2026年高考数学一轮复易错易混09直线与圆、圆锥曲线(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复易错易混09直线与圆、圆锥曲线(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，文件包含第一单元天气单元测试-小学科学三级上册教科版2024答案解析docx、第一单元天气单元测试-小学科学三级上册教科版2024docx、第一单元天气知识点梳理-小学科学三级上册教科版2024docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc11478" 01 错点扫描・易错建模夯基石 PAGEREF _Tc11478 \h 1
\l "_Tc1178" 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 PAGEREF _Tc1178 \h 5
\l "_Tc22425" 易错归纳01 两平行线之间的距离公式忽略系数（★★★★） PAGEREF _Tc22425 \h 5
\l "_Tc23337" 易错归纳02 忽略直线过原点截距为0（★★★★） PAGEREF _Tc23337 \h 6
\l "_Tc30853" 易错归纳03 处理直线与圆的位置关系忘记对斜率分类讨论（★★★★★） PAGEREF _Tc30853 \h 8
\l "_Tc3898" 易错归纳04 求轨迹方程没有考虑限制条件（★★★★★） PAGEREF _Tc3898 \h 10
\l "_Tc2545" 易错归纳05 圆锥曲线定义理解不到位（★★★★） PAGEREF _Tc2545 \h 14
\l "_Tc31677" 易错归纳06 忽略圆锥曲线焦点的所在位置（★★★★） PAGEREF _Tc31677 \h 17
\l "_Tc25908" 易错归纳07 离心率的取值范围问题（★★★★★） PAGEREF _Tc25908 \h 20
\l "_Tc32299" 易错归纳08 直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全面（★★★★★） PAGEREF _Tc32299 \h 24
\l "_Tc29001" 03 实战检测・易错通关验成效 PAGEREF _Tc29001 \h 28
一、两条平行线间的距离
已知是两条平行线，求间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设，则与之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
二、直线方程的五种形式
三、直线与圆相交
记直线被圆截得的弦长为的常用方法
1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
2、代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
四、直线与圆相切
1、圆的切线条数
①过圆外一点，可以作圆的两条切线
②过圆上一点，可以作圆的一条切线
③过圆内一点，不能作圆的切线
2、过一点的圆的切线方程（）
①点在圆上
步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则
步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点）
②点在圆外
记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出
（注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为）
3、切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；
五、求曲线方程的一般步骤
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)．
六、圆锥曲线的定义
1、椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．
2、双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
①当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．
②时，点的轨迹不存在．
3、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
七、求离心率范围的方法
技巧1：建立关于和的一次或二次方程与不等式．
技巧2：利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
技巧3：利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
技巧4：利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
技巧5：涉及的关系式利用基本不等式，建立不等关系．
八、直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y (或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交；直线与圆锥曲线相切；直线与圆锥曲线相离.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.


易错归纳01 两平行线之间的距离公式忽略系数
【易错陷阱·避错攻略】
1．直线和直线间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线间的距离公式求解即可.
【详解】由直线，得.易知与直线平行.
由平行线间的距离公式，得直线和直线间的距离是.
故选：B.
2．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两直线平行求出，利用两平行线间的距离公式求出这两条直线之间的距离.
【详解】根据题意，直线与直线平行，则有，
则两直线的方程分别为，
直线可化为，则它们之间的距离.
故选：C.
3．已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将问题转化为两条平行直线间距离的求解问题，利用公式即可求得结果.
【详解】的几何意义为直线上的点到直线上的点的距离的平方，
直线与直线平行，
，的最小值为.
故选：D.
4．已知直线与直线平行，则平行线间的距离为 .
【答案】/
【分析】先根据两直线平行的条件求出的值，再将两直线方程化为系数相同的形式，最后利用两平行线间的距离公式计算距离即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得，所以直线可化为，
所以两平行直线间的距离是.
故答案为：

