2026年高考数学一轮复重难点培优01立体几何中的外接球与内切球、棱切球问题(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优01立体几何中的外接球与内切球、棱切球问题(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共10页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26889" 01 知识重构・重难梳理固根基 PAGEREF _Tc26889 \h 1
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 5
\l "_Tc16555" 题型一 墙角模型（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 5
\l "_Tc7141" 题型二 三棱锥的三组对棱长分别相等模型（★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 6
\l "_Tc26803" 题型三 其他补成长方体模型（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 6
\l "_Tc13512" 题型四 直棱柱、圆柱的外接球模型（★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 7
\l "_Tc3897" 题型五 正棱锥、圆锥模型（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 8
\l "_Tc326" 题型六 垂面模型（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 8
\l "_Tc11957" 题型七 棱台、圆台外接球（★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 9
\l "_Tc17557" 题型八 棱柱、圆柱内切球（★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 10
\l "_Tc28054" 题型九 圆锥、圆台、棱台内切球（★★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 11
\l "_Tc8991" 题型十 棱锥内切球（★★★★） PAGEREF _Tc8991 \h 12
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 13
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 13
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 16
知识点01 外接球模型一：墙角模型
墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2)．)，秒杀公式：R2＝eq \f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：
知识点02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
知识点03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型
直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．

知识点04 外接球模型四：垂面模型
知识点05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型
1、正棱锥外接球半径： ．
2、侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．

解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
知识点06 内切球思路：
1、等积法思路
以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．
方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·r＋eq \f(1,3)S△PAB·r＋eq \f(1,3)S△PAC·r＋eq \f(1,3)S△PBC·r＝eq \f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；
第三步：解出r＝eq \f(3VP－ABC,SO－ABC＋SO－PAB＋SO－PAC＋SO－PBC)＝eq \f(3V,S表)．
2、球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．
3、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．
4、球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
5、棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形


题型一 墙角模型
1．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 .
2．在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．

题型二 三棱锥的三组对棱长分别相等模型
1．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径 ．

题型三 其他补成长方体模型
1．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·云南·开学考试）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，面，四边形是边长为的正方形．若，求的面积．（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·宁夏银川·月考）银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于（ ）

A．B．C．D．
5．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为 .
6．在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为 .

题型四 直棱柱、圆柱的外接球模型
1．（2025·河北石家庄·一模）已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知一个圆柱的底面半径为3，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为 .
4．已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为 .
5．已知直三棱柱的体积为24，，若直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为 .

题型五 正棱锥、圆锥模型
1．（2025·湖南益阳·三模）已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（ ）
A．3πB．6πC．9πD．12π
2．将直径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为 .
6．已知一个底面半径为的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，则圆锥的体积为 .

题型六 垂面模型
1．在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·广东湛江·期末）在三棱锥中，，其他棱长都是，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）

A．B．C．D．
5．《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱是一“堑堵”，，，点为的中点.则①所在直线与平面所成线面角为 ；②三棱锥的外接球表面积为 .
6．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．

题型七 棱台、圆台外接球
1．（24-25高三下·河北承德·月考）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（ ）
A．3B．5C．D．6
3．（2025·山东聊城·三模）已知某圆台的轴截面中有一个角为，且下底是上底的2倍，若该圆台的外接球的表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
5．（2025·河南南阳·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是 .
6．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为5cm，12cm，高为17cm，则该灯罩外接球的表面积为 .

题型八 棱柱、圆柱内切球
1．已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·天津红桥·模拟预测）一个正方体的棱长为，若一个球内切于该正方体，此球的体积是，则 .
3．有一个底面边长分别为的直三棱柱，如果该三棱柱存在内切球，即该球与三棱柱的各个面都相切.则该三棱柱的体积为 .
4．若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 .
5．已知EF为圆柱的下底面圆的一条直径，D为上底面圆上任意一点，，球O内切于圆柱，则球O的体积为 ，平面DEF截球O所得截面面积的最小值为
6．如图，球内切于正三棱柱，则球与正三棱柱的体积比为多少？


题型九 圆锥、圆台、棱台内切球
1．已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知球O内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，，则球O与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分的体积比为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三下·重庆北碚·月考）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则 ．

6．（2025·山东·模拟预测）已知底面半径均为的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若，则圆锥和圆台的体积比为 ．

题型十 棱锥内切球
1．若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（ ）
A．B．4C．D．
2．已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（ ）
A．B．9C．D．
3．在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为
4．（2024·湖南·二模）一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为 .

题型十一 棱切球
1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知三棱锥的各条棱都与同一个球面相切，若，则三角形的周长为（ ）
A．12B．16C．20D．24
2．已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（ ）
A．B．2C．D．
3．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是 .
4．已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为 .
5．已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 ．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25高三上·福建龙岩·月考）已知某圆柱的内切球半径为1，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为的球面上，该圆柱的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直三棱柱中，，则其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知直三棱柱的各顶点都在以O为球心的球面上，且，，则球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·江苏徐州·模拟预测）圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥内切球半径为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．8
11．《九章算术》是我国古代数学名著，该书商功一章中介绍了方亭（即正四棱台）：“今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈”，翻译为白话文为“已知正四棱台，下底面边长为5丈，上底面边长为4丈，高为5丈”，设该正四棱台的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．平方丈B．平方丈C．平方丈D．平方丈
12．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面ABC，则球O的体积为（ ）
A．7πB．C．D．
13．已知一个正四棱锥的高为16，且其外接球的半径为10，则该正四棱锥的表面积为（ ）
A．512B．256C．128D．64
14．（2025·贵州黔南·三模）在正四棱台中，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
15．如图，在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的体积为（ ）

A．B．C．D．
16．若半径为的球与正六棱柱的各个面均相切，则该正六棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
17．已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
18．已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
19．已知球O的半径为3，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（ ）
A．B．C．D．
20．（24-25高三上·江西吉安·月考）已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
21．在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
22．已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
23．（24-25高三上·上海·月考）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为、、，则此球的直径为
24．在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为 .
25．一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是
26．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，若，则该四棱锥的内切球的体积为 ．
27．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为 .
28．已知一底面边长为的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为 .
29．已知圆锥的底面半径为2，且内切球球心与外接球球心重合，则圆锥外接球表面积为
30．（2025·辽宁鞍山·一模）正四面体内切球与其外接球表面积之比为 ．
31．（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ．
32．在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，面，，三棱锥外接球与内切球球心分别为，则 .

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·海南·模拟预测）在正三棱锥中，，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥内部，其球心与的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥的三个侧面均相切，则半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和最小时，小球的半径为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三下·天津南开·月考）欧阳南德与上官琐艾即将毕业，为了纪念美好的高中时代，二人来到南开工坊共同制作了属于他们的艺术品：该艺术品包括内外两部分，外部为一个正四棱锥形状的中空水晶，其侧面分别镌刻“欧”、“阳”、“上”、“官”四字，内部为一个正四面体形状的水晶，表面上分别镌刻“南”、“德”、“琐”、“艾”四字，当其在四棱锥外壳内转动时，好似折射出可穿越时空的永恒光芒．已知外部正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为，为使内部正四面体在外部正四棱锥内（不考虑四棱锥表面厚度）可绕四面体中心任意转动，则该正四面体体积最大为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为.设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为，则以下关系正确的是（ ）

A．B．
C．D．的最大值为
5．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）正三棱台的上､下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上､下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为 .
6．（2025·浙江金华·三模）已知四棱锥的底面为菱形，三棱锥为正四面体，则三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为 .
1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．

2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(R2＝r2＋m2，,R2＝d2＋h－m 2，))解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－eq \f(l2,4)(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)