案】AC
【分析】设，根据共轭复数的定义、复数的模长公式、复数运算可判断AC选项；取，，结合复数的运算、复数的概念可判断BD选项.
【详解】对于A选项，设，若，则，
所以，A对；
对于B选项，不妨取，，则为纯虚数，
但为实数，B错；
对于C选项，设，若，则，
所以为实数，C对；
对于D选项，不妨取，，则，
但且，D错.
故选：AC.
8．（多选）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则为纯虚数D．
【答案】ACD
【分析】根据共轭复数及复数的乘法可判断；根据复数的分类可判断；根据纯虚数的定义可判断；表示点到的距离，数形结合即可判断.
【详解】，所以，
对于：，故正确；
对于：，
所以，或，或，
当时，不是实数，故错误；
对于：若，则，所以为纯虚数，故正确；
对于：对应的点表示圆上的点，对应的点，
表示点到的距离，
由图可知，故正确.
故选：.
03 共轭复数
9．（多选）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数的共轭复数为
C．若复数为纯虚数，则
D．若，为复数，则
【答案】ABD
【分析】根据负数的四则运算以及共轭复数概念可以判断A，B；对于C，假设，计算即可；对D，假设，，，，，，计算即可.
【详解】对于A，，A正确：
对于B，，其共复数为，B正确；
对于C，取，则，，C错误；
对于D，设，，，，，，则，
，D正确.
故选：ABD.
10．（多选）若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是 （ ）
A．B．的模为
C．在复平面内对应的点位于第四象限D．
【答案】ACD
【分析】利用复数的除法化简得出复数，可判断A选项；利用共轭复数的定义以及复数的模长公式可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的运算可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，，A对；
对于B选项，，则，B错；
对于C选项，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，C对；
对于D选项，，D对.
故选：ACD.
11．（多选）设是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．若，则
D．
【答案】AC
【分析】由，可得或，可判定A正确；由，可判定B不正确；由，可判定C正确；取，根据复数的运算法则，得到，可判定D不正确.
【详解】对于A中，若，可得，可得或，
所以或，所以A正确；
对于B中，例如，可得，此时不是实数，所以B不正确；
对于C中，由复数的运算法则，可得，
若，可得，所以C正确；
对于D中，取，则，且，
所以，此时，所以D不正确.
故选：AC.
12．已知复数z满足，则 ．
【答案】
【分析】应用复数的除法法则化简z，然后利用共轭复数概念求解即可.
【详解】复数z满足，则，
所以.
故答案为：
04 复数的几何意义
13．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算化简，再根据其复平面内对应的点判断即可.
【详解】
在复平面内对应的点为，在第二象限.
故选：B.
14．设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
【答案】A
【分析】由复数的几何意义及平面向量的坐标运算求解．
【详解】依题意得，，
则，
得向量所对应的复数在复平面上所对应的点为：，
则点位于第一象限，
故选：A
15．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ．
【答案】
【分析】根据复数的几何意义求解复数的模长.
【详解】因为复数对应的点的坐标是，
所以
故答案为：．
16．已知复数．
(1)求；
(2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据共轭复数的定义求，再根据复数的运算法则求结论；
（2）结合复数的几何意义求向量的坐标，再结合向量夹角求的大小.
【详解】（1）因为，所以，又，
所以
（2）依题意向量
于是有
，
为与的夹角，
，
，.
05 复数的四则运算
17．已知i为虚数单位，复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】法一：若，根据模长公式求解即可；法二：根据复数的除法运算及复数的模长公式即可求解.
【详解】法一：∵，∴.
法二：∵，∴.
故选：B.
18．若复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】借助复数运算法则计算即可得.
【详解】由，则，
则复数的虚部为.
故选：C.
19．设是虚数单位，则复数等于 ．
【答案】
【分析】利用复数四则运算法则计算出结果.
【详解】复数．
故答案为：．
20．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为 .
【答案】
【分析】由复数除法、虚部的概念即可得解.
【详解】由题意的虚部为.
故答案为：.
06 复数的高次方计算
21．复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由复数的乘方、除法得，结合虚部的概念即可得解.
【详解】因为，
所以复数的虚部为.
故选：C.
22．（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据复数的乘方运算、模的计算法则以及复数的除法法则可得结果.
【详解】由题意得
故选：A．
23．若i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．1C．D．i
【答案】A
【分析】应用复数的乘方运算化简，即可得.
【详解】由，虚部为.
故选：A
24．已知为虚数单位，设复数满足，则 .
【答案】/
【分析】利用复数的运算化简可得.
【详解】因为，故，可得，
因此，.
故答案为：.
