2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第38讲：数列的通项公式(8个题型归纳)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第38讲：数列的通项公式(8个题型归纳)(学生版+解析)，共12页。学案主要包含了知识梳理，解题策略，相似题1，相似题2，题型4：已知求，题型5：构造法，题型6：取倒数型，题型7：奇偶数列等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
一、核心概念：通项公式与递推公式
1.通项公式：直接关联“项的位置”与“项的数值”的表达式，记为（如）。
2.递推公式：通过“前一项（或前几项）”表示“后一项”的关系式，记为（如）。
3.核心目标：将递推公式转化为通项公式，实现“已知求”的直接计算。
二、高频求法：按递推类型分类（附适用场景+步骤+示例）
（一）等差/等比数列直接公式法（基础型）
适用场景：已知数列是等差或等比数列，且给出首项、公差（或公比）。
核心公式：
示例：若，（等差，），则。
（二）累加法（叠加法）：适用于
适用场景：递推式为“后项-前项=关于的可求和函数”（如、）。
核心步骤：
1.列个等式：
，，，；
2.左右叠加消去中间项：
（表示求和）；
3.代入并计算求和，整理得。
示例：，，则：
。
（三）累乘法（叠乘法）：适用于
适用场景：递推式为“后项÷前项=关于的可约分函数”（如、）。
核心步骤：
1.列个等式：
，，，；
2.左右叠乘消去中间项：
（表示求积）；
3.代入并计算求积，整理得。
示例：，，则：
。
（四）构造法：适用于（为常数，）
适用场景：线性非齐次递推（后项=前项×常数+常数）。
核心思路：构造新等比数列，令（为待定常数），将递推式转化为等比数列。
核心步骤：
1.设，展开得；
2.与原递推式对比，得；
3.新数列：，首项，公比，故；
4.代入，解出。
示例：，，则，，，，故。
（五）已知求：利用
适用场景：给出前项和与的关系式（如）。
关键提醒：必须验证时是否符合的通项，若符合则合并，否则分开写。
核心步骤：
1.当时，；
2.当时，（代入和化简）；
3.验证，确定最终通项。
示例：，则时；时。因，故：
。
（六）倒数法：适用于（为常数）
适用场景：分式线性递推（分子、分母均含和常数）。
核心思路：对递推式取倒数，转化为等差数列或构造法可解的形式。
核心步骤：
1.两边取倒数：；
2.设，则递推式变为（转化为“构造法”类型）；
3.求的通项，再取倒数得。
示例：，，取倒数得，即是首项、公差的等差数列，，故。
三、常用结论（直接套用，节省时间）
题型分类
知识讲解与常考题型
【题型1：已知等差等比数列求通项公式】
【解题策略】
一、解题核心逻辑：先定类型，再找参数，最后套公式
已知等差或等比数列求通项，关键是明确数列类型→确定核心参数（首项、公差/公比）→代入对应通项公式，核心是“参数不全时，通过已知条件列方程求解参数”。
二、等差数列求通项的详细思路（核心公式：）
1.第一步：判断是否为等差数列（前提）
题目可能直接告知“数列是等差数列”，或间接给出递推关系/条件，需先验证：
递推式验证：若（为常数，对任意成立），则为等差数列；
特殊项验证：若（任意），则为等差数列（中项性质）。
2.第二步：提取/求解核心参数（：首项，：公差）
根据题目给出的条件，分3类场景求解参数：
3.第三步：代入公式，整理通项
参数和确定后，直接代入，化简为最简形式（如一次函数，其中，）。
三、等比数列求通项的详细思路（核心公式：，）
1.第一步：判断是否为等比数列（前提，注意易错点）
递推式验证：若（为非零常数，对任意成立，且），则为等比数列；
特殊项验证：若（任意，且），则为等比数列（中项性质）；
易错点：等比数列中不能有0项，公比，若题目给“”，需补充“且”才是等比数列。
2.第二步：提取/求解核心参数（：首项，：公比）
类似等差数列，分4类场景求解参数：
3.第三步：代入公式，整理通项
参数和确定后，代入，若，则通项为常数列（特殊情况，需单独标注）。
四、关键易错点与避坑指南
1.等比数列的“零项禁忌”：若题目中出现，则一定不是等比数列；
2.等比数列公比的“符号判断”：若已知和异号，则为负；若同号，为正（当为奇数时，的符号与一致；当为偶数时，可正可负，需结合题目其他条件判断）；
3.等差数列的“公差为0”：当时，数列为常数列，通项，仍属于等差数列；
4.前项和求通项的“验证”：无论等差还是等比，用求时，必须验证时是否符合的表达式，避免漏写分段通项。
例题精选
【例题1】（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）（1）设是等差数列的前n项和，，，求数列的通项公式；
（2）设等比数列的前n项和为.若公比，，，求n.