易错归纳02 忽略直线过原点截距为0
【易错陷阱·避错攻略】
1．经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可.
【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为，
将点代入解得，此时直线方程为，即；
当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，
将点代入解得，此时直线方程为，
所以满足题意的直线方程为或.
故选：D.
2．直线l过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】当直线过原点时，可求得直线斜率，进而得到直线方程.当直线不过原点时，设直线的截距式方程，代入点坐标可得结果.
【详解】当直线过原点时，直线斜率为，直线方程为，整理得.
当直线不过原点时，设直线方程为，代入得，，解得，直线方程为，整理得.
综上得，直线的方程为或.
故选：C.
3．已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】法一：分直线过原点和不过原点讨论，当直线过原点时，由直线的斜率得到方程，当直线不过原点时，由截距式方程得到直线方程；
法二：分直线过原点和直线斜率为1两种情况讨论，由直线的点斜式方程得到直线方程.
【详解】法一：当直线过原点时，斜率为，则直线方程为；
当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，得，解得，
故直线方程为．
综上所述，直线方程为或．
法二：因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线斜率为1．
当直线过原点时，直线斜率为，则直线方程为；
当直线斜率为1时，直线方程为，即．
综上所述，直线方程为或．
故选：D．
4．与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．6条
【答案】B
【分析】根据直线的截距式方程以及直线与圆相切，即可根据圆心到直线距离等于半径求解.
【详解】圆的圆心坐标为，半径是，而原点在圆外，
如图所示，则与圆相切，
且在两坐标轴上截距相等的直线中过原点的直线有两条；
当直线不过原点时，可设切线方程为，即，
可得，即（舍去）或，
当时，直线方程为.
综上可知，与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有3条.
故选：B.

易错归纳03 处理直线与圆的位置关系忘记对斜率分类讨论
【易错陷阱·避错攻略】
1．（24-25高三下·山东青岛·开学考试）圆在点处的切线斜率是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断点在圆上，再根据切线和半径的垂直关系求切线斜率.
【详解】如图：
因为，所以点在圆：上.
所以圆在点处的切线与半径所在的直线垂直.
又，所以切线的斜率为：.
故选：C
2．（25-26高三上·北京平谷·月考）过点且与圆相切的直线方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】先求出圆的圆心和半径，再分别讨论切线的斜率不存在和存在两种情况求解.在斜率存在的情况下，先设切线方程为点斜式，整理成一般式，再利用圆心到直线的距离等于半径，列出斜率的等式，计算求出，从而得到切线方程.
【详解】，圆心，半径，
过点且与圆相切，
当此切线不存在斜率时，切线方程为，满足此直线与圆相切；
当此切线存在斜率时，设此切线方程为，
即，
则圆心到切线的距离，解得，
则切线方程为，即；
综上，所求的切线方程为或.
故选：D.
3．已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【分析】求出圆的圆心和半径，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式，结合给定弦长求解即得.
【详解】圆C：的圆心，半径，
圆心到直线的距离为3，此直线与圆相切，因此直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，
由，得圆心到直线的距离，
于是，解得或，
所以直线的方程为或.
故选：A

易错归纳04 求轨迹方程没有考虑限制条件
【易错陷阱·避错攻略】
1．在平面直角坐标系中，已知，，直线与的斜率之积为，则动点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设点的坐标为，根据题设斜率之积为列式化简即可.
【详解】设点的坐标为，则，，
所以，
整理可得．
故答案为：
2．已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程.
【详解】因为，故的轨迹为双曲线的右支，
且半焦距，实半轴长，故虚半轴长为，
的轨迹方程为：.
故答案为：.
3．已知直角的斜边为AB，且，，则直角顶点C的轨迹方程为 ，直角边BC的中点M的轨迹方程为 ．
【答案】 且； 且
【分析】根据圆的性质，结合直角三角形的性质以及圆的标准方程，可得空1的答案；设出动点坐标，由中点坐标建立等量关系，代入圆的方程，可得答案.
【详解】设AB中点为D，则，由直角三角形的性质知，，
由圆的定义知，动点C的轨迹是以为圆心，2为半径长的圆．
所以直角顶点C的轨迹方程为且．
设点，点，由，M是线段BC的中点，
得且，，于是有，．
由（1）知，点C在圆且上运动，
将代入该方程得，即且．
故答案为：且；且．
4．已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的定义，判断出双曲线的参数的值，写出轨迹方程.
【详解】对圆，圆心为；对圆，圆心为.
设动圆的半径为，则，所以点的运动轨迹为以为焦点的双曲线的左支.
易知，解得；
又，解得；
，所以动圆圆心的轨迹方程为.
故答案为：
5．双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设，根据题意利用点差法，中点公式等化简即可.
【详解】设，
设直线为，代入，化简得
，
由，得，
因为为的中点，所以，
所以，所以，
由题意得： ，
两式相减得，
由中点公式，整理得：
，又，
所以，即，
所以中点的轨迹方程为，
故答案为：.
6．在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设，，,由题意可得，用截距式分别表示出直线、的方程，再分别用表示出，代入，即可得M点的方程，最后再验证时的情况，即可得答案.
【详解】设，，．
因为，所以．
已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距），
可得直线的方程为．
已知，，则直线的方程为．
因为是和的交点，
所以的坐标满足和的方程．
对于直线的方程，
用表示出,得．
对于直线的方程，
用表示出,得．
因为，所以，即．
当时的情况不满足动点和分别位于轴正半轴和负半轴上，
因此所求轨迹方程为．
故答案为：