07 与复数模相关的轨迹（图形)问题
25．（多选）设为复数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则或B．若，则的最小值为
C．若，则D．若是实系数方程的一个根，则
【答案】BD
【分析】对于A，通过反例可判断，对于B，由，确定复数在复平面上点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，即可判断，对于C，由模长公式即可判断，对于D，将代入方程，即可判断.
【详解】对于A，取，此时，故错误；
对于B，由，可知复数在复平面上点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，
所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径，即，正确；
对于C，由模长公式可得，错误；
对于D，由条件可知，
化简可得：，
所以，正确，
故选：BD
26．（多选）下列有关复数的结论正确的是（ ）
A．
B．若复数是纯虚数，则
C．若是关于的方程的一个根，则
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
【答案】BCD
【分析】由复数的有关概念即可判断A；由复数是纯虚数可得，解之即可判断B；由根据系数的关系结合一元二次方程的两根互为共轭复数的结论即可得p，q的值，则C可判断；由复数的几何意义，结合数形结合的方法即可求得D.
【详解】因为虚数不能比较大小，所以A错误；
因为复数是纯虚数，
所以，解得，故B正确；
因为是关于的方程的一个根，则另一根为，
由根与系数的关系可得，解得，
则，故C正确；
若复数满足，
由复数的几何意义可知不等式表示的范围为圆环，如下图所示：
则复数对应的点所构成的图形面积为，故D正确；
故选：BCD.
27．已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是 ．
【答案】1
【分析】首先确定复数对应点的轨迹，然后根据点到直线的距离求出最小值.
【详解】设在复平面内对应的点分别为，
因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示.
故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值，
故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1.
故答案为：1.
28．在复平面上，设点对应的复数分别为（其中为虚数单位），当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积为 ．
【答案】
【分析】求出取临界值时点的坐标,即可得到图象，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之差.
【详解】由题意可得,点在单位圆上，
则取时点的坐标取时点的坐标，
向量所扫过的图形区域的面积是的面积与扇形的面积差.

则面积为.
故答案为：.
08 复数范围内解方程
29．（多选）方程在复数集C的两个根分别为：，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据求根公式求出，再根据复数模的公式及复数运算法则，对选项进行逐一判断.
【详解】方程，判别式，
故方程的根为：.
不妨取，，
选项A：，故A错；
选项B：，，；故B对.
选项C：，，故C错.
选项D：，故D对.
故选：BD.
30．（多选）已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数，则
B．若复数，，则复数在复平面内对应的点在第一象限
C．是复数（a，）为虚数的充分不必要条件
D．若复数是关于x的实系数方程的一个根，则
【答案】ABD
【分析】求出复数的模判断A；求出复数对应的点判断B；利用充分不必要条件的定义，结合虚数的意义判断C；利用韦达定理求解判断D.
【详解】对于A，，则，A正确；
对于B，在平面内对应的点在第一象限，B正确；
对于C，是复数（a，）为虚数的充要条件，C正确；
对于D，复数是关于x的实系数方程的一个根，则该方程另一根为，
则，解得，因此，D正确.
故选：ABD
31．（多选）已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（ ）
A．B．
C．为纯虚数D．为关于的方程的另一个根
【答案】AD
【分析】根据实系数的一元二次方程的根的特征，及共轭复数、纯虚数的概念，利用复数的四则运算和模长公式即可逐一判断各选项.
【详解】对A，，，故A正确；
对C，，故C错误；
对D，又为关于的方程的一个根，故也是方程的根，即D正确；
对B，，，故B错误.
故选：AD.
32．已知关于的实系数一元二次方程.
(1)若一根为，求，的值；
(2)设，是虚数根，记，，在复平面上对应点分别为，，，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由实系数一元二次方程的一个虚数根即可得到另一虚数根，明确两根后，根据韦达定理求出，的值；
（2）解出方程的根，分别代入，，，利用复数在复平面上对应的点得到，，，再将三点坐标代入所求向量式即可.
【详解】（1）依题意可知，实系数一元二次方程的两根为，，
根据韦达定理，，解得，.
（2）若，则方程的根为，，
若，则，，则，，，
所以；
若，则，，则，，，
所以；
故.
09 复数的三角表示*
33．复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的三角形式及运算，利用复数相等可得，即可得解.
【详解】设，
则，
所以，，即，
所以
故时，，故可取，
故选：D
34．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为 ．
【答案】
【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可求得旋转后的复数，根据虚部的定义求解即可.
【详解】由题意，复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，
可得，
所以，所得的向量对应的复数虚部为.
故答案为：.
35．任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算 ．
【答案】
【分析】根据，即可根据棣莫弗定理求解.