【答案】（1），（）；（2）．
【分析】（1）根据已知及等差数列的通项公式、前n项和公式列方程求基本量，进而写出通项公式；
（2）由等比数列的通项公式、前n项和公式列方程求基本量即可.
【详解】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为，d，
由题意，，解得，，
所以，（），
即数列的通项公式为，（）.
（2）依题意，
由于，所以两式相除得，则，
所以，可得，故，
所以，可得.
【例题2】（25-26高二上·浙江绍兴·阶段练习）已知等差数列中，，等比数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差和等比数列基本量的计算即可求解，
（2）对分奇偶，结合分组求和，利用等差数列以及等比数列求和公式即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，
得，所以，
从而，
所以，所以.
（2），故，
当为偶数时，
，
当为奇数时，，
综上可得
相似练习
【相似题1】（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和；
(3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和.
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【分析】（1）根据等差数列定义求出数列的公差，可得其通项公式，再求出数列中的两项可得其公比，即可求出的通项公式；
（2）根据（1）中的通项公式利用错位相减法计算可求出；
（3）根据的定义以及二项式定理可知当时，，当时，，再结合等比数列前项和公式即可求出结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，可得，解得，
所以，
即可得数列的通项公式为；
所以可得，即可得；
因此等比数列的公比为，
所以，
即的通项公式为，
（2）由（1）可知，
因此；
可得，
两式相减可得
；
所以可得；
（3）易知，
又因为，
显然当为奇数时，，此时除以3的余数为2，
因此当时，；
当为偶数时，，此时除以3的余数为1，
因此当时，
经检验可知当时，，当时，，当时，，当时，；
所以数列的前项和
；
即可得.
【相似题2】（2025·广东·模拟预测）已知等差数列与等比数列满足，，．
(1)求，的通项公式；
(2)记，为数列的前项和．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若当时，以，，为三边无法构成一个三角形，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）把等差数列的通项公式与等比数列的通项公式代入到条件中，解方程即可.
（2）（ⅰ）分类讨论，当为偶数时，错位相减法可求出；当为奇数时，利用可求出.
（ⅱ）考虑可以构成三角形的情况，利用“三角形两边之和大于第三边”，分类讨论即可.
