2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第32讲：圆的方程(知识梳理+题型总结)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第32讲：圆的方程(知识梳理+题型总结)(学生版+解析)，共18页。学案主要包含了知识梳理，考点一：圆的方程，针对训练，解题策略，考点二：圆的对称性等内容，欢迎下载使用。
一、圆的定义
平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合（轨迹）叫做圆。
核心要素：圆心（确定圆的位置）、半径（确定圆的大小），二者缺一不可。
教材例题关联：常通过定义推导圆的标准方程，如人教版必修2中“根据两点间距离公式推导圆心为、半径为的圆的方程”。
高考真题体现：2023年全国乙卷文科第6题，通过圆上点到定点的距离为定长，间接求圆心坐标。
二、圆的三种方程形式
1.标准方程（最常用，优先用于已知圆心和半径的场景）
形式：（）
其中，圆心为，半径为；若圆心在原点，方程简化为。
关键应用：
直接书写：已知圆心、半径，方程为（常考符号细节）。
求圆心/半径：由方程，得圆心、半径（注意圆心坐标符号与方程相反）。
高考真题示例：2022年新高考I卷第14题，已知圆过两点且圆心在某直线上，先设标准方程，列方程求解圆心和半径。
2.一般方程（适用于已知圆上三点或方程含二次项的场景）
形式：（，此为“圆的条件”，若等于0为点圆，小于0无轨迹）
与标准方程的转化：通过“配方”实现
配方过程：
即
由此得：圆心，半径（高频计算点，易漏负号和系数）。
常考模拟题场景：已知圆过、、三点，代入一般方程列方程组求，再判断是否满足圆的条件。
3.参数方程（适用于求圆上点的最值、轨迹问题，高考选填题高频）
形式：若圆的标准方程为，则参数方程为：
（为参数，几何意义：圆心到圆上点的连线与x轴正方向的夹角）
核心应用：求圆上点到定点的距离最值。
例：圆上的点到点的距离最大值，用参数方程设圆上点为，距离公式化简后结合三角函数最值（最大值为“圆心到定点距离+半径”）。
教材例题关联：人教版必修2“用参数方程表示圆上点的坐标，求最值”，高考2021年浙江卷第10题曾用此方法求解范围问题。
三、确定圆的方程的方法（解题核心：“两要素法”——求圆心和半径）
1.定义法（已知定点到圆上点的距离为定长）
步骤：①确定圆心（如定点、线段垂直平分线的交点）；②计算半径（圆心到圆上某点的距离）；③代入标准方程。
示例：已知圆的圆心在x轴上，且过点和，先求两点垂直平分线方程（），与x轴交点（圆心），再算半径，方程为。
2.待定系数法（最通用，分“设标准方程”和“设一般方程”）
设标准方程：已知圆心在某直线上（如y=x）、或已知半径，设，代入已知条件列方程求解（a,b,r）。
高考真题：2020年全国III卷文科第11题，已知圆与y轴相切且过两点，设标准方程后利用“与y轴相切则半径等于圆心横坐标绝对值”列方程。
设一般方程：已知圆上三点、或方程中含多个未知系数，设，代入三点坐标得三元一次方程组，求解（D,E,F），最后验证。
四、点与圆的位置关系（基础考点，常结合最值、存在性问题）
设点，圆，计算点到圆心的距离，则：
1.点在圆内：（等价于）；
常考场景：若点在圆内，代入得，且满足圆的条件，联立求m范围（模拟题高频）。
2.点在圆上：（等价于）；
应用：已知点在圆上，代入方程求参数，如2024年北京模拟题，点在圆上，代入得，求k值。
3.点在圆外：（等价于）；
题型分类
知识讲解与常考题型
【考点一：圆的方程】
【例题】1．（25-26高二上·全国·随堂练习）过且与两坐标轴都相切的圆的方程为 ．
2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知圆经过，两点，圆心在轴上，则圆的标准方程是 ．
【针对训练】3．（25-26高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程：
(1)圆心在点，且过点；
(2)过点和点，半径为；
(3)过三点.
4．（2025高三·全国·专题练习）到两定点和的距离的比等于2（即），求动点的轨迹方程．
5．（2025高三·全国·专题练习）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 ．
【解题策略】
一、“已知圆心与半径”类题型解题策略
1.方程形式选择：优先选用圆的标准方程，直接代入圆心与半径即可，无需额外复杂计算。
2.关键注意点：若圆心坐标含负号，代入方程时需注意符号转换（如圆心，方程中应为）；半径需确保为正数，若题目给出“直径”，需先换算为半径（半径=直径/2）。
二、“已知圆上点”类题型解题策略
1.已知圆上三点
方程形式选择：选用一般方程，避免标准方程中多个未知量（）的复杂求解。
核心步骤：将三点坐标分别代入一般方程，得到关于的三元一次方程组，解方程组求出；最后必须验证，确保方程表示圆（非点圆或无轨迹）。
2.已知圆上两点且附加条件（如圆心在某直线上、圆与某轴相切等）
方程形式选择：优先设标准方程，利用“两点在圆上”列方程（两点代入标准方程得两个等式），再结合附加条件列第三个方程，联立求解。
附加条件转化技巧：
若“圆心在直线”上，直接将代入方程组；
若“圆与x轴相切”，则半径（圆心纵坐标的绝对值）；若“圆与y轴相切”，则半径（圆心横坐标的绝对值）。
【考点二：圆的对称性】
【例题】1．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于直线对称，则 ．
2．（24-25高二上·北京·期中）过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 .
