2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题4.3三角恒等变换(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题4.3三角恒等变换(学生版+解析)，共10页。

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\l "_Tc19905" 【题型1 两角和与差的三角函数公式】 PAGEREF _Tc19905 \h 4
\l "_Tc9547" 【题型2 两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】 PAGEREF _Tc9547 \h 6
\l "_Tc2428" 【题型3 辅助角公式的运用】 PAGEREF _Tc2428 \h 7
\l "_Tc28333" 【题型4 二倍角公式及其应用】 PAGEREF _Tc28333 \h 9
\l "_Tc21312" 【题型5 三角函数式的化简】 PAGEREF _Tc21312 \h 10
\l "_Tc19654" 【题型6 给角求值型问题】 PAGEREF _Tc19654 \h 11
\l "_Tc32611" 【题型7 给值求值型问题】 PAGEREF _Tc32611 \h 13
\l "_Tc2865" 【题型8 给值求角型问题】 PAGEREF _Tc2865 \h 14
\l "_Tc14664" 【题型9 半角公式、万能公式及应用】 PAGEREF _Tc14664 \h 17
\l "_Tc17708" 【题型10 三角恒等变换的综合应用】 PAGEREF _Tc17708 \h 19
1、三角恒等变换
知识点1 三角恒等变换思想
1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出.
常用的角的代换形式：
①α=(α+β)-β；
②α=β-(β-α)；
③；
④；
⑤；
⑥.
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换.
(3)辅助角公式
通过应用公式[或将形如asinα
+bcsα (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
知识点2 二倍角公式
1．二倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
2．二倍角公式的变形应用
(1)倍角公式的逆用
①：，，.
②：.
③：.
(2)配方变形
.
(3)因式分解变形
.
(4)升幂公式
；.
知识点3 三角恒等变换的应用技巧
1．两角和与差的三角函数公式的应用技巧
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
3．辅助角公式的运用技巧
对asinx+bcsx化简时，辅助角的值如何求要清楚.
4．角的变换问题的解题策略：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角变换：，，，
，等.
知识点4 三角恒等变换几类问题的解题策略
1．给值求值问题的解题思路
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
2．给角求值问题的解题思路
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
3．给值求角问题的解题思路
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
4．三角恒等变换的综合应用的解题策略
三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
【方法技巧与总结】
1．.
2．降幂公式：，.
3．，，.
【题型1 两角和与差的三角函数公式】
【例1】（2025·广东·模拟预测）已知csα+β=13,csαcsβ=12，则csα−β=（ ）
A．23B．−23C．13D．−13
【答案】A
【解题思路】根据和差角的余弦公式即可求解.
【解答过程】∵csα+β=csαcsβ−sinαsinβ=13,csαcsβ=12,∴sinαsinβ=12−13=16,
∴csα−β=csαcsβ+sinαsinβ=12+16=23.
故选：A.
【变式1-1】（2025·河北石家庄·模拟预测）已知sin(α+β)=2cs(α−β)，tanα+tanβ=43，则tanα⋅tanβ=（ ）
A．3B．−3C．13D．−13
【答案】D
【解题思路】利用两角和差公式可得tanα+tanβ=2+2tanαtanβ，结合题意即可得结果.
【解答过程】因为tanα+tanβ=43，则csα≠0，csβ≠0，
又因为sin(α+β)=2cs(α−β)，
则sinαcsβ+csαsinβ=2csαcsβ+2sinαsinβ①，
等式①的两边同时除以csαcsβ
可得tanα+tanβ=2+2tanαtanβ=43，解得tanαtanβ=−13.
故选：D.
【变式1-2】（2025·全国·模拟预测）已知sinθ+π6=33（−2π3≤θ≤π3），则sinθ+π3=（ ）
A．3−66B．3+66C．63D．33
【答案】B
【解题思路】通过θ+π3=θ+π6+π6及两角和的正弦公式即可求解.
【解答过程】由−2π3≤θ≤π3可得−π2≤θ+π6≤π2，
又sinθ+π6=33，则csθ+π6=63，
故sinθ+π3=sinθ+π6+π6=sinθ+π6csπ6+csθ+π6sinπ6
=33×32+63×12=3+66.
故选：B.
