2026年高考数学一轮复易错易混08空间向量与立体几何(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复易错易混08空间向量与立体几何(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，文件包含第一单元天气单元测试-小学科学三级上册教科版2024答案解析docx、第一单元天气单元测试-小学科学三级上册教科版2024docx、第一单元天气知识点梳理-小学科学三级上册教科版2024docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc11478" 01 错点扫描・易错建模夯基石 PAGEREF _Tc11478 \h 1
\l "_Tc1178" 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 PAGEREF _Tc1178 \h 6
\l "_Tc22425" 易错归纳01 斜二测画法规则掌握不牢（★★★） PAGEREF _Tc22425 \h 6
\l "_Tc23337" 易错归纳02 线面位置关系的判断错误（★★★★） PAGEREF _Tc23337 \h 8
\l "_Tc30853" 易错归纳03 平行、垂直中的性质定理不熟悉（★★★★★） PAGEREF _Tc30853 \h 9
\l "_Tc3898" 易错归纳04 忽略异面直线夹角的范围（★★★） PAGEREF _Tc3898 \h 12
\l "_Tc2545" 易错归纳05 求解线面角时混淆夹角的概念（★★★★★） PAGEREF _Tc2545 \h 13
\l "_Tc31677" 易错归纳06 已知线面角、二面角求其他量（找不到夹角的位置）（★★★★★） PAGEREF _Tc31677 \h 14
\l "_Tc29001" 03 实战检测・易错通关验成效 PAGEREF _Tc29001 \h 17
一、斜二测画法
1、空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.
直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.
2、水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）
（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或）
（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.
（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.
（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.
方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.
3、空间几何体的直观图的绘制方法
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
4、斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
二、线面、面面平行的判定和证明
1、线面平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那 么该直线与此平面平行
符号表述：
（2）利用面面平行性质定理：面面平行，面内的一条线与另一个面平行
符号语言：
2、面面平行判定定理：如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
符号表述：
三、线面、面面性质定理
1、线面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
符号表述：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
2、面面平行性质定理：两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
符号语言
四、线面、面面垂直的判定和证明
1、线线垂直：
①等腰/边三角形：取中点出垂直
②特殊四边形：菱形对角线互相垂直；正方形；长方形；直角梯形
③勾股定理
2、线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
简记：线线垂直线面垂直
符号语言：，，，，
3、面面垂直判定定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)
符号（图形）语言:，
五、线面、面面垂直垂直性质定理：
1、线面垂直性质定理：
①如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.
符合语言：，.
②垂直于同一个平面的两条直线平行.
符合语言：，
2、面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
符号（图形）语言：，， .
六、空间中的角
1、异面直线所成角
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
②范围：
= 3 \* GB3 ③求法：
1）平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
2）向量法：设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：① ②
2、线面角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
= 3 \* GB3 ③求法：
1)常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
2)向量法：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则．
3、二面角
（1）定义：一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角
（2）范围：
（3）求法：传统法5个+向量法
①定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．

②向量法
设是二面角的两个半平面的法向量，
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）


易错归纳01 斜二测画法规则掌握不牢
【易错陷阱·避错攻略】
1．正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图）.则原图形的周长是（ ）
A．12B．24C．D．
2．用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为10，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（ ）

A．2B．4C．D．8
4．（2025·陕西西安·二模）（多选题）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）

A．B．
C．四边形的面积为D．四边形的周长为

易错归纳02 线面位置关系的判断错误
【易错陷阱·避错攻略】
1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）设是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则与相交
2．（25-26高三上·重庆渝北·月考）已知是不同的直线，是不同的平面，则下面命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·天津·二模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．，，，B．，，
C．，D．，
4．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知两条不同的直线，两个不同的平面，于是可得到（ ）
A．若，则.
B．若，，则.
C．若，则.
D．若是一对异面直线，且，则.
5．（25-26高三上·天津河北·开学考试）设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，那么

易错归纳03 平行、垂直中的性质定理不熟悉
【易错陷阱·避错攻略】
1．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面平面，，点是棱上的一点．

(1)记平面与平面的交线为，求证：．
2．在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
(1)求证：；
(2)若为的中点，过的平面交平面于，求证：平面.
3．如图，在四棱柱中，底面和侧面均是正方形，是上一点，且.
(1)求证：；
(2)求证：平面.
4．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）如图，在三棱锥中，平面，底面是直角三角形，，是棱的中点，是的重心，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
5．（2025·河北·一模）如图，在几何体中，底面为平行四边形， 平面⊥平面.