【针对训练】1．（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 .
2．（23-24高二上·宁夏银川·期末）若圆（，）被直线平分，则的最大值为 .
3．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）圆 关于直线对称的圆的方程为 .
【解题策略】
一、“利用圆的中心对称（关于圆心对称）”类题型解题策略
1.核心特性依托：圆是中心对称图形，对称中心为圆心；圆上任意一点关于圆心的对称点必在圆上。
2.常见题型适配策略：
求圆上点的对称点：直接套用对称点公式，无需额外计算，只需明确圆心坐标即可；若已知圆的方程，先通过方程（标准/一般式）求出圆心，再代入公式。
利用中心对称求圆的方程：若已知圆与圆C'关于某点（非圆心）中心对称，先求已知圆圆心关于该对称点的对称点（即所求圆圆心），半径与已知圆相等，再代入标准方程；若圆上两点关于圆心对称，可直接通过两点坐标求圆心（圆心为两点中点）。
3.关键注意点：中心对称问题中，“半径不变”是隐含条件，无需额外推导，只需聚焦“圆心的对称转化”。
二、“利用圆的轴对称（关于直径所在直线对称）”类题型解题策略
1.核心特性依托：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是对称轴；过圆心的直线必为圆的对称轴，且圆上任意一点关于对称轴的对称点仍在圆上。
2.常见题型适配策略：
判断直线是否为圆的对称轴：只需验证“直线是否过圆心”，若直线方程满足圆心坐标（代入直线方程等式成立），则为对称轴；若已知圆的方程，先求圆心，再代入直线方程判断。
已知圆的对称轴求参数（如圆方程中含参数）：根据“对称轴过圆心”，将圆心坐标代入对称轴直线方程，列方程求解参数；若对称轴为坐标轴（如x轴、y轴），则圆心对应坐标为0（x轴为对称轴时，圆心纵坐标；y轴为对称轴时，圆心横坐标）。
利用轴对称求圆上点的最值/轨迹：若所求问题与轴对称相关（如“圆上点到两条对称直线的距离之和”），可利用对称性将其中一条直线上的距离转化为另一条直线上的距离，简化计算；若圆上两点关于某直线对称，则该直线必过圆心，可通过此条件求圆心或直线参数。
3.关键转化技巧：轴对称问题的核心是“对称轴过圆心”，所有条件均可围绕这一特性转化为“圆心与直线的位置关系”，避免复杂的点对称计算。
三、“圆与对称图形（如轴对称函数、中心对称图形）结合”类题型解题策略
1.核心思路：先明确对称图形的对称中心/对称轴，再结合圆的对称性，找到“圆的圆心与对称图形的对称元素”的关联，建立方程求解。
2.常见场景适配策略：
圆与轴对称函数（如二次函数、绝对值函数）结合：先求函数的对称轴，根据“圆与函数图像有对称关系”（如圆上点关于函数对称轴对称后仍在圆上），得出“函数的对称轴必为圆的对称轴”，进而推导圆心在函数对称轴上，列方程求圆心参数。
圆与中心对称图形（如反比例函数、奇函数图像）结合：先求图形的对称中心，根据“圆与图形有中心对称关系”，得出“图形的对称中心必为圆的对称中心（圆心）”，直接确定圆心坐标，再结合其他条件（如圆过某点）求半径。
3.关键注意点：此类题型需先独立分析非圆图形的对称性，再与圆的对称性建立联系，避免混淆两种图形的对称特性；若题目未明确对称关系，可通过“圆上任意一点的对称点仍在圆上”反向推导对称元素与圆心的关系。
【考点三：与圆有关的最值问题】
【例题】1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，，与的交点为，为原点，当在实数范围内变化时，的取值范围是 ．
【针对训练】1．（2025高二·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最小值是 ．
2．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 .
