2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第01讲直线的方程(高效培优讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第01讲直线的方程(高效培优讲义)(学生版+解析)，共62页。试卷主要包含了直线的倾斜角与斜率，三点共线问题，过定点的直线与线段相交问题，直线的方程，直线与坐标轴围成的三角形问题，两直线的夹角问题，直线过定点问题，直线方程的综合应用等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14686" 考情探究 PAGEREF _Tc14686 \h 1
\l "_Tc17621" 知识梳理 PAGEREF _Tc17621 \h 2
\l "_Tc30383" 探究核心考点 PAGEREF _Tc30383 \h 5
\l "_Tc10964" 考点一 直线的倾斜角与斜率 PAGEREF _Tc10964 \h 5
\l "_Tc7674" 考点二 三点共线问题 PAGEREF _Tc7674 \h 6
\l "_Tc4022" 考点三 过定点的直线与线段相交问题 PAGEREF _Tc4022 \h 6
\l "_Tc11048" 考点四 直线的方程 PAGEREF _Tc11048 \h 7
\l "_Tc20567" 考点五 直线与坐标轴围成的三角形问题 PAGEREF _Tc20567 \h 8
\l "_Tc24041" 考点六 两直线的夹角问题 PAGEREF _Tc24041 \h 9
\l "_Tc21185" 考点七 直线过定点问题 PAGEREF _Tc21185 \h 9
\l "_Tc7357" 考点八 直线方程的综合应用 PAGEREF _Tc7357 \h 9
\l "_Tc429" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc429 \h 10
\l "_Tc5348" 基础过关 PAGEREF _Tc5348 \h 10
\l "_Tc13593" 能力提升 PAGEREF _Tc13593 \h 11
\l "_Tc10012" 真题感知 PAGEREF _Tc10012 \h 12
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】近5年高考聚焦直线与圆的位置关系，以“求点到直线的距离”“直线方程与定点”“圆的弦长与中点弦”为核心考点，多以选择、填空题（4-5分）呈现，注重知识点综合（如直线与圆、直线与数列结合）。
【备考策略】夯实直线、圆的公式与定理基础，强化 “直线定点”“圆弦长” 等问题的通法训练，精选综合题提升知识迁移能力，通过错题复盘攻克薄弱环节，同时进行限时训练提高解题效率。
【命题预测】核心考点将延续，题型可能融入实际情境或新定义进行创新，考查综合运用能力，但整体难度稳定在中档，仍以基础知识和基本方法的考查为主。
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为
2．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即 .
(2)斜率与倾斜角的对应关系
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为
.
3．直线的方向向量
我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为
.
当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则.
4.直线的点斜式方程
我们把方程
称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．
方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的
，简称点斜式．
注意点：
(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．
(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
5.直线的斜截式方程
(1)直线l与y轴的交点(0，b)的 叫做直线l在y轴上的截距．
(2)把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
注意点：
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．
(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
6.直线的两点式方程
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)，我们把它叫做直线的两点式方程，简称 ．
注意点：
(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．
(2)两点式方程与这两个点的顺序无关．
(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．
7.直线的截距式方程
我们把方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线 ，此时直线在y轴上的截距是b.
注意点：
(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．
(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．
8.直线的一般式方程
我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的 ，简称一般式．
注意点：
(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．
考点一 直线的倾斜角与斜率
典例1．（2025·上海奉贤·模拟预测）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ．
典例2．（2025·四川眉山·模拟预测）已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练1．（2025·江西新余·模拟预测）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2．（2025高三·江西九江）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练3．（2025·湖南湘潭·模拟预测）设函数的两个极值点分别为，．则过，两点的直线斜率为（ ）
A．B．C．D．
考点二 三点共线问题
典例1．（2025高三·北京·期末）已知、、三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
典例2．（2025高三·北京）已知，，三点共线，则＝ ．
跟踪训练1．（2025高三·浙江绍兴·期末）已知三点共线，则 ，直线的倾斜角为 ．
跟踪训练2．（2025高三·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，，三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
考点三 过定点的直线与线段相交问题
典例1．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
典例2．（2025·陕西渭南·模拟预测）已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ．
跟踪训练1．（25-26高三·安徽淮南）已知点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 ．
跟踪训练2．（25-26高三·江苏苏州）设，且，点，过点的直线l与线段始终有交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练3．（25-26高三·贵州）已知两点，过点的直线l与线段（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练4．（25-26高三·广东广州）设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练5．（25-26高三·河南）在平面直角坐标系中，已知点是线段上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．

考点四 直线的方程
典例1．（2025高三·青海西宁）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为 ．
典例2．（2025·陕西汉中·模拟预测）若直线过点，且其一个方向向量为，则直线的方程为 .