【详解】（1）记公差为，公比为，
则，，
故，
则
即，
故，解得，故，．
（2）（ⅰ）由，
当为偶数时，
，
而，
两式相减，可得到
，
故此时；
当为奇数时，
，
于是．
（ⅱ）考虑可以构成三角形的情况．
当为奇数时，，
，，
于是，
故要能够以，，为三边构成一个三角形，
则只需即可．
则，
当时，，，
故此时；
当时，显然．
故由为奇数可知此时的最大值为3．
当为偶数时，，
，．
当时，，，，此时显然可构成三角形，
当时，易知，
故只需，即可构成三角形．
而
故当为偶数时，以，，为三边必然构成一个三角形．
综上，的最大值为3．
【题型2：累加法求通项公式】
【解题策略】
一、累加法的适用场景（核心判断标准）
仅适用于递推关系为“后项-前项=关于n的函数”的数列，即递推式满足：
（）
其中，需满足“可求和”特征——常见类型包括：一次函数（如）、等比数列（如，）、分式可拆项（如）、幂函数（如）等。
二、累加法的四步核心解题流程（无例题纯操作）
第一步：列写“差值等式”（关键：覆盖所有中间项）
根据递推式，从开始，依次列写至的等式，共得到个等式：
当时：
当时：
当时：
当时：
（列写至的目的：确保左边相邻项能抵消，仅保留首尾项）
第二步：左右“叠加消项”（核心操作：消去中间项）
将第一步列写的个等式，左右两边分别进行相加：
左边相加：
相邻项相互抵消（与、与…与），最终简化为：
右边相加：
用求和符号简化表示为：（“”表示从到的累加）
叠加后得到核心等式：
第三步：计算“右侧和式”（关键：匹配求和方法）
根据的具体类型，选择对应的求和公式或方法，计算的值，常见适配关系如下：
（若为混合型，如，则拆分求和：）
第四步：整理“得到通项”（最终步骤：代入首项）
将第一步中已知的首项（题目通常直接给出或可通过时的条件求得）代入“叠加后核心等式”，解出：
将第三步计算出的的结果代入，化简后得到最终的通项公式（为关于的表达式）。
三、累加法的关键注意事项（避坑指南）
1.n的取值范围把控：列写等式时仅能到，若列到会多出项，导致无法消去；最终通项需满足，若时不满足化简后的表达式，需单独标注（极少出现，累加法通常自动适配）。
2.首项的确认：必须明确题目给出的首项是（而非或其他项），若给出的是（），需先通过递推式反向计算，再代入求和。
3.和式计算的准确性：牢记常见求和公式的适用条件（如等比数列求和需，若则和为，），避免公式混淆或计算错误。
例题精选
【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项．
【答案】．
【分析】由递推关系式，利用累加法即可求解.
【详解】由，
得，
，
，
…
，
．
对这个式子求和得，而也满足该式，
所以．
【例题2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)令（），求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由累加法求数列通项公式即可；
（2）由裂项相消法求和即可．
【详解】（1）令，，又由有，
则有
，
所以．
又因为数列的各项均为正数，所以．
（2）由
，
知
．
相似练习
【相似题1】（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）数列满足，且对任意的都有，则 ．
【答案】
【分析】根据已知得，应用累加法、等差数列前n项和求数列通项.
【详解】因为，所以，
当时，，
其中满足，
所以数列的通项公式为.
故答案为：
【相似题2】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在数列中，，数列的前项和为，若，则数列的前项和为 .
【答案】
【分析】应用累加法及等差数列前n项和公式得，再应用裂项相消法求数列的前项和.
【详解】因为，
所以，
所以数列的前项和.
故答案为：
【题型3：累乘法求通项公式】
【解题策略】
一、适用场景
仅适用于递推式为（）的数列，且需满足“可约分”特征（如分式、幂函数等），同时（保证除法有意义）。
二、四步核心解题流程
1.列差值等式：从到，列个等式：
时，时，…，时。
2.叠乘消项：左右分别相乘：
左边：（中间项约分抵消）；
右边：（表示累加）。
得核心等式：。
3.计算右侧积：按类型约分/化简：
4.整理通项：代入首项，得，化简后即为最终通项。
三、关键注意事项
1.：若题目未明确，需默认（否则无意义）；
2.列等式仅到：避免多出项，确保能消项；
3.约分准确：分式型需注意分子分母对应项抵消，避免漏项。
例题精选
【例题1】（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，则 的通项公式为
【答案】
【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式.
【详解】已知，将换为，可得，
那么（）.
利用累乘法求（），
由（）可得：
观察发现，约分后可得（）.
当时，，与已知相符.
所以，.
故答案为：，.
【例题2】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 .
【答案】
【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项.
