2025高考数学一轮复习-第26讲-复数-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-第26讲-复数-专项训练【含解析】，共6页。试卷主要包含了已知复数z＝a＋bi，则，已知i是虚数单位，则等内容，欢迎下载使用。

常考常用结论
1．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则
(1)当b＝0时，z∈R；当b≠0时，z为虚数；当a＝0，b≠0时，z为纯虚数．
(2)z的共轭复数z＝a－bi.
(3)z的模|z|＝a2+b2.
2．已知i是虚数单位，则
(1)(1±i)2＝±2i，1+i1−i＝i，1−i1+i＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
保 分 题
1.[2024·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
2．[2024·全国甲卷]若z＝1＋i，则|iz＋3z|＝( )
A．45 B．42
C．25 D．22
3．[2024·全国乙卷]已知z＝1－2i，且z＋az＋b＝0，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
提 分 题
例1 (1)[2024·福建漳州一模]已知z＝|3i－1|＋11+i，则在复平面内z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)[2024·山东潍坊二模](多选)若复数z1＝2＋3i，z2＝－1＋i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是( )
A．z1z2∈R
B.z1·z2＝z1·z2
C．若z1＋m(m∈R)是纯虚数，那么m＝－2
D．若z1，z2在复平面内对应的向量分别为OA，OB(O为坐标原点)，则|AB|＝5
听课笔记：
【技法领悟】
复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．
巩固训练1
1.[2024·山东泰安二模]已知复数z＝3−i1−2i，i是虚数单位，则复数z－4在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．[2024·河北保定二模](多选)已知复数z满足方程(z2－4)(z2－4z＋5)＝0，则( )
A．z可能为纯虚数
B．方程各根之和为4
C．z可能为2－i
D．方程各根之积为－20
微专题2 平面向量
常考常用结论
1．平面向量的两个定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
2．平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，θ为a与b的夹角．
(1)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4)|a|＝a·a＝x12+y12 .
(5)cs θ＝a·bab＝x1x2+y1y2x12+y12 x22+y22 .
保 分 题
1.△ABC中，E是边BC上靠近B的三等分点，则向量AE＝( )
A．13AB+13AC B．13AB+23AC
C．23AB+13AC D．23AB+23AC
2．[2024·全国乙卷]已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
3．[2024·全国甲卷]已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝________．
提 分 题
例2 (1)[2024·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，若BM＝a，BN＝b，则BD＝( )
A．34a＋23b B．23a＋23b
C．34a＋34b D．23a＋34b
(2)[2024·山东济宁一模]等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则PA·PB+PB·PC的最大值为( )
A．4 B．7
C．8 D．11
听课笔记：
【技法领悟】
求解向量数量积最值问题的两种思路
1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．
2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．
巩固训练2
1.[2024·山东济南二模]在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝( )
A．12AB+12AD B．34AB+12AD
C．34AB+14AD D．12AB+34AD
2．[2024·福建漳州二模]已知△ABC是边长为2的正三角形，P为线段AB上一点(包含端点)，则PB·PC的取值范围为( )
A．[－14，2] B．[－14，4]
C．[0，2] D．[0，4]
参考答案与解析
微专题1 复数
保分题
1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝2－2i＋4＝6－2i.故选D.
答案：D
2．解析：因为z＝1＋i，所以z＝1－i，所以iz＋3z＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，所以|iz＋3z|＝|2－2i|＝22+−22＝22.故选D.
答案：D
3．解析：由z＝1－2i可知z＝1＋2i.由z＋az＋b＝0，得1－2i＋a(1＋2i)＋b＝1＋a＋b＋(2a－2)i＝0.根据复数相等，得1+a+b=0，2a−2=0，解得a=1，b=−2.故选A.