跟踪训练1．（2025·山东·模拟预测）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
跟踪训练2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ．
跟踪训练3．（2025高三·江苏镇江·期中）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练4．（2025高三·江苏）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
跟踪训练5．（2025·湖南长沙·模拟预测）过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条．
考点五 直线与坐标轴围成的三角形问题
典例1．（25-26高三·江西）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，则的面积的最小值为（ ）
A．12B．C．8D．6
典例2．（25-26高三·安徽）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ）
A．4B．7C．8D．14
跟踪训练1．（25-26高三·江苏盐城）已知直线．
(1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
(2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．
跟踪训练2．（25-26高三·天津南开）直线过点，与轴、轴的正半轴分别交于，两点，则的面积取得最小值时直线方程为（ ）
A．B．C．D．
考点六 两直线的夹角问题
典例1．（25-26高三·江苏常州）直线与直线的夹角为 ．
典例2．（25-26高三·云南文山）已知直线，若直线过且与直线在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线的斜率是（ ）
A．1B．C．D．或1
跟踪训练1．（2025高三·上海）已知直线，，则与的夹角大小是 ．
跟踪训练2．（河南省天一联考2025-2026学年高三学期阶段性测试（一）数学试卷A卷）已知直线过点，且与直线的夹角为45°，则直线的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
考点七 直线过定点问题
典例1．（25-26高三·天津南开）对任意实数，直线所经过的定点是（ ）
A．B．C．D．
典例2．（2025高三·全国·专题练习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练1．（25-26高三·天津东丽）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．（25-26高三·辽宁沈阳）直线，恒过定点，则的值为（ ）
A．-5B．-4C．-3D．3
考点八 直线方程的综合应用
典例1．【多选】（25-26高三·广东中山）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．经过点且平行于过和点两点的直线方程为
D．已知点，则线段的中垂线方程为
典例2．【多选】（25-26高三·河南南阳·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的斜率，则倾斜角
B．过点且与直线垂直的直线方程为
C．过任意两点，的直线都可以用方程表示
D．直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程表示
跟踪训练1．【多选】（2025·河北·模拟预测）已知正方形ABCD在平面直角坐标系中，且，则直线的方程可能为（ ）
A．B．C．D．
1．（2025·天津红桥·模拟预测）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·吉林·模拟预测）直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（ ）
A．2B．C．D．
3．（2025·广西桂林·模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·四川·模拟预测）已知直线经过点，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．9D．
5．（2025高三·重庆黔江）已知点,直线与轴相交于点,则△中边上的高所在直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为( )
A．B．C．5D．10
1．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·全国·模拟预测）已知直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025高三·江苏）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025高三·北京丰台·期中）已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
3．（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025全国一卷，第7题，5分
求点到直线的距离
直线与圆的位置关系
圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
2025天津卷，第12题，5分
直线的方程
圆的弦长与中点弦
已知圆的弦长求方程或参数
2024甲卷理科，12题，5分
直线过定点问题
圆的弦长与中点弦 等差中项的应用
2024北京卷，3题，4分
求点到直线的距离
由圆的一般方程确定圆心和半径
2023新课标II卷，15题，5分
求点到直线的距离
圆的弦长与中点弦
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°