易错易混06 平面向量与复数（复习讲义）2026年高考数学一轮复习讲练测（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc11478" 01 错点扫描・易错建模夯基石 PAGEREF _Tc11478 \h 1
\l "_Tc1178" 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 PAGEREF _Tc1178 \h 1
\l "_Tc22425" 易错归纳01 忽略向量共线时的两种情况（★★★★） PAGEREF _Tc22425 \h 6
\l "_Tc23337" 易错归纳02 忽略平面向量夹角的范围与方向性（★★★★） PAGEREF _Tc23337 \h 7
\l "_Tc30853" 易错归纳03 投影向量的求法（★★★★★） PAGEREF _Tc30853 \h 8
\l "_Tc3898" 易错归纳04 平面向量中的三角形“四心”问题（★★★★） PAGEREF _Tc3898 \h 9
\l "_Tc2545" 易错归纳05 复数的实部、虚部等基本概念混淆（★★★★★） PAGEREF _Tc2545 \h 10
\l "_Tc31677" 易错归纳06 复数的几何意义应用错误（★★★） PAGEREF _Tc31677 \h 11
\l "_Tc29001" 03 实战检测・易错通关验成效 PAGEREF _Tc29001 \h 11
一、向量的线性运算和向量共线定理
1、向量的线性运算
2、共线向量定理
向量与共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得.
共线向量定理的主要应用：
(1)证明向量共线：对于非零向量，，若存在实数，使，则与共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
3、平面向量线性运算问题的求解策略：
(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．
二、平面向量的数量积
1、平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积记作，即=
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
2、平面向量数量积的几何意义
投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，eq \(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq \(OB,\s\up6(→))表示向量b，过点A作eq \(OB,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量eq \(OA1,\s\up6(→))的变换称为向量a向向量b投影，向量eq \(OA1,\s\up6(→))称为向量a在向量b上的投影向量
向量a在向量b上的投影向量为(|a|csθ)eq \f(b,|b|).
三、数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；②；③
四、数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．
⑤．
五、数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
六、三角形的重心
1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、
、，，则有.
七、三角形的外心
1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；
2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或
；
八、三角形的内心
1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心
2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等
②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
在平面向量的应用：若点是△的内心，则有
九、三角形的垂心
1、定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；
在平面向量的应用：若是△的垂心，则或
十、复数的概念
1、复数集
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
2、复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
3、复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
4、复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
十一、复数的几何意义
1、复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
2、复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
3、复数的模
①向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
②复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；

十二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数代数形式的加法运算及其几何意义
（1）复数的加法法则
（2）复数加法的几何意义
如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：
，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.
2、复数代数形式的减法运算及其几何意义
（1）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
（2）复数减法的几何意义

复数 向量


易错归纳01 忽略向量共线时的两种情况
【易错陷阱·避错攻略】
1．与向量平行的单位向量为（ ）
A．B．
C． 或D．
2．已知，与同向且，则（ ）
A．B．或
C．或D．
3．已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A．1B．C．1或D．或
4．已知向量不共线，向量与共线，则 .
5．设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数 ．

易错归纳02 忽略平面向量夹角的定义与方向性
【易错陷阱·避错攻略】
1．（24-25高三上·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）若向量 ，若与 夹角为钝角，则 的可能取值为（ ）
A．1B．0C．D．
3．（24-25高三上·广东·月考）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ．
5．在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．

易错归纳03 投影向量的求法
【易错陷阱·避错攻略】
1．（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·陕西咸阳·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·江西南昌·模拟预测）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知平面向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）在中，，为边上的中线，为的中点，在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．D．