答案：A
提分题
[例1] 解析：(1)∵z＝|3i－1|＋11+i＝ 32+−12+1−i1−i2＝2＋1−i2＝52−12i，
∴复平面内z对应的点(52，－12)位于第四象限．
(2)对于A，z1z2＝2+3i−1+i＝2+3i−1−i−1+i−1−i＝1−5i2＝12−52i，A错误；
对于B，∵z1·z2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i，∴z1·z2＝－5＋i；又z1·z2＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i，∴z1·z2＝z1·z2，B正确；
对于C，∵z1＋m＝2＋m＋3i为纯虚数，∴m＋2＝0，解得：m＝－2，C正确；
对于D，由题意得：OA＝(2，3)，OB＝(－1，－1)，∴AB＝OB−OA＝(－3，－4)，∴|AB|＝9+16＝5，D正确．
答案：(1)D (2)BCD
[巩固训练1]
1．解析：z＝3−i1−2i＝3−i1+2i1−2i1+2i＝5+5i5＝1＋i，则z－4＝1－i－4＝－3－i，对应的点位于第三象限．故选C.
答案：C
2．解析：由(z2－4)(z2－4z＋5)＝0，得z2－4＝0或z2－4z＋5＝0，
即z2＝4或(z－2)2＝－1，
解得：z＝±2或z＝2±i，显然A错误，C正确；
各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B正确；
各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D正确．
答案：BCD
微专题2 平面向量
保分题
1．解析：因为点E是BC边上靠近B的三等分点，所以BE＝13BC，
所以AE＝AB+BE＝AB+13BC＝AB+13(BA+AC)＝23AB+13AC.故选C.
答案：C
2．解析：将|a－2b|＝3两边平方，得a2－4a·b＋4b2＝9.因为|a|＝1，|b|＝3，所以1－4a·b＋12＝9，解得a·b＝1.故选C.
答案：C
3．解析：由a⊥b，可得a·b＝(m，3)·(1，m＋1)＝m＋3m＋3＝0，所以m＝－34.
答案：－34
提分题
[例2] 解析：(1)如图所示，设AB＝m，AD＝n，且BD＝xa＋yb，
则BD＝xa＋yb＝x(12n－m)＋y(n－12m)＝(12x＋y)n－(x＋12y)m，
又因为BD＝n－m，
所以12x+y=1x+12y=1，解得x＝23，y＝23，所以BD＝23a＋23b.
故选B.
(2)如图，等边三角形ABC，O为等边三角形ABC的外接圆的圆心，以O为原点，AO所在直线为y轴，建立直角坐标系．因为AO＝2，所以A(0，2)，设等边三角形ABC的边长为a，则
asinA＝asin60°＝2R＝4，所以a＝23，则B(－3，－1)，C(3，－1).
又因为P是该圆上的动点，所以设P(2cs θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)，
PA＝(－2cs θ，2－2sin θ)，PB＝(－3－2cs θ，－1－2sin θ)，PC＝(3－2cs θ，－1－2sin θ)，PA·PB+PB·PC＝－2cs θ(－3－2cs θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－3－2cs θ)(3－2cs θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋23cs θ＝4＋4sin (θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin (θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋π3)＝1时，PA·PB+PB·PC的最大值为8.故选C.
答案：(1)B (2)C
[巩固训练2]
1．解析：
取AD中点N，连接MN，∵AB＝－2CD，∴AB∥CD，|AB|＝2|CD|，
又M是BC中点，∴MN∥AB，且|MN|＝12(|AB|＋|CD|)＝34|AB|，
∴AM＝AN+NM＝12AD+34AB，故选B.
答案：B
2．解析：以AB中点O为坐标原点，OB，OC正方向为x，y轴可建立如图所示平面直角坐标系，
则A(－1，0)，B(1，0)，C(0，3)，
设P(m，0)(－1≤m≤1)，∴PB＝(1－m，0)，PC＝(－m，3)，
∴PB·PC＝m2－m＝(m－12)2－14，
则当m＝12时，(PB·PC)min＝－14；当m＝－1时，(PB·PC)max＝2；
∴PB·PC的取值范围为[－14，2].故选A.