3．（24-25高一下·广东·期中）在圆心在原点的单位圆上，有三个不同的点A，B，C，AB为直径，，点，则的取值范围是 ．
4．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ．
【解题策略】
一、核心原则：几何优先，聚焦“圆心、半径与距离”
圆的最值问题本质是“圆上点的极端位置”问题，优先利用圆的几何性质（圆心到点/直线的距离、两圆圆心距）求解，避免复杂代数运算；若几何法受限，再用参数方程、函数等代数方法辅助。
二、分类型解题策略
1.点与圆的距离最值（含定点到圆上点、圆上点到圆上点）
（1）定点到圆上点的距离最值
核心依据：圆上点到定点的距离的极端位置，在“定点与圆心的连线与圆的交点”上（近点为连线靠近定点的交点，远点为远离定点的交点）。
解题策略：
①设圆的圆心为、半径为，定点为；
②计算圆心到定点的距离；
③距离最大值：（远点距离），最小值：（近点距离，若在圆内，最小值为）。
关键注意点：无需列函数或参数方程，直接用“与的组合”计算，效率最高。
（2）两圆上点的距离最值（跨圆距离）
核心依据：两圆上点的距离极端位置，在“两圆圆心的连线与两圆的交点”上。
解题策略：
①设两圆的圆心为，半径为，圆心距为；
②分情况求最值：
外离/外切/相交/内切：最大值均为（两圆外侧交点距离）；
外离：最小值为（两圆内侧交点距离）；
外切/相交/内切：最小值为（两圆有公共点）；
内含：最小值为（大圆内侧与小圆外侧交点距离）。
2.直线与圆的距离最值（含圆心到直线、圆上点到直线）
（1）圆心到直线的距离（基础参考量）
核心依据：圆心到直线的距离是圆与直线位置关系的判断标准，也是后续求圆上点到直线距离最值的基础。
解题策略：直接用点到直线的距离公式（直线，圆心），无需额外转化。
（2）圆上点到直线的距离最值
核心依据：圆上点到直线的距离的极端位置，在“圆心到直线的垂线段与圆的交点”上（近点为垂线段靠近直线的交点，远点为远离直线的交点）。
解题策略：
①计算圆心到直线的距离；
②距离最大值：（远点距离），最小值：（近点距离，若直线与圆相交，最小值为）。
关键注意点：无需联立直线与圆的方程求交点，直接用“与的组合”，避免代数运算冗余。
3.圆上点的坐标及表达式最值（横纵坐标、线性/非线性表达式）
（1）圆上点的横/纵坐标最值
核心依据：圆上点的横/纵坐标的极端值，在圆与x轴/y轴的交点，或圆心横/纵坐标与半径的组合。
解题策略：
①设圆心为，半径为；
②横坐标：最大值，最小值；
③纵坐标：最大值，最小值。
（2）圆上点的线性表达式最值（如、等）
方法1：几何法（推荐，更快捷）
核心依据：线性表达式表示斜率固定的直线，的最值对应直线与圆有公共点时的“截距极端值”，此时直线与圆相切（截距最大/最小）。
解题策略：
①设，整理为直线方程；
②由“直线与圆相切”得圆心到直线的距离等于半径，即；
③解绝对值方程得的两个值，即最大值与最小值。
方法2：参数方程法（辅助，适合三角函数熟悉者）
核心依据：圆的参数方程将横纵坐标转化为三角函数，线性表达式可化为“”的形式，其值域为。
解题策略：
①用圆的参数方程代入线性表达式；
②整理为的形式（为常数）；
③利用三角函数值域求最值：最大值，最小值。
（3）圆上点的非线性表达式最值（如、等）
类型1：斜率型（，表示圆上点与定点连线的斜率）
核心依据：斜率最值对应“定点与圆上点的连线为圆的切线”时的斜率。
解题策略：
①设斜率为，得直线方程（整理为标准式）；
②由“直线与圆相切”得圆心到直线的距离等于半径，列方程求的最值。
类型2：距离平方型（，表示圆上点与定点距离的平方）
核心依据：距离平方的最值与距离的最值同步，无需额外计算。
解题策略：先求圆上点到定点的距离最值（见“点与圆的距离最值”），再平方即得结果。
4.圆的面积最值（本质是半径最值）
核心依据：圆的面积，面积最值等价于半径的最值。
解题策略：
①根据题目条件（如圆过定点、圆心在某直线上），将半径转化为“圆心到定点的距离”（如过定点的圆，）；
②求半径的最值（即求圆心到定点的距离最值，结合圆心的约束条件，如圆心在某直线上时，距离最值为“定点到直线的距离”）；
③代入面积公式得最值。
三、通用关键注意点
1.几何优先：所有最值问题先尝试“找圆心、算距离、结合半径”，避免直接用代数法（如联立方程、求导）增加计算量；
2.极端位置：圆上点的极端位置必在“圆心与关联点（定点、直线垂足）的连线上”，无需遍历所有点；
3.公式记忆：核心公式（点到直线距离、两圆圆心距与半径的组合）需熟练，避免混淆最值的加减关系。
课后针对训练
一、单选题
1．（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．3
3．（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2006·湖南·高考真题）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）
A．36B．18C．D．
5．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
6．（2017·全国·高考真题）已知点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025·重庆·三模）已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（24-25高三上·北京·期中）已知定点，，若点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．（2025·陕西汉中·二模）设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ．
10．（2025·安徽·模拟预测）已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为 .
11．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
12．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
13．（2025·湖北十堰·三模）定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ．
14．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则