易错归纳05 圆锥曲线定义理解不到位
【易错陷阱·避错攻略】
1．已知，，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线B．双曲线左支
C．一条射线D．双曲线右支
【答案】C
【分析】根据给定条件，得，即可确定轨迹作答.
【详解】因为，于是有，
所以动点P的轨迹是一条射线．
故选：C
2．（24-25高三下·广西·月考）双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（ ）
A．1B．1或9C．9D．3
【答案】C
【分析】先根据双曲线的焦距求出，再根据双曲线的定义即可得解.
【详解】由题意可得，即，又，即，
由双曲线的定义可得，解得或9，
又，所以．
故选：C.
3．设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义可判断动点的轨迹.
【详解】因为，，所以，
所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.
故选：A.
4．已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离，
由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为，
故选：D
5．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（ ）
A．线段B．直线C．椭圆D．双曲线
【答案】A
【分析】根据关系式的几何意义即可得解.
【详解】因为关系式表示动点到两定点和的距离之和，
且，
所以点的轨迹为线段.
故选：A
6．方程可化简为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】移项平方化简可得答案.
【详解】由得，
两边平方得，且得，
两边再平方得，
可化简为.
故选：D.
7．点P到点的距离比它到直线l：的距离大4，则点P的轨迹是（ ）
A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．以上都不对
【答案】D
【分析】根据给定条件，按点在直线及左侧、右侧两种情况分类讨论，结合抛物线定义判断即得.
【详解】由点P到点的距离比它到直线的距离大4，知点P既可以在直线的左侧，也可以在直线的右侧，
当点P在直线及左侧时，点P到点的距离等于它到直线的距离，
则点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线在直线及左侧部分；
当点P在直线的右侧时，点P到点的距离等于它到直线的距离，
则点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线在直线的右侧部分，
所以点P的轨迹包含以上两部分，选项ABC错误，D正确.
故选：D
8．定义一个对应法则（，），比如.已知点和点，是线段上的动点，点在法则下的对应点为.当在线段上运动时，点的轨迹为（ ）
A．线段B．圆的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分
【答案】C
【分析】先求线段的方程，根据新运算的定义，将已知的数据代入运算，进而得知变换得到点的轨迹.
【详解】由题意可知：线段的方程为，即,
设，
因为，则，
即在上，
则，且，可得，
所以的轨迹是，即点的轨迹为椭圆的一部分.
故选：C.

易错归纳06 忽略圆锥曲线焦点的所在位置
【易错陷阱·避错攻略】
1．已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ）
A．B．或C．D．以上都不对
【答案】A
【分析】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得.
【详解】设椭圆方程为：，因椭圆过点和点，
于是得 ，解得，
所以所求椭圆方程为.
故选：A
2．（23-24高三上·云南昆明·月考）已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程，将点的坐标代入，求得参数，即可得答案.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
故可设双曲线方程为，
又经过点，故，
故双曲线方程为，
故选：A
3．（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解.
【详解】设双曲线方程为，
则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：A.
4．已知椭圆C过点，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】就焦点的位置分类讨论后结合基本量的关系可求标准方程.
【详解】若焦点在x轴上，则．由，得，所以，
此时椭圆C的标准方程为．
若焦点在y轴上，则．由，得，
此时椭圆C的标准方程为．
综上所述，椭圆C的标准方程为或．
故选：D.
5．已知圆锥曲线的一个顶点为，焦距为4，则的值为（ ）
A．7或1B．或C．7或D．或1
【答案】B
【分析】先代入点坐标待定，再分类讨论根据焦距求即可.
【详解】将代入曲线方程，解得；
故曲线方程为.
由焦距为4，得，.
由题意知，且，方程可化为，
当时，曲线为椭圆，
故椭圆焦点在轴上，故，
则有，解得；
当时，曲线为双曲线，且焦点在轴上，
双曲线的标准方程为，所以，
则有，解得；
综上所述，或.
故选：B.