【详解】，，
，即，
.
故答案为：.
相似练习
【相似题1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】根据累乘法求通项公式即可.
【详解】因为，，
所以，，，…，，
累乘得，，
所以，，
由于，所以，，
显然当时，满足，
所以，
故答案为：.
【相似题2】（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】当时，，化简得，利用累乘法计算得到，满足上式，写成分段的形式即可.
【详解】当时，，
化简得，，利用累乘法得
，
显然满足上式，
所以
故答案为：
【题型4：已知求】
【解题策略】
已知求：利用
适用场景：给出前项和与的关系式（如）。
关键提醒：必须验证时是否符合的通项，若符合则合并，否则分开写。
核心步骤：
1.当时，；
2.当时，（代入和化简）；
3.验证，确定最终通项。
示例：，则时；时。因，故：
。
例题精选
【例题1】（25-26高三上·广东广州·阶段练习）若，已知数列中，首项，，，则 .
【答案】
【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可.
【详解】，
，即，
，
时，，两式相减得，
时，，故数列为常数列，
因为，故，
又时也符合上式，故，
，
．
记，
则，
两式相加得，，即，则．
故答案为：
【例题2】（25-26高二上·甘肃白银·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，则 ．
【答案】
【分析】分当和结合依次求出和，再检验是否满足即可得解.
【详解】当时，，
当时，，此时不成立，
所以.
故答案为：
相似练习
【相似题1】（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）记数列的前n和为，已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】由条件结合关系，可得，，再证明数列为首项为，公比为的等比数列，结合等比数列通项公式可得结论.
【详解】因为，，
又，，
所以，，即，
可得，又，
所以数列为首项为，公比为的等比数列，
有，所以，
则，
故答案为：
【相似题2】（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，且数列的前项和为，则 .
【答案】
【分析】应用得出，再应用裂项相消法计算求解.
【详解】若，则；
若，则.
所以，，即.
又也满足，所以.
由于，
所以.
故答案为：.
【题型5：构造法】
【解题策略】
一、适用场景（核心递推类型）
仅针对线性非齐次递推式：（为常数，且）
（若，递推式变为，需用累加法，而非此构造法）
二、三步核心流程（构造等比数列）
第一步：设构造式（目标：转化为等比数列）
设（为待定常数），将递推式转化为新数列的等比关系，其中。
第二步：求待定常数（关键：对比系数）
1.展开构造式：→
2.与原递推式对比，得等式：
3.解出：
第三步：求新数列→反推原通项
1.确定新数列：
首项：（为题目已知首项）
公比：（与原递推式中的系数一致）
通项：（等比数列通项公式）
2.反推原数列通项：
由，得
3.代入化简，得到最终。
三、易错点（避坑关键）
1.不适用：若，的分母为0，构造式无效，此时递推式为等差数列型，用累加法；
2.新数列首项计算：必须是，而非；
3.化简验证：得到后，可代入原递推式验证（如代入求，与递推结果对比），确保正确。
例题精选
【例题1】（24-25高二下·四川成都·期末）已知数列的前n项和为，若，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系，结合构造法求解.
【详解】数列中，，则，解得，
，即，于是，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，
所以（）.
故答案为：
【例题2】（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 .
【答案】5
【分析】构造等比数列计算得出通项公式，再应用等比数列求和公式计算求出参数的最大值.
【详解】，，且，
是以为首项, 为公比的等比数列.
, .
,
，即，
, ,
的最大值是.
故答案为：5.
相似练习
【相似题1】（24-25高二下·湖北·期中）数列中，，，则通项 ．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式.
【详解】数列中，由，得，而，
因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则，
所以.
故答案为：
【相似题2】（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】由得，构造等比数列即可求解.
【详解】由，，，可得，
所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以，
则，；
故答案为：.