【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）已知sinα+β=2sinαsinβ，tanαtanβ=−2，则tanα+β=（ ）
A．−43B．43C．−2D．2
【答案】A
【解题思路】根据两角和的正弦公式和同角的商数关系可得tanα+tanβtanαtanβ=2，进而tanα+tanβ=−4，结合两角和的正切关系计算即可求解.
【解答过程】由sin(α+β)=2sinαsinβ，得sinαcsβ+sinβcsα=2sinαsinβ，
等式两边同时除以sinαsinβ，得1tanβ+1tanα=2，
即tanα+tanβtanαtanβ=2，又tanαtanβ=−2，所以tanα+tanβ=−4，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−43.
故选：A.
【题型2 两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】
【例2】（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为3的是（ ）
A．4sin15°cs15°B．2cs46°cs16°−sin46°sin16°
C．1+tan15°1−tan15°D．8cs10°cs20°cs40°
【答案】C
【解题思路】应用二倍角公式、和角公式及特殊角的三角函数值，把各项表达式转化为特殊角的三角函数值，判断结果.
【解答过程】A、利用二倍角公式sin2θ=2sinθcsθ，
可得：4sin15∘cs15∘=2⋅2sin15∘cs15∘=2sin30∘=2⋅12=1，A错误.
B、利用余弦和角公式csA+B=csAcsB−sinAsinB，
得：cs46∘cs16∘−sin46∘sin16∘=cs46∘+16∘=cs62∘因此原式为：2cs62∘≈2⋅0.4965=0.939≠3，B错误.
C、利用正切和角公式tanA+B=tanA+tanB1−tanAtanB，令A=45∘,B=15∘，
则tan45∘+15∘=tan60∘=3=1+tan15∘1−tan15∘，C正确.
D、利用递推积化和差公式，结合sin8θ=8sinθcsθcs2θcs4θ，得：8cs10∘cs20∘cs40∘=sin80∘sin10∘=cs10∘sin10∘≈5.671≠3.
D错误.
故选：C.
【变式2-1】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）sin160°cs10°+cs20°cs80°=（ ）
A．32B．−32C．12D．−12
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式及和角的正弦求解.
【解答过程】sin160°cs10°+cs20°cs80°=sin20°cs10°+cs20°sin10°=sin30°=12.
故选：C.
【变式2-2】（2025·湖南·模拟预测）已知α∈0,π2,β∈0,π2，且tanα+tanβ=1csβ，则（ ）
A．2β−α=π2B．2β+α=π2
C．2α−β=π2D．2α+β=π2
【答案】D
【解题思路】化切为弦，逆用两角和的正弦公式化简得sinα+β=csα，根据诱导公式及正弦函数的性质得α+β=π2−α或α+β+π2−α=π，即可得解.
【解答过程】因为tanα+tanβ=1csβ，所以sinαcsα=1−sinβcsβ，
即sinαcsβ=csα−sinβcsα，整理得sinα+β=csα，
即sinα+β=sinπ2−α，所以α+β=π2−α或α+β+π2−α=π，
即2α+β=π2或β=π2（舍去）.
故选：D.
【变式2-3】（2025·陕西安康·模拟预测）计算：tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=（ ）
A．33B．1C．233D．3
【答案】D
【解题思路】根据两角和的正切公式化简即可．
【解答过程】因为tan60°=tan20°+40°=tan20°+tan40°1−tan20°tan40°=3，
所以tan20°+tan40°=31−tan20°tan40°，
所以tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=31−tan20°tan40°+3tan20°tan40°
=3−3tan20°⋅tan40°+3tan20°tan40°=3，
故选：D．
【题型3 辅助角公式的运用】
【例3】（2025·吉林·模拟预测）函数fx=2sin2x−π4+3cs2x的最小正周期为（ ）
A．2πB．4π3C．πD．23π
【答案】C
【解题思路】由余弦二倍角公式及辅助角公式化简，再由周期公式即可求解.
【解答过程】fx=2sin2x−π4+3cs2x=1−cs2x−π2+3cs2x=1−sin2x+3cs2x
=232cs2x−12sin2x+1=2sin2x+2π3+1，
∴ω=2，∴T=π，
故选：C．
【变式3-1】（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知3csα−sinα=1，则cs2α+π3=（ ）
A．−32B．−12C．12D．32
【答案】B
【解题思路】利用辅助角公式得csα+π6=12，又cs2α+π3=cs2α+π6，利用二倍角的余弦公式即可求解.
