2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点22立体几何中的外接球、内切球问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点22立体几何中的外接球、内切球问题(学生版+解析)，共10页。

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\l "_Tc200" 【题型1 定义法求外接球问题】 PAGEREF _Tc200 \h 4
\l "_Tc11693" 【题型2 补形法求外接球问题】 PAGEREF _Tc11693 \h 5
\l "_Tc25600" 【题型3 截面法求外接球问题】 PAGEREF _Tc25600 \h 6
\l "_Tc15340" 【题型4 棱切球模型问题】 PAGEREF _Tc15340 \h 7
\l "_Tc28074" 【题型5 内切球模型问题】 PAGEREF _Tc28074 \h 7
\l "_Tc27995" 【题型6 多球相切问题】 PAGEREF _Tc27995 \h 8
\l "_Tc11063" 【题型7 外接球之二面角模型】 PAGEREF _Tc11063 \h 9
\l "_Tc2260" 【题型8 与球的切、接有关的最值问题】 PAGEREF _Tc2260 \h 10
\l "_Tc30174" 【题型9 与球的切、接有关的截面问题】 PAGEREF _Tc30174 \h 10
\l "_Tc244" 【题型10 多面体与球体内切外接综合问题】 PAGEREF _Tc244 \h 11
1、立体几何中的外接球、内切球问题
球的切、接问题是历年高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力，难度中等.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或转化为特殊几何体的切、接问题来解决，球的切、接问题求解方法多种多样，解题时要学会灵活求解.
知识点1 正方体、长方体与球的切、接问题
1．正方体与球的切、接问题
(1)内切球：内切球直径2R=正方体棱长a.
(2)棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长.
(3)外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长.
2．长方体与球
外接球：外接球直径2R=体对角线长( a,b,c分别为长方体的长、宽、高).

知识点2 正棱锥与球的切、接问题
1．正棱体与球的切、接问题
(1)内切球：(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高.
(2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，(正棱锥外接球半径为R，高为h).

知识点3 正四面体的外接球、内切球
1．正四面体的外接球、内切球
若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则，，
，.

知识点4 正三棱柱的外接球
1．正三棱柱的外接球
球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心.
若正三棱柱的高为h柱，正三棱柱的外接球半径为R，则.

知识点5 圆柱、圆锥的外接球
1．圆柱的外接球
(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径).

2．圆锥的外接球
(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).

知识点6 空间几何体与球的切、接问题的解题策略
1．常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
2．空间几何体外接球问题的求解方法：
空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：
(1)定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
(2)补形法：若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.
(3)截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.
3．内切球问题的求解策略：
(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.
(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.
【题型1 定义法求外接球问题】
【例1】（2025·江苏南通·模拟预测）若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．4πB．5πC．16πD．20π
【变式1-1】（2025·天津武清·模拟预测）如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且AC⊥BC，PC⊥DE，AB=2，则该四面体的外接球体积为（ ）
A．4πB．23πC．43πD．83π
【变式1-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）在三棱锥S−ABC中，AC=BC=2，∠ACB=2π3，侧棱长都等于25，其中S,A,B,C在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A．12πB．15πC．20πD．25π
【变式1-3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=23,ED=1，若鳖臑P−ADE的体积为2，则阳马P−ABCD外接球的表面积为（ ）

A．144πB．36πC．24πD．18π
【题型2 补形法求外接球问题】
【例2】（2025·湖南·二模）如图，在四面体P−ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥CB,PA=AC=2BC=2，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A．3πB．9πC．36πD．48π
【变式2-1】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为8cm和12cm的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球）.则蛋黄的半径的最大值为（ ）cm.
A．142B．144C．152D．154
【变式2-2】（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=4，PC与平面ABCD所成角的大小为θ，且tanθ=223，则四棱锥P−ABCD的外接球表面积为（ ）
A．26πB．28π
C．34πD．14π
【变式2-3】（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥AC,PA⊥平面ABC，PA=3,AB=1,AC=2，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥A−DEF的外接球的表面积为（ ）
A．5π2B．7π2C．9π2D．3π
【题型3 截面法求外接球问题】
【例3】（2025·广东佛山·一模）已知圆台的高为1，下底面的面积16π，体积为373π，则该圆台的外接球表面积为（ ）
A．64πB．81πC．100πD．121π
【变式3-1】（2025·安徽·一模）已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=PC=AB=BC=22，AC=23，则球O的表面积为（ ）
A．40π3B．20πC．274πD．212π
【变式3-2】（2024·安徽·三模）已知圆台O1O2的上､下底面面积分别为4π,36π，其外接球球心O满足O1O=3OO2，则圆台O1O2的外接球体积与圆台O1O2的体积之比为（ ）
A．20513B．101013C．10513D．1013
【变式3-3】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正四棱台ABCD−EFGH的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径R=57的球O的表面上，则该四棱台的高为（ ）
A．2B．8C．2或12D．4或8
【题型4 棱切球模型问题】
【例4】（2025·全国·模拟预测）正四面体ABCD的棱长为2，其棱切球的体积为（ ）
A．2πB．6πC．23πD．627π
【变式4-1】（2025·山西晋中·模拟预测）已知棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1的中心为O，若球O的球面与该正方体的棱有公共点，则球O的表面积的取值范围是（ ）
A．3π, 6πB．3π, 9πC．6π, 9πD．6π, 12π
【变式4-2】（2024·云南·模拟预测）如图，球面被平面截得的一部分叫做球冠，截得的圆面是底，圆的半径记为R，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，记为H，则球冠的曲面面积S=2πRH.球O是棱长为1的正方体ABCD−A′B′C′D′的棱切球，则球O在正方体ABCD−A′B′C′D′外面部分曲面的面积为（ ）