【题型6：取倒数型】
【解题策略】
一、适用场景（唯一判断标准）
仅适用于分式线性递推式：（为非零常数，且，否则无法取倒数）
二、三步核心解题流程（无冗余步骤）
第一步：对递推式取倒数，转化为线性递推
两边同时取倒数（因，操作合法）：
整理为新的线性递推关系：
第二步：设新数列，将问题转化为已知类型
令（新数列定义），则原递推式变为：
（其中，，均为常数）
此时，的递推式属于“线性非齐次型”，可通过以下方法求解：
若：是等差数列（公差为），用等差数列通项公式求；
若：用“构造等比数列法”求（设，解出后构造等比数列）。
第三步：求原数列通项（回代取倒数）
1.先求出新数列的通项公式；
2.因，两边取倒数得原数列通项：
三、两大易错点（必避坑）
1.原数列非零验证：若题目未明确，需先证明（通常由首项和递推式可推出所有）；
2.新数列首项计算：（必须用原数列首项计算，不可错用等）。
例题精选
【例题1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则 ．
【答案】
【分析】构造数列，证明该数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式.
【详解】由，
即，因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
即，所以．
故答案为：
【例题2】（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ．
【答案】19
【分析】取倒数可得，即可得数列的通项公式，计算即可得.
【详解】∵，则，
∴，∴故数列为等差数列，公差等于2，
又，故，
∴.
故答案为：19．
相似练习
【相似题1】（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 .
【答案】
【分析】将变形可得数列为等差数列，再借助等差数列求解即得.
【详解】数列中，，，显然，取倒数得，
即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列，
因此，所以.
故答案为：.
【相似题2】（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.
【详解】数列中，，，显然，
则有，即，而，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
故答案为：
【题型7：奇偶数列】
例题精选
【例题1】（25-26高三上·浙江温州·开学考试）在已知数列中，
(1)求数列的通项公式.
(2)数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由题意中的递推公式可得、，结合等比数列的定义即可求解；（2）设中存在不同的三项恰好成等差数列，分类讨论均为奇数、二奇一偶、一奇二偶、均为偶数的情况下，结合等差中项的应用即可下结论.
【详解】（1）由题意得，，
所以成等比数列，故；
，而，
所以成等比数列，故，故；
（2）设中存在不同的三项恰好成等差数列，
①若均为奇数，不妨设，则，即，
得，因为是奇数，是偶数，故不可能成立；
②若二奇一偶，不妨设为奇数，为偶数，
则为偶数，为奇数，则，即，
因为被3除余2，同理也被3除余2，
故被3除余1，而为3的倍数，故不可能成立；
③若一奇二偶，不妨设为偶数，为奇数，则为奇数，为偶数，
则，即，
因为为3的倍数，不是3的倍数（被3除余1），故不可能成立；
④若均为偶数，不妨设，则，即，
得，因为被3除余是3的倍数，故不可能成立，
综上中不存在不同的三项恰好成等差数列.
【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，
【分析】先假设为等比数列，可得为常数，即可确定的值.
【详解】设，
因为．
若数列是等比数列，则必须有（常数），
即，即.
此时，
所以存在实数，使数列是等比数列．
相似练习
【相似题1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列满足．记（）．
(1)计算，并证明数列为等比数列；
(2)设，且数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)，，证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题设递推关系求，并得到，结合等比数列的定义即可证；
（2）由（1）得，则，进而可得即可证.
【详解】（1）由题设，
，
，且，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）知，则，
．
.
【相似题2】（2025·福建莆田·模拟预测）已知数列满足，
(1)记，求，，并证明数列是等比数列；
(2)记，求满足的所有正整数的值.
【答案】(1)，，证明见解析
(2)1，2，3，4.
【分析】（1）利用递推关系来证明等比数列即可；
（2）利用通项公式可求等比数列前项和，然后通过赋值结合单调性可作出判断.
【详解】（1）由题意，，，，
所以，，
又因为，
所以数列是首项为5，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知，所以，
所以，
因为单调递增，
且，
所以正整数的所有取值为1，2，3，4.