【解答过程】由3csα−sinα=1得2csα+π6=1⇒csα+π6=12，
又因为cs2α+π3=cs2α+π6=2cs2α+π6−1=2×122−1=−12，
故选：B.
【变式3-2】（2025·广东湛江·二模）若函数f(x)=3sinx+2csx在[0,α]上单调递增，则当α取得最大值时，csα=（ ）
A．−31313B．−21313C．31313D．21313
【答案】D
【解题思路】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.
【解答过程】f(x)=3sinx+2csx=13sin(x+φ)，
其中sinφ=21313>0,csφ=31313>0,且φ为锐角，
因为f(x)在[0,α]上单调递增，且φ+x∈φ,α+φ，
所以φ,φ+α⊆0,π2，则α的最大值为π2−φ，
此时csα=csπ2−φ=sinφ=21313．
故选：D.
【变式3-3】（2025·山东济宁·一模）若函数f(x)=2sinx+csx−3,x∈(0,π)的两个零点分别为x1和x2，则cs(x1−x2)=（ ）
A．−25B．−15C．15D．25
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用辅助角公式化简f(x)，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得φ=π2−x1+x22，进而求出csx1−x22，最后利用二倍角的余弦求值.
【解答过程】函数f(x)=2sinx+csx−3=5sin(x+φ)−3，其中锐角φ由tanφ=12确定，
由f(x1)=f(x2)=0，得sin(x1+φ)=sin(x2+φ)=35，而x1,x2∈(φ,π+φ)，
因此x1+φ+x2+φ=π，即φ=π2−x1+x22，则sin(x1+π2−x1+x22)=35，
即sin(π2−x1−x22)=35，于是csx1−x22=35，
所以cs(x1−x2)=2cs2x1−x22−1=15.
故选：C.
【题型4 二倍角公式及其应用】
【例4】（2025·甘肃白银·一模）已知csα−π6=13，则sin2α+π6=（ ）
A．23B．−23C．79D．−79
【答案】D
【解题思路】根据诱导公式和二倍角余弦公式求解即可.
【解答过程】sin2α+π6=csπ2−2α+π6=csπ3−2α=cs2α−π3=2cs2α−π6−1.
=2×132−1=−79.
故选：D.
【变式4-1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知sinx−π24=23，则cs2x+11π12=（ ）
A．−59B．−79C．59D．79
【答案】A
【解题思路】由cs2x+11π12=cs2x−π24+π=−cs2x−π24，利用二倍角的余弦公式即可求解.
【解答过程】由cs2x+11π12=cs2x−π24+π=−cs2x−π24=−1+2sin2x−π24=−59，
故选：A.
【变式4-2】（2025·山东泰安·模拟预测）若α∈π2,π，且51+cs2α−10sin2α=3，则tan2α=（ ）
A．−7B．13C．724D．725
【答案】C
【解题思路】利用二倍角公式对已知条件进行化解，结合齐次式可求tanα，然后根据正切的二倍角公式可求tan2α.
【解答过程】∵ 51+cs2α−10sin2α=3
∴ 12（1+cs2α）−sin2α=310， ∴ cs2α−2sinαcsα=310
∴ 1−2tanα1+tan2α=310⇒3tan2α+20tanα−7=0
∴ tanα=13舍,tanα=−7 ∴ tan2α= 2tanα1−tan2α=2×（−7）1−(−7)2=724.
故选：C.
【变式4-3】（2025·山西·三模）已知α∈−π2,π2，sin2α=csα，则cs2α=（ ）
A．12B．33C．3D．1
【答案】A
【解题思路】由二倍角公式可得α=π6，据此可得答案.
【解答过程】由sin2α=csα⇒sinα=12，故α=π6，cs2α=csπ3=12.
故选：A．
【题型5 三角函数式的化简】
【例5】（2025·江西·一模）化简tan35°+tan100°+tan35°tan80°=（ ）
A．tan65°B．−tan65°C．1D．−1
【答案】D
【解题思路】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简原式，求出结果即可.
【解答过程】由两角和的正切公式得tan35°+tan100°=tan(100°+35°)1−tan35°tan100°
=tan135°1−tan35°tan100°=−1×1−tan35°tan100°=tan35°tan100°−1
由诱导公式得tan80°=tan(180°−100°)=−tan100°，
则原式可化为tan35°tan100°−1−tan35°tan100°=−1，故D正确.