(1)证明:四边形为菱形;
6．已知四边形是直角梯形，，，， ，E，F分别为CD，BC的中点（如图1），以AE为折痕把折起，使点D到达点S的位置且平面平面（如图2）．

(1)求证：平面；

易错归纳04 异面直线夹角的范围
【易错陷阱·避错攻略】
1．在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，为圆锥底面直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（ ）
A．B．C．D．
3．在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为 .
4．（2025·湖北武汉·三模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 .
5．如图，将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，若取图中相关线段的中点进行转化，则可求得直线与所成的角为 .

易错归纳05 求解线面角时混淆夹角的概念
【易错陷阱·避错攻略】
1．（25-26高三上·重庆南岸·月考）如图所示，在六棱锥中，平面，六边形是边长为3的正六边形，，是上靠近点的三等分点
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
2．如图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起.使点到达点的位置，且.
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
3．在菱形中，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
4．如图，四棱柱 中，平面底面是平行四边形，侧棱，分别是 和的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证: 平面平面；
(3)求直线与平面所成角的正切值.
易错归纳06 已知线面角、二面角求其他量（找不到夹角的位置）
【易错陷阱·避错攻略】
1．已知棱锥的底面五边形中，ABCD为边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，．
(1)在线段PB上找一点G，使得平面∥平面PDE，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，二面角为，求CG与平面PAC所成角的正弦值．
2．（2025·山东威海·三模）如图，在直平行六面体中，点在棱上．
(1)若平面，证明：；
(2)若，直线与平面所成的角为，平面与平面所成角的正弦值为，求．
3．（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）如图，三棱锥的底面和侧面都是等边三角形，且平面⊥平面，点P在侧棱上．
(1)当P为侧棱的中点时，求证：⊥平面PBC；
(2)若平面与平面夹角的大小为，求的值．
4．如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，分别是棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)若二面角为；
（i）证明：平面平面；
（ii）棱上是否存在点，使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
5．如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°．
(1)若N为棱的中点，且满足平面，求的值；
(2)若，求三棱锥的体积；
(3)求二面角的正切值的取值范围．

1．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
2．（24-25高三上·上海·开学考试）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若是异面直线，，则
D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则
3．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）给出下列四个判断：
①若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交．
②对平面，和直线，若，，则．
③对平面，和直线，若，，则．
④对直线，和平面，若，，且过平面内一点，则．
其中正确的判断有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，一个水平放置的平面图形的直观图为矩形，其中，则原平面图形的周长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·四川成都·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是 .
6．如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为 .
7．已知正方体，、分别为和上的点，且，.
(1)求证：；
8．（2024·山东威海·二模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
9．如图，△ABC是等边三角形，直线EA⊥平面ABC，直线DC⊥平面ABC，且EA＝2DC＝，F是线段EB的中点．
(1)求证：平面ABC；
(2)若直线CF与平面ABC所成角为45°，求平面CEF与平面DEF夹角的余弦值．
10．如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2，
(1)证明：；
(2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值；
(3)在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
11．如图，在三棱台中，侧面底面，，，，，．

(1)求的长．
(2)求直线与平面所成角的正切值．
12．（2025·云南·三模）如图，在四棱柱中，底面为菱形，，AC与BD的交点为O，．
(1)求证：；
(2)若，，，求与平面所成角的余弦值．
13．如图1，在中，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
14．如图，在三棱柱中，，，平面平面，平面平面，点，分别在棱，上，且.
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值.
15．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，在多面体中，为等边三角形，，，为中点．
(1)求证：、、、四点共面；
(2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
16．（25-26高三上·广西·开学考试）如图，在四边形中，，，是的中点，将沿折起至的位置，使得二面角的大小为，，分别是，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
17．如图，三棱柱的所有棱长均为2，，M为的中点，．
(1)求证：平面平面ABC；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图1所示的是等腰梯形，，，，DE⊥AB于E点，现将沿直线DE折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示．
(1)若，求证：PE⊥平面；
(2)在（1）的条件下，若点P，E，C，D四点在一个球的球面上，求此球的表面积与体积；
(3)若直线PE与平面所成的角为，求二面角的大小．
19．如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点．
(1)证明：．
(2)求二面角的余弦值．
(3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
2、斜二测画法要注意： ①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半.
空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型.解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断.
1、线面平行性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
线∥面线∥线
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
2、面面平行性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
面//面
线面
如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
3、线面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行

_
b
_
a
垂直与平行的关系
垂直于同一直线的两个平面平行
_
线垂直于面的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
4、面面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a
求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，
所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cs|.
注：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.
一、直线和平面所成的角
1、有关概念：
（1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA
（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A
（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，
过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，
图中斜线PA在平面α上的射影为AO
2、直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.
（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
3、取值范围：[0°，90°]
二、二面角
1、二面角
（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面．
（2）图形语言：
（3）符号语言：二面角或或或.
2、二面角的平面角
若有①；②，；③，，则二面角的平面角是．
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.