易错归纳07 离心率的取值范围问题
【易错陷阱·避错攻略】
1．（2024·广东韶关·一模）椭圆的左右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，可得椭圆短轴的端点在以为直径的圆外，由此求得，再利用双曲线离心率的意义求出范围.
【详解】以为直径的圆的方程为，依题意，椭圆短轴的端点在此圆外，
即，解得，则双曲线的离心率为，
由，得，所以所求离心率的取值范围.
故选：D
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）椭圆和双曲线，双曲线的渐近线斜率小于，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由双曲线的渐近线斜率小于，可得，再结合椭圆的离心率公式求解即可.
【详解】因为双曲线的渐近线斜率小于，
所以，即，
设椭圆的焦距为，离心率为，
则，
可得.
故选：B.
3．（2025·山西·模拟预测）如图，，分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形为等腰梯形，且．若，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义可得，在中结合余弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，由双曲线的定义可知，，
又四边形为等腰梯形，且，则，
则，
在中，由余弦定理可得，
，
即，
化简可得，即，解得，
又，所以.
故选：D
4．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，再根据基本不等式和离心率公式可得结果.
【详解】设，，则，
在中，，
所以，得，
所以，
因为，当且仅当时，取等号，
所以，
所以，所以，
所以，所以，又，
所以.
故选：C
5．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】易得，再由，，设，可得，两边平方即可求解.
【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于，
所以，则，，
设，则
所以；由于，
因为，所以，则，则，
因为，所以
故选：B
6．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，记，利用二倍角公式求得，根据构造齐次式即可求解.
【详解】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值，
要使椭圆上总存在点，使得，

只需满足，且，
记，则有，且，
所以，解得（舍去）或，
所以，即，
整理得，所以，所以.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据椭圆上的动点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，从而得解.

易错归纳08 直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全面
【易错陷阱·避错攻略】
1．已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）条
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】考虑直线斜率存在：，和不存在三种情况，讨论即可得解.
【详解】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意；
当直线斜率时，易知满足条件；
当直线斜率存在且时，设直线方程为，
由，整理得到，
由，解得.
综上所述：满足条件的直线有条.
故选：D
2．（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】若直线与抛物线只有一个公共点，
则方程只有一个解，
即方程只有一个解，
当时，恒有一个解；
当时，，得，此时方程只有一个解．
即直线与抛物线只有一个公共点，可得或，
故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件，
故选：A．
3．（24-25高三上·北京·月考）过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据抛物线的几何性质，分当直线与轴平行时，直线与轴垂直时，和直线与坐标轴不平行时，三种情况，结合，即可求解.
【详解】当直线过点，且与轴平行时，此时直线与抛物线只有1个公共点；
当直线过点，且与轴垂直时，此时直线与抛物线有2个公共点；
当直线过点，斜率存在且不为0时，设直线，代入抛物线，得：，
因为.
由，因为，所以方程有两根，
故过点可以作两条直线与抛物线相切.
综上，过点共有3条直线，与抛物线只有1个公共点.
故选：D
4．（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断.
【详解】法一：由题意，联立方程可得，
当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点；
当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.
所以，直线与双曲线只有一个公共点时，.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图，
根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
故选：C.
5．双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 .
【答案】0或1
【分析】根据双曲线的图像性质，以及渐近线来分析即可.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，

所以当时，直线l：与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点；
当时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点．
故答案为：0或1.
6．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条．
【答案】4
【分析】结合图形，将直线分成斜率不存在和存在两种情况考虑，在斜率存在时，再考虑所得方程的二次项系数为0的情况，最后结合根的判别式为0考虑相切的情况即得.
【详解】
当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线恰只经过双曲线的右顶点，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入双曲线方程，
整理得：，
当时，即时，代入方程解得或，
即直线与双曲线只有1个交点为；
直线与双曲线只有1个交点为，均符合题意；
当时，由，解得，
此时直线与双曲线相切于点，符合题意.
综上，过点与双曲线有且只有一个交点的直线共有4条.
故答案为：4.