故选：D.
【变式5-1】（2025·河北·模拟预测）化简：cs40°1+sin40°=（ ）
A．tan25°B．sin25°C．tan65°D．sin65°
【答案】A
【解题思路】利用二倍角公式、同角三角函数关系弦化切，及两角差的正切公式和1=tan45°即可求解.
【解答过程】cs40°1+sin40°=cs220°−sin220°sin20°+cs20°2=cs20°−sin20°sin20°+cs20°=1−tan20°1+tan20°=tan45°−tan20°1+tan45°⋅tan20°=tan25°.
故选：A.
【变式5-2】（2025·安徽六安·模拟预测）sin50∘+sin70∘sin80∘=（ ）
A．23B．3C．2D．1
【答案】B
【解题思路】利用两角和与差的正弦公式、诱导公式化简可得结果.
【解答过程】sin50∘+sin70∘sin80∘=sin60∘−10∘+sin60∘+10∘sin90∘−10∘
=sin60∘cs10∘−cs60∘sin10∘+sin60∘cs10∘+cs60∘sin10∘cs10∘=2sin60∘=3.
故选：B.
【变式5-3】（2025·河北沧州·二模）化简cs20∘−sin30∘cs40∘sin40∘cs60∘=（ ）
A．1B．3C．2D．233
【答案】B
【解题思路】将式中的非特殊角通过两角和与差的三角函数转变为特殊角和40°角即可进行化简.
【解答过程】cs20∘−sin30∘cs40∘sin40∘cs60∘=cs60∘−40∘−sin30∘cs40∘sin40∘cs60∘=sin60∘sin40∘sin40∘cs60∘=tan60∘=3.
故选：B.
【题型6 给角求值型问题】
【例6】（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）求值：1−3tan10°1−cs20°=（ ）
A．1B．2C．3D．22
【答案】D
【解题思路】先化切为弦将tan10°转化为sin10°cs10°，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值.
【解答过程】原式=1−3sin10°cs10°2sin210°=cs10°−3sin10°2sin10°cs10°
=2cs10°+60°22sin20°=22cs70°sin20°=22cs90°−20°sin20°=22sin20°sin20°=22，
故选：D.
【变式6-1】（2025·广东汕头·二模）若λsin160∘+tan20∘=3，则实数λ的值为（ ）
A．4B．43C．23D．433
【答案】A
【解题思路】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得λ的值.
【解答过程】由已知可得λ=3−tan20∘sin180∘−20∘=3cs20∘−sin20∘sin20∘cs20∘=2sin60∘cs20∘−cs60∘sin20∘12sin40∘
=4sin40∘sin40∘=4.
故选：A.
【变式6-2】（24-25高一上·广东茂名·期末）sin110∘cs250∘cs225∘−sin2155∘的值为（ ）
A．−12B．12C．32D．−32
【答案】A
【解题思路】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.
【解答过程】原式=−sin70∘cs70∘cs225∘−sin225∘=−12sin140∘cs50∘=−12sin40∘sin40∘=−12.
故选：A.
【变式6-3】（2025·重庆·模拟预测）式子2sin18∘3cs29∘−sin29∘−1cs6∘+3sin6∘化简的结果为（ ）
A．12B．1C．2sin9∘D．2
【答案】B
【解题思路】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.
【解答过程】原式=2sin18∘3cs29∘−sin29∘−cs29∘−sin29∘2sin6∘+30∘
=2sin18∘2cs29∘−2sin29∘2sin36∘=2sin18∘cs18∘sin36∘=sin36∘sin36∘=1.
故选：B.
【题型7 给值求值型问题】
【例7】（2025高三·全国·专题练习）已知sinα−π6−csα=33，则cs2α+π3的值为（ ）
A．−79B．−13C．13D．79
【答案】A
【解题思路】先由两角差的正弦公式化简题设得sinα−π3=13，再结合诱导公式和倍角公式即可求解.
【解答过程】由sinα−π6−csα=32sinα−32csα=3sinα−π3=33得sinα−π3=13，
所以cs2α+π3=csπ+2α−2π3=−cs2α−2π3=2sin2α−π3−1=−79．
故选：A．
【变式7-1】（2025·安徽淮北·模拟预测）已知0