A．22−1πB．42−1πC．62−1πD．32−1π
【变式4-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为63，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为 .
【题型5 内切球模型问题】
【例5】（2025·吉林·模拟预测）一圆台的上底面半径为1，下底面直径为4，母线长为5，则内切于该圆台的球体体积为（ ）
A．4π5B．4π3C．π4D．3π4
【变式5-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（ ）
A．32B．94C．364D．278
【变式5-2】（2025·湖南永州·模拟预测）正三棱台ABC−A1B1C1的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式5-3】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为32，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（ ）
A．43B．32C．83D．136
【题型6 多球相切问题】
【例6】（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为23的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球O2后，还可以放入一个半径为1的小球O1，则小球O2的体积与容器体积之比的最大值为（ ）
A．4243B．1243C．481D．181
【变式6-1】（2025·重庆·三模）棱长为43的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（ ）
A．82π3B．42π3C．2πD．23π
【变式6-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为 .

【变式6-3】（2025·山东泰安·二模）如图，在母线长为4+23，高为3+23的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入 个.
【题型7 外接球之二面角模型】
【例7】（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥A−BCD的底面边长为6，二面角A−BC−D的余弦值为34，则正三棱锥A−BCD外接球的表面积为（ ）
A．2561313πB．6251313πC．62513πD．25613π
【变式7-1】（2025·陕西安康·模拟预测）如图，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=2，D为斜边BC上一动点，将△ACD沿AD折起，使C的对应点为C′，且二面角C′−AD−B的大小为90∘，当BC′的长最小时，三棱锥C′−ABD外接球的半径为（ ）
A．102B．62C．6D．2
【变式7-2】（2024·河北·模拟预测）在三棱锥A−BCD中，AB=AC=2, BC=CD=2, ∠BCD=120°，若三棱锥A−BCD的外接球表面积为20π，则二面角A−BC−D的大小为（ ）
A．60°或120°B．30°或150°C．60°D．45°
【变式7-3】（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥A−BCD中，△ABC和△BCD均为边长为3的等边三角形，若二面角A−BC−D的大小为90∘，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为（ ）
A．5πB．8π
C．6πD．9π
【题型8 与球的切、接有关的最值问题】
【例8】（2025·重庆·三模）已知某圆锥的外接球的体积为500π3，若球心到该圆锥底面的距离为4，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A．9πB．27πC．18πD．48π
【变式8-1】（2025·湖南·二模）在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=6，E为线段CC1上的动点，D为BC边上靠近B的三等分点，则三棱锥A−BDE的外接球体积的最小值为（ ）
A．323πB．40003π27C．500327D．1083π
【变式8-2】（2025·四川广安·模拟预测）在三棱锥P−ABC中，三条棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=2.若点Q为三棱锥P−ABC的外接球球面上任意一点，则Q到面ABC距离的最大值为（ ）
A．3+6B．3−6
C．32+66D．32−66
【变式8-3】（2025·四川成都·二模）直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的10个半径为r的小球，全部放进棱长为8+46的正四面体盒子中，则r的最大值为（ ）
A．12B．1C．32D．2
【题型9 与球的切、接有关的截面问题】
【例9】（2025·云南昭通·模拟预测）已知球O的半径为3，正方体ABCD−A1B1C1D1所有顶点均在球面上，点M是棱AB的中点，过点M作球O的截面，则所得截面面积的最小值为（ ）
A．5πB．4πC．3πD．3π
【变式9-1】（2025·辽宁大连·模拟预测）在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=3，AC=4，点D满足AD=3DC，三棱锥P−ABC的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为4π，则球O的表面积为（ ）
A．16πB．20πC．24πD．28π
【变式9-2】（2025·广东·模拟预测）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别为AB,CC1的中点，过直线MN的平面截该正方体的内切球O，所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A．π2B．2π3C．πD．3π2
【变式9-3】（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥P−ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA=43，AB=6，过棱AB作球O的截面，则所得截面面积的取值范围是（ ）
A．9π,12πB．9π,16πC．12π,16πD．12π,36π
【题型10 "" \t "" \ "多面体与球体内切外接问题" 多面体与球体内切外接综合问题】
【例10】（2025·天津河东·二模）已知正方体的边长为a，其外接球体积与内切球表面积的比值为32，则a的值为（ ）
A．3B．2C．5D．3
【变式10-1】（2025·陕西汉中·模拟预测）在正三棱锥P−ABC中，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，记三棱锥P−ABC内切球、外接球的半径分别为r,R，则rR=（ ）
A．16B．38C．13−14D．13−18
【变式10-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，且PA=PB=PC=PD=5，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为O1，O2，则O1O2的长为（ ）
A．0B．36C．33D．32
【变式10-3】（2025·天津和平·一模）已知正四面体ABCD（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为π6，设能装下正四面体ABCD的最小正方体的体积为V1，正四面体ABCD的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为V2，则V1⋅V2=（ ）
A．316πB．68πC．328πD．32π
一、单选题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A．48πB．36πC．24πD．12π
2．（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的高ℎ=46，且AB=2A1B1=8，则此正四棱台的外接球表面积为（ ）
A．80πB．91πC．128πD．182π
3．（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的上，下底面边长分别为2和22．若该棱台的体积为1433，则该棱台的外接球表面积为（ ）.
A．7πB．323πC．16πD．19π
4．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥S−ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为26的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A．5πB．10πC．28πD．56π
5．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为S1，外接球表面积为S2，则S2S1的值为（ ）
A．43B．32C．3D．4
6．（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角A−BD−C的大小为120°，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（ ）
A．43πB．83πC．233πD．833π
7．（2025·辽宁·模拟预测）已知在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=22，PA=AC=4，△ACD为等边三角形，则平面PAD与三棱锥P−ABC的外接球球面的交线长为（ ）
A．4πB．25πC．6πD．42π
8．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形ABCD中，△ABC是边长为3的等边三角形，△ACD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线AC折成四面体B−ACD，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（ ）
A．32π3B．4πC．4π3D．3π2
二、多选题
9．（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）

