2026年高考数学一轮复易错易混04导数及其应用(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc11478" 01 错点扫描・易错建模夯基石 PAGEREF _Tc11478 \h 1
\l "_Tc1178" 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 PAGEREF _Tc1178 \h 4
\l "_Tc22425" 易错归纳01 对导数的定义理解不到位（★★★） PAGEREF _Tc22425 \h 4
\l "_Tc23337" 易错归纳02 混淆复合函数的求导法则（★★★） PAGEREF _Tc23337 \h 5
\l "_Tc30853" 易错归纳03 忽略切点的位置（★★★★★） PAGEREF _Tc30853 \h 6
\l "_Tc3898" 易错归纳04 利用导数求函数单调区间忽略定义域（★★★★） PAGEREF _Tc3898 \h 8
\l "_Tc2545" 易错归纳05 极值（点）问题忘记检验（★★★★★） PAGEREF _Tc2545 \h 8
\l "_Tc31677" 易错归纳06 单调函数与导函数间的关系（★★★★） PAGEREF _Tc31677 \h 9
\l "_Tc25908" 易错归纳07 导数中利用数形结合解决零点问题（★★★★★） PAGEREF _Tc25908 \h 10
\l "_Tc32299" 易错归纳08 导数中求参数（式子）的最值（范围）问题（★★★★★） PAGEREF _Tc32299 \h 11
\l "_Tc29001" 03 实战检测・易错通关验成效 PAGEREF _Tc29001 \h 13
一、导数的概念和几何性质
1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或．
2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
二、导数的运算
1、求导的基本公式
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为 ：
【常用结论】
①在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
②过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
三、单调性基础问题
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
2、已知函数的单调性问题
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
3、讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；
（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间；
四、函数的极值
1、函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
五、函数的最值
1、函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.


易错归纳01 对导数的定义理解不到位
【易错陷阱·避错攻略】
1．已知函数，则（ ）
A．B．C．-6eD．
2．如图，圆C和直角三角形AOB的两边相切，射线OP从OA处开始，绕点O匀速旋转(到OB处为止)时，所扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三下·上海·月考）已知，则 .
4．已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：min）.当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为 ℃/min.

易错归纳02 混淆复合函数的求导法则
【易错陷阱·避错攻略】
1．函数在处的瞬时变化率为（ ）
A．B．1C．6D．12
2．一个弹簧振子做简谐运动，其位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为，该弹簧振子在时的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
3．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知满足，则在处的导数为 .
5．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．

易错归纳03 忽略切点的位置
【易错陷阱·避错攻略】
1．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·四川·三模）已知直线是曲线的一条切线，则（ ）
A．1B．2C．D．
3．（24-25高三上·安徽·期末）过点作曲线的切线l，则l的斜率为（ ）
A．1B．C．D．
4．（2025·广西南宁·三模）过点的直线l与曲线相切于点B，则（ ）
A．1B．C．2D．
5．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·陕西·月考）已知函数的图象在点处的切线方程为，则 .
7．（24-25高三上·福建漳州·月考）若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则 .
8．（2025·陕西西安·二模）若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为 .
9．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）若过点的直线是曲线和曲线的公切线，则 ．

易错归纳04 利用导数求函数单调区间忽略定义域
【易错陷阱·避错攻略】
1．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．，D．
2．函数在处取得极大值，则的单调增区间为（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的递增区间是 ；递减区间 ．
4．函数的严格递减区间是 .
5．已知函数，则的单调减区间为 ．
6．函数的单调递增区间为 .

易错归纳05 极值（点）问题忘记检验
【易错陷阱·避错攻略】
1．已知函数 在 时有极值 ，则 ．
2．若函数在处有极小值，则等于 ．
3．已知是函数的极值点，则 ．
4．已知函数在处取得极大值，则实数的值为 ．
5．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 .
6．（2025·江苏徐州·模拟预测）若函数在处取得极小值，则a的值为 ．

易错归纳06 单调函数与导函数间的关系
【易错陷阱·避错攻略】
1．若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
2．已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数是增函数，则实数的最小值为（ ）
A．-4B．-2C．0D．2
4．已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

易错归纳07 导数中利用数形结合解决零点问题
【易错陷阱·避错攻略】
1．函数的图象与直线恰有两个公共点，则（ ）
A．或B．或C．或D．或
2．若函数有极值点，，且则关于x的方程的不同实根个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．设函数.若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是（ ）
A．{或}B．
C．{或D．
4．若函数的图象与的图象恰好有四个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．对任意的实数，关于的方程均有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．

易错归纳08 导数中求参数（式子）的最值（范围）问题
1．已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（浙江省部分学校2024-2025学年高三下学期5月联考数学试题）函数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数的最小值为（ ）
A．-1B．1C．D．
6．（2024·陕西·一模）已知函数，对于，不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．若不等式有解，则实数的取值范围为 .
8．已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是 .
9．已知不等式恒成立，其中，则的最大值为 ．
10．若存在，使得不等式成立，则正数的取值范围是 .
11．（24-25高三下·山东青岛·月考）已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 .
12．当时，不等式恒成立，则实数的最小整数为 ．
13．（23-24高三上·安徽合肥·期末）关于 的不等式恒成立，则实数 的最大值为 ．
1．（24-25高三下·江苏苏州·月考）已知，的值为（ ）
A．4B．2C．8D．16
2．（24-25高三上·河北邢台·期末）向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．0
6．已知函数.若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·陕西安康·一模）若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．设函数若函数的图象与直线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2025·湖北·三模）若不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
13．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
14．（24-25高三下·江苏盐城·月考）已知函数有两个零点，则实数a的最小整数值是（ ）
A．-1B．1C．2D．3
15．（23-24高三上·河北·期末）设实数，若对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
16．（23-24高三下·湖北襄阳·月考）函数的单调增区间是 .
17．函数的单调递增区间为 ．
18．已知函数在处取得极大值，则 .
19．已知曲线在处的切线方程为，则 ．
20．若曲线的切线为，则 ．
21．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知函数，使得成立，则实数的最大值为 ．
22．（2025·黑龙江·模拟预测）若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
23．已知函数，若对任意，存在，使成立，则的取值范围是 .
24．（24-25高三上·四川成都·月考）若过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围是 ．
25．正实数，满足，则的最大值为 ．
基本初等函数
导函数
（为常数）
（1），要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应；
（2）的代数意义表示函数在处的瞬时变化率；
（3）的几何意义表示曲线在处切线的斜率．
（1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即；
（2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.
1、利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
（3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
2、利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．
3、求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
（1）注意曲线上横坐标的取值范围；
（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．
（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数的单调区间；
（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.
（1）①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
（2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
1、可导函数f(x)在某区间上单调
（1）可以转化为在给定区间上恒成立；
（2）给定的区间是原函数单调递增区间（或递减区间）的子区间，利用集合间关系求解
2、可导函数f(x)在某区间上不单调
（1）可转化为f'(x)在给定区间上有正有负，即在给定区间上有实根（必要条件），且有不等实根（充分条件）；
（2）可以通过求函数值域的方法解决.
（3）可以利用根的分布方法解决.
3、可导函数f(x)在某区间上存在单调区间，转化为（或）有解问题.
4、已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：
（1）熟悉基本函数的单调性。
（2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D.
注意：其中 .
（3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来.
1、利用导数研究函数的图像变化时一定要区分图像趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数.
2、判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法：
（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；
（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；
（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断．
3、已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法：
方法1：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．
方法3：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．