1．已知两条平行直线，则和间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由两平行线间距离公式求解即可；
【详解】，
所以由两平行线间的距离公式可得，
故选：D.
2．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据两点间距离公式可得已知方程的几何意义，结合椭圆的定义可求得轨迹方程.
【详解】由两点间距离公式知：
的几何意义是点到与的距离之和为，
，
点轨迹是以为焦点的椭圆，设其长轴长、短轴长、焦距分别为，
则，，，，，
点轨迹方程为：.
故选：B.
3．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．射线B．直线
C．椭圆D．双曲线的一支
【答案】A
【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.
【详解】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线.
故选：A.
4．动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，则点P的轨迹是（ ）
A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【分析】根据题意可知，动点P到直线的距离与到定点的距离相等，由抛物线的定义可知，点P的轨迹为抛物线.
【详解】如图所示，由于动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，
于是动点P在直线的右边，且动点P到直线的距离大于2，
因此动点P到直线的距离等于它到点的距离，
进而根据抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线．
故选：D
5．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，求出、，即可得到轨迹方程.
【详解】由及双曲线的定义可知，
点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，则，
因为，所以，故点的轨迹方程为．
故选：A
6．经过、两点椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设出椭圆一般方程，由待定系数法求解即可.
【详解】设椭圆方程为（，，）
则，解得，
所以椭圆方程为.
故选：A.
7．（23-24高三下·福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，点P在圆C上，由切线性质即可得出结果.
【详解】由点P在圆C上，又由直线的斜率为，
可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为．
故选：B．
8．经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可.
【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为，将点代入解得，
此时直线方程为，
当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，将点代入解得，
此时直线方程为，
所以满足题意的直线方程为或，
故选：B
9．直线过点且轴上的截距为轴上的截距的两倍，则直线的方程是（ ）
A．B．或
C．或D．或
【答案】C
【分析】对直线是否过原点进行分类讨论，当直线过原点时，根据斜率公式求出斜率，即可求得直线，当直线不过原点时，设出直线截距式方程，将点代入即可求解．
【详解】依题，当直线过原点时，直线斜率为，
则直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为：，
将代入：，解得，
则直线方程为，即，
综上，直线的方程为或．
故选：C．
10．已知双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据渐近线的方程设双曲线方程然后根据双曲线的点即得答案.
【详解】双曲线的渐近线方程为，设双曲线方程为，
将点代入得，，
该双曲线标准方程为，即 ．
故选：A.
11．已知圆，则过点的圆C的切线方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】分切线斜率存在与不存在讨论即可.
【详解】，则圆心坐标为，半径为2，
由于，可知点在圆外，
当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则，解得，此时直线方程为，即.
综上所述，切线方程为：或.
故选：D.
12．（24-25高三下·安徽·月考）已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】判断过点可作与抛物线相切的直线条数，以及与对称轴平行的直线，即可求解.
【详解】因为点在抛物线外，显然过可作两条直线与相切，
过可作一条与的对称轴（即轴）平行的直线，它与也只有一个公共点.
所以满足条件的直线有3条，
故选：C.
13．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出，再利用线段和差关系建立不等式求解即得.
【详解】点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，令半焦距为c，
由及，得，
显然，当且仅当点共线，且在线段上时取等号，
因此，即，又，则，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：A
14．过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线有（ ）条．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据直线的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，双曲线的通径长度为4，恰好符合，斜率存在时，因，由对称性知有2条符合，综合考虑即得.
【详解】由，可得1
当直线l的斜率不存在时，，此时有1条直线符合要求；
当直线l的斜率存在时，若两点都在右支上，因，不符合要求；
若在左、右两支上时，因，根据双曲线的对称性知，有2条直线符合要求.
故这样的直线共有3条．
故选：D.
15．（2024·北京海淀·三模）已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先由，点到直线距离公式列出方程，求出此时，充分性成立；求出所过定点，再由存在唯一k使得直线l与相切”，得到或定点在圆上，得到方程，求出相应的答案，必要性不成立.
【详解】时，到的距离为，
故，解得，
满足存在唯一k使得直线l与相切”，充分性成立，
经过定点，
若，，若，此时直线，
直线与相切，另一条切线斜率不存在，
故满足存在唯一k使得直线l与相切”，
当在上，满足存在唯一k使得直线l与相切，
故，
又，解得，必要性不成立，
故“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的充分不必要条件.
故选：A
16．（24-25高三上·天津·期末）已知双曲线为的左顶点，抛物线的准线与轴交于．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆和直线的位置关系列不等式，化简求得双曲线离心率的取值范围.
【详解】抛物线的准线与轴交于，则，
设的中点为，，则，
在的渐近线上存在点，使得，
是以为圆心，半径为的圆与渐近线有公共点，
所以，
，
所以.
故选：D
17．已知椭圆的两个焦点为，，点，为上关于坐标原点对称的两点，，的面积记为，且，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，计算即可得到离心率范围.
【详解】连接，，由题意得，，，
又，所以四边形为矩形，故，
所以，故，
又，由勾股定理得，
即，则，
故，即，
故，，
解得，
又上存在关于坐标原点对称的两点，，使得，
故，所以，即，
所以，，解得，
综上，的离心率的取值范围是.
故选：C.
【点睛】方法点睛：离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).
18．已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ．
【答案】或
【分析】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程.
【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3，
此直线与圆相切，因此直线的斜率存在．
设直线的方程为，即，
由，得圆心到直线的距离，
于是，解得或，所以直线的方程为或．
故答案为：或．
19．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和的连线的斜率之积等于9，则点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设，结合斜率公式计算即可求解.
【详解】设，由已知得，
整理得，
所以点P的轨迹方程为．
故答案为：
20．已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程.
【详解】由椭圆的定义可知，
所以，
因此点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，
故它的轨迹方程为．
故答案为：.
21．在中，，，，则点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设点，分别表示与，化简即可.
【详解】设点，
则，，
则，
化简可得，
故答案为：.
22．已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据等腰三角形性质可得，即可得，再根据椭圆定义可得轨迹方程.
【详解】