【题型8：通项公式的综合】
例题精选
【例题1】【多选】（24-25高二下·四川凉山·期末）已知数列的前项和为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据数列递推公式，前项和与通项公式之间的关系，求出数列通项公式，进而求出前项和公式，逐一判断各选项正误；
【详解】已知，则，所以A错误；
由，可得，
可得，即，
当时，，即数列自第二项开始是以1为首项，2为公比的等比数列，即，所以B错误；
，所以C正确，
当时，，符合条件，
当时，，所以D正确；
故选：CD.
【例题2】【多选】（24-25高二下·江西新余·期末）已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．设，则的最小值为12
C．若对任意的恒成立，则
D．设，若数列的前n项和为，则
【答案】ACD
【分析】对于A：先求，结合等比数列性质分析求解；对于B：由，利用基本不等式判断；对于C：由对恒成立求解判断；对于D：由，利用裂项相消法求解判断.
【详解】对于选项A：因为，
所以当时，，当时，，
因为为等比数列，所以，即，解得，
此时符合，则，，即为等比数列，故A正确；
对于选项B：因为，，
所以，当且仅当，即时等号成立，
因为，所以不能取到，故B错误；
对于选项C：因为，
所以当时，，当时，，则，
因为符合上式，所以，
若对任意的恒成立，则对恒成立，
令，则，
当时，，当时，，当时，，
所以，则，故C正确；
对于选项D：由题意得，，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
相似练习
【相似题1】【多选】（2025·江西·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据递推关系即可判断A选项；再利用迭代法可求数列的通项公式判断B选项；利用分组求和判断C选项；利用等差数列求和公式判断D选项.
【详解】因为，所以，解得，故A错误；当时，
，
则，且也符合，故B正确；
，故C正确；
，则，故D正确.
故选：BCD
【相似题2】【多选】（2025·宁夏石嘴山·三模）已知数列满足的前项和为，则（ ）
A．
B．
C．构成等差数列
D．数列前100项和为
【答案】ABD
【分析】根据给定的递推公式求出通项公式判断AB；求出前项和并结合等差数列定义判断C；利用裂项相消法求和判断D.
【详解】数列中，，
对于A，，A正确；
对于B，，则，
解得，当时，，而满足上式，因此，
所以，B正确；
对于C，，，
，C错误；
对于D，，则，D正确.
故选：ABD
数列类型
通项公式
关键条件
等差数列
（常数）
等比数列
（，常数）
结论类别
具体结论
等差数列性质
1.若（），则；
2.前项和。
等比数列性质
1.若（），则；
2.前项和。
常见数列通项
1.奇数数列：→；
2.偶数数列：→；
3.平方数列：→；
4.递推→。
累加常用和公式
1.；
2.；
3.。
已知条件类型
解题方法
示例
直接给和
直接代入公式
已知，，则
给和某一项
代入公式列方程：，解出，再写通项
已知，，则，故
给两项和（）
列方程组：，消去求，再求
已知，，则，解得，，故
给前项和
先求，再用（），验证后确定通项（需满足等差数列性质）
已知，则；时，验证为等差数列，故
已知条件类型
解题方法
示例
直接给和
直接代入公式
已知，，则
给和某一项
代入公式列方程：，解出（注意的符号，若为偶数，可能有正负）
已知，，则，故
给两项和（）
列方程组：，两式相除消去求（），再求
已知，，则，代入，故
给前项和
先求，再用（），验证后确定通项（需满足等比数列性质，注意时）
已知，则；时，验证为等比数列，故
的类型
对应的求和方法/公式
等差数列型（如）
等差数列求和公式：（此处）
等比数列型（如，）
等比数列求和公式：（此处）
分式可拆项型（如）
裂项相消法：，叠加后消去中间项求和
幂函数型（如）
平方和公式：（此处）
类型
求积方法
分式
交叉约分（如）
幂函数
指数运算（如）