易错归纳04 平面向量中的三角形“四心”问题
【易错陷阱·避错攻略】
1．点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（ ）
A．重心、外心、内心、垂心B．外心、重心、内心、垂心
C．重心、垂心、外心、内心D．外心、重心、垂心、内心
2．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．若P为的重心，则B．若P为的外心，则
C．若P为的垂心，则D．若P为的内心，则
3．（多选题）已知P为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若P为的垂心，，则
B．若P为锐角的外心，且，则
C．若P为的重心，则
D．若，则点P的轨迹经过的内心
4．（多选题）设点，，，分别为三角形的重心､垂心､外心和内心，则下列结论正确的是（ ）
A．；
B．若且，则；
C．若，，则；
D．若，则．
5．（多选题）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则点是的垂心
B．若，则
C．若，则动点的轨迹经过的内心
D．若，则动点的轨迹经过的外心

易错归纳05 复数的实部、虚部等基本概念混淆
【易错陷阱·避错攻略】
1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知复数z满足（为虚数单位），则z的虚部是（ ）
A．B．0C．1D．
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·江西新余·模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于实轴上，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）（多选题）已知复数，则（ ）
A．若复数z为实数，则
B．若复数z为纯虚数，则
C．当时，
D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
5．（2025·天津静海·三模）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 .

易错归纳06 复数的几何意义应用错误
【易错陷阱·避错攻略】
1．（2025·河南许昌·三模）已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．设复数满足，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ．
6．已知复数，满足且，则对于任意的复数， 的最小值为 ．

1．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知复数满足（i为虚数单位），则的实部与虚部和为（ ）
A．0B．C．D．2
2．（2025·山东泰安·模拟预测）复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（ ）
A．B．0C．1D．2
4．下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·广东佛山·三模）复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（ ）
A．17B．C．13D．
6．（2025·湖北·模拟预测）复数在复平面内对应的点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·广西·三模）已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为（ ）
A．B．C．3D．或3
9．（24-25高三上·安徽马鞍山·月考）已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
11．（24-25高三下·山东泰安·月考）若向量在向量上的投影向量为，且，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2025·河南·三模）在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
13．已知O，P，N在所在平面内，满足，且，则点P，O，N依次是的（ ）
A．外心，垂心，重心B．重心，外心，内心
C．垂心，外心，重心D．外心，重心，内心
14．设是复数且，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
15．（多选题）已知点是内的一点，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点是的外心
B．若，则动点的轨迹一定通过的重心
C．若，则点是的垂心
D．若E，F，G分别为AB，BC，AC的中点，且，，则的最大值为
16．（多选题）在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（ ）
A．若为的外心，且，则
B．若为的内心，，，（m，），则
C．若为的重心，，则
D．若为的外心，且到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则
17．已知、是两个不平行的向量，，，且，则k的值为 .
18．若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 .
19．设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则 ．
20．若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是 .
21．（24-25高三下·海南海口·月考）知，，，则在上的投影向量是 ．（用坐标表示）
22．已知复数z满足，则的取值范围为 ．运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则平行四边形法则
①交换律
②结合律
减法
求与的相反向量的和的运算叫做与的差
三角形法则
数乘
求实数与向量的积的运算
（1）
（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；
当时，
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
(当且仅当时等号成立)
处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情况.
1、在求解两个向量的夹角时，一定要明确两向量夹角的定义的前提是两向量的起点要重合.
2、平面向量夹角的范围是，在考虑向量的夹角时，要考虑两向量同向（夹角为0），两向量反向（夹角为）．
向量数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影数量与另一个向量的模的乘积，注意在方向上的投影向量为，其实质为投影数量与单位向量的数乘，在考查中我们常常搞混两者，解题是要注意谁在谁上的投影，而不能颠倒顺序.
1、重心. 若点是的重心，则0或（其中为平面内任意一点）.反之，若0，则点是的重心.
2、垂心. 若是的垂心，则或.反之，若，则点是的垂心.
3、内心. 若点是的内心，则有=0.反之，若=0，则点是的内心.
4、外心. 若点是的外心，则=0或.反之，若，则点是的外心.
1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
2、复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝z；③z∈R⇔z2≥0
3、复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋z＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0
复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.