A．该正八面体结构的表面积为23m2B．该正八面体结构的体积为2m3
C．该正八面体结构的外接球表面积为2πm2D．该正八面体结构的内切球表面积为2πm23
10．（2025·江西·模拟预测）已知多面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1，BB1，CC1，DD1均垂直于底面ABCD，AB=BB1=DD1=2，且A1，B1，C1，D1四点共面．下列说法正确的是（ ）
A．A1C1⊥B1D1
B．若多面体ABCD−A1B1C1D1存在外接球，则该外接球的表面积为48π
C．VB−AA1C1C=83
D．若CC1=3，AA1=1，则三棱锥A1−C1D1D的内切球半径为44+6+14
11．（2025·陕西安康·模拟预测）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球表面积为12π，点M为线段BC的中点，则（ ）
A．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱切球（球与正方体的棱均相切）表面积为6π
B．D1C//平面AMC1
C．在该正方体的8个顶点中任选4个构造一个三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为83
D．平面AMC1截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面的面积为26
三、填空题
12．（2025·河北秦皇岛·一模）内切球半径为1的正四棱锥的外接球半径的最小值为 .
13．（2025·河北秦皇岛·三模）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体SABC是一个鳖臑，已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，SA=AB=2，SC=26，BC=4，则平面SAB截该鳖臑的外接球所得截面面积为 ．
14．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .

四、解答题
15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC,PA=3,PB=4,PC=5，
(1)求三棱锥P−ABC的表面积；
(2)求三棱锥P−ABC的外接球体积．
16．（24-25高一下·广东·阶段练习）如图，△BCD是圆锥底面圆的内接三角形，BD=4，cs∠BCD=63，PA为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆.
(1)求圆锥的外接球的表面积；
(2)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积.
17．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）三棱锥P−ABC中，PB=PC,AC=AB=2,AC⊥AB，且平面PBC⊥平面ABC
(1)证明：BC⊥PA
(2)证明锐二面角A−PB−C的平面角大于π4.
(3)设三棱锥P−ABC的体积为V，内切球的半径为r，求2r−1V的最小值.
18．（2025·甘肃白银·二模）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2AB=2，∠BAD=60∘，O为AD的中点，AB∥平面POC.

(1)证明：PC⊥BD．
(2)求三棱锥P−ABD的外接球Q的表面积．
(3)若BD=BC，求二面角B−PC−D的正弦值．
19．（2025·四川绵阳·模拟预测）三棱锥P−ABC中，底面△ABC为等腰直角三角形，CA=CB=22，PA=10．点P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点．
(1)求PB与平面PCE所成角的正弦值；
(2)求三棱锥P−ABC外接球体积；
(3)设AB靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线AB的两侧，满足DE+DF=4．试探究是否存在点D使得平面PBD⊥平面PBC?若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由．