如图所示，
由的方程得圆心，半径为，
因为，所以，
又，所以，
则，所以，
又，
所以，
又斜率不为，所以点不在轴上，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且点不在轴上，
则，，所以，
即点的轨迹方程为，
故答案为：，.
23．过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ．
【答案】 和
【分析】若直线的斜率不存在，可得直线方程为满足条件；若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入到双曲线方程，分二次项系数为0和判别式等于0讨论，即可得到答案．
【详解】解：若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时仅有一个交点，满足条件；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，
整理得到，
当时，方程无解，不满足条件；
当时，方程有一解，满足条件；
当时，令，
解得，此时恰好为渐近线的斜率，不满足条件，
所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和．
故答案为：；和.
24．若椭圆上存在一点M，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为 .
【答案】
【分析】方法一：设点M的坐标是，则，由题意，即，结合点M在椭圆上，可得，即可求出椭圆的离心率的取值范围；
方法二：设点M的坐标是，由已知可得出关于、的方程组，求出，可得出关于、、的不等式组，由此可解得椭圆的离心率的取值范围；
方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，由题意，则，进而可求得椭圆的离心率的取值范围.
【详解】方法一：设点M的坐标是，则.
∵，，∴，.
∵，∴，即.
又点M在椭圆上，即，
∴，即，
∴，即，
又，∴，
故椭圆的离心率e的取值范围是.
方法二：设点M的坐标是，
由方法一可得消去，得，
∵，∴，
由②得，此式恒成立.
由①得，即，∴，则.
又，∴.
综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是.
方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，
∵椭圆上存在一点M，使，
∴，则，（最大时，M为短轴端点）
∴，即，
又，∴，
故椭圆的离心率e的取值范围为.
故答案为：.
名称
方程
适用范围
点斜式
不含垂直于轴的直线
斜截式
不含垂直于轴的直线
两点式
不含直线和直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用
①两点间的距离：已知则
②点到直线的距离:
③两平行线间的距离：两条平行直线与的距离公式．
易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线前的系数统一，然后代入公式求算.
求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解
1、过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
2、设直线的点斜式时一定要分析斜率不存在的情况，以防考虑问题不全面而出错.
求轨迹方程共有四大类，具体方法如下：
1、直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
第一步：建系：建立适当的坐标系
第二步：设点：设轨迹上的任一点
第三步：列式：列出有限制关系的几何等式
第四步：代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
2、定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
3、相关点法求动点的轨迹方程
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
4、交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
易错提醒：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．
在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上.
由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两种情况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位置，不确定要讨论，在定量，即求或的值．
圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是，而双曲线的离心率范围是，在求范围的时候要时刻注意.
在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形．