【详解】因为，
所以
，
故答案为：．
36．如图，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．复数三角形式的乘法公式：棣莫佛提出了公式：，其中，．
(1)已知，，求的辐角的主值；
(2)复数，满足，，求；
(3)设多边形是单位圆的内接正边形，点是单位圆上任意的一点，求的值．
（参考公式：当．且时，有）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由复数的乘法运算，及三角形式即可求解；
（2）由复数三角形式的运算即可求解；
（3）设在，间的劣弧上，设，得到，令，求得，即可求解.
【详解】（1）由题意可得：
，
所以的辐角的主值为；
（2）不妨设，则，
，
，
所以，，
所以，，
所以.
（3）不失一般性，设在，间的劣弧上，设，则有：
，
，
令，显然有，
设，
则是复数的实部，
又，
所以，
故.
1．已知复数满足，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的配方法求根得，进而求解复数模长得结论．
【详解】复数满足，
即，可得，
则．
故选：B．
2．已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复数在复平面内的几何意义，通过数形结合，即可得到判断.
【详解】
利用数形结合，可知：将绕点O按顺时针方向旋转，
得到对应的复数是,
故选：A.
3．已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（ ）
A．1B．9C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解.
【详解】由题意可知：，
可得，
所以向量对应的复数为，
所以向量对应复数的虚部为.
故选：B.
4．（多选），，为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若是关于x的方程（p，）的一个根，则
D．若，则，中至少有一个是0
【答案】BCD
【分析】举反例可判断A；设，直接计算可判断B；利用韦达定理求解可判断C；利用反证法即可判断D.
【详解】对A，记，则，满足，
但，不满足，A错误；
对B，记，
若，则，
，
所以，B正确；
对C，若是关于x的方程（p，）的一个根，
则也是该方程的根，
由韦达定理得，解得，
所以，C正确；
对D，同B设，则，
假设，都不等于0，
由，则，则，
整理得，又，所以，
由可得，整理得，所以，
与假设矛盾，故假设不成立，即，中至少有一个是0，D正确.
故选：BCD
5．（多选）欧拉公式为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若在复数范围内关于的方程的两根为，其中，则（ ）
A．复数对应的点位于第二象限B．
C．D．若复数满足，则的最大值为
【答案】BCD
【分析】先根据欧拉公式得出，由复数对应点的特征判断选项A；代入方程（a，），根据复数相等的充要条件得出，；根据韦达定理可得出，进而可判断选项BC；由复数的几何意义及点与圆的位置关系判断选项D.
【详解】因为，所以，则复数对应的点位于第一象限，故选项A不正确；
又因为在复数范围内关于x的方程（a，）的两根为，，
所以，且，即，
则，解得：.所以，
，故选项BC都正确；
由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，
可看作单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为，
则该单位圆上的点到点的距离最大值为，故选项D正确.
故选：BCD.
6．（多选）已知复数在复平面内对应的点分别为和，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为B．
C．若，则D．
【答案】ACD
【分析】根据几何意义即可求解A，根据复数的除法，乘法运算，以及模长公式，即可求解BCD.
【详解】由题意可得，故A正确，
，故B错误，
，则，
又，故，C正确，
，可得，
，故，D正确，
故选：ACD
7．已知复数；
(1)求；
(2)若在复平面内的点分别是对应向量的坐标，且，求的值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据共轭复数定义得出，计算计算模长即可；
（2）先应用向量坐标线性运算得出坐标，再根据向量垂直的坐标运算求参即可.
【详解】（1）
（2）由题设知：
.
8．代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根.由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元次复系数多项式方程有n个复数根（重根按重数计）.
(1)在复数集中解方程：；
(2)写出一个以为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程）
(3)已知一元十次实系数多项式满足，求的值.
【答案】(1)，，，
(2)（答案不唯一）
(3)
【分析】（1）将方程因式分解得，再利用一元二次方程求根公式进行求解即可.
（2）根据代数基本定理可写出满足条件的一元六次多项式方程，化简可得结果；
（3）设，分析的根，根据代数基本定理表示出，令列方程求解a，最后令求解.
【详解】（1）由题意得，，
即，解得、1或，
所以方程在复数集中的解为，，，.
（2）以为根的一元六次实系数多项式为：
所以，
所以，
所以，
所以以为根的一个一元六次实系数方程为：
.
（3）设，
因为是一元十次实系数多项式，所以是一元十一次实系数多项式，
因为，所以，
所以有11个根，
根据代数基本定理，得，
即，
令，则，
所以，解得.
令，得，
所以，解得.
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得，，故.
故选：D
2．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．10D．
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由，则.
故选：A
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若，则.
故选：C.
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C.
5．（2023·全国乙卷·高考真题）（ ）
A．1B．2C．D．5
【答案】C
【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：C.
6．（2023·全国甲卷·高考真题）（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
7．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（ ）
A．-1B．0 C．1D．2
【答案】C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为，
所以，解得：．
故选：C.
8．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：B.
9．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ．
【答案】
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】.
故答案为：.