2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题1.4基本不等式及其应用(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题1.4基本不等式及其应用(学生版+解析)，共10页。

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\l "_Tc29102" 【题型1 基本不等式及其应用】 PAGEREF _Tc29102 \h 3
\l "_Tc25794" 【题型2 直接法求最值】 PAGEREF _Tc25794 \h 3
\l "_Tc28093" 【题型3 配凑法求最值】 PAGEREF _Tc28093 \h 4
\l "_Tc27859" 【题型4 常数代换法求最值】 PAGEREF _Tc27859 \h 4
\l "_Tc8045" 【题型5 消元法求最值】 PAGEREF _Tc8045 \h 4
\l "_Tc15931" 【题型6 齐次化求最值】 PAGEREF _Tc15931 \h 5
\l "_Tc11117" 【题型7 多次使用基本不等式求最值】 PAGEREF _Tc11117 \h 5
\l "_Tc32440" 【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】 PAGEREF _Tc32440 \h 6
\l "_Tc3361" 【题型9 利用基本不等式解决实际问题】 PAGEREF _Tc3361 \h 6
\l "_Tc32309" 【题型10 基本不等式与其他知识交汇】 PAGEREF _Tc32309 \h 7
1、基本不等式及其应用
知识点 基本不等式
1. 两个不等式
eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
3．常见的求最值模型
(1)模型一：，当且仅当时等号成立；
(2)模型二：，当且仅当时等号成
立；
(3)模型三：，当且仅当时等号成立；
(4)模型四：，当且仅当时
等号成立.
4．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【题型1 基本不等式及其应用】
【例1】（2025·北京·高考真题）已知a>0,b>0，则（ ）
A．a2+b2>2abB．1a+1b≥1ab
C．a+b>abD．1a+1b≤2ab
【变式1-1】（2025·陕西宝鸡·二模）设a，b∈R，则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2025·全国·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（ ）
A．ab≤14B．a2+b2≥12
C．1a+1b+1>2D．a+b≤1
【变式1-3】（2025·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．a+b2≥aba>0,b>0B．2aba+b≤aba>0,b>0
C．a+b2≤a2+b22a>0,b>0D．a2+b2≥2aba>0,b>0
【题型2 直接法求最值】
【例2】（24-25高一上·重庆·期末）函数y=3x+1xx>0的最小值是（ ）
A．4B．5C．32D．23
【变式2-1】（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知a>0，则a+1a的最小值是（ ）
A．−1B．1C．2D．3
【变式2-2】（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）若x>0，则y=(1−x)8−2x的最大值是（ ）
A．−2B．0C．1D．2
【变式2-3】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则y2x2+9x2y2的最小值为（ ）
A．6B．12C．2D．4
【题型3 配凑法求最值】
【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）若a>1，则4a+1a−1的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．无最小值
【变式3-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知x∈0,+∞，则y=x+12+12x+1的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．3
【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）函数y=x3−2x的最大值为（ ）
A．3B．94C．92D．98
【变式3-3】（2025·河北石家庄·一模）已知x∈0,4，则fx=1x+164−x的最小值为（ ）
A．493B．172C．193D．254
【题型4 常数代换法求最值】
【例4】（2025·河南·三模）若a>0，b>0，且a+b=1，则−1a−4b的最大值为（ ）
A．−9B．−7C．−5D．−3
【变式4-1】（2025·山东·模拟预测）设正实数a,b满足a+2b=1，则(a+1)2+b2ab的最小值为（ ）
A．372B．17C．8+45D．16
【变式4-2】（2024·江苏宿迁·一模）若a>0,b>0,a+2b=3，则3a+6b的最小值为（ ）
A．9B．18C．24D．27
【变式4-3】（2025·福建泉州·二模）若x≥0，y≥0，且1x+1+12x+4y=1，则3x+4y的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．8
【题型5 消元法求最值】
【例5】（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数x,y满足x+1y=1，则1x+2y的最小值是（ ）
A．2+22B．6C．42D．3+22
【变式5-1】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足x2+3xy−2=0，则2x+y的最小值为（ ）
A．2103B．103C．23D．13
【变式5-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数m，n满足mn=2，则1m+2n+92m+n的最小值为（ ）
A．22B．3C．32D．4
【变式5-3】（2025·河南·模拟预测）设正实数a，b，c满足2c2−bc+2b2−1a=0，则当abc取得最大值时，1c+5b−6a的最大值为（ ）
A．4B．92C．5D．112
【题型6 齐次化求最值】
【例6】（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数x,y满足x+2y=1，则x2+yxy的最小值为（ ）
A．122B．22C．122+1D．22+1
【变式6-1】（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且x+y=2，则x+6y+6xy的最小值为（ ）
A．12B．3+22C．252D．62−32
【变式6-2】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知x≥32，则2x2+3x+1x−1的最小值为（ ）
A．7+63B．6+63
C．7+43D．6+43
【变式6-3】（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足x+2y=3，则x2+3yxy的最小值为（ ）
A．22+1B．4C．42+1D．6
【题型7 多次使用基本不等式求最值】
【例7】（2025·天津红桥·一模）已知a>0,b>0，则1a+a4b2+b的最小值为（ ）
A．42B．22C．4D．2
【变式7-1】（2025·河南·模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2b，则a+b的最小值为（ ）
A．5B．52C．52D．522
【变式7-2】（2025·全国·模拟预测）已知a为非零实数，b，c均为正实数，则a2b+a2c4a4+b2+c2的最大值为（ ）
A．12B．24C．22D．34
【变式7-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知x>−1，y>0，z>0，2x+3y+z=2，则1x+1+1y+3z的最小值为（ ）
A．72+6B．7+62C．5+62D．52+6
【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】
【例8】（2025·吉林延边·一模）已知正实数x，y满足x+y−12xy=0，且不等式x+y−a>0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．a32，y>3，不等式k2x−3y−3≤8x3+y3−12x2−3y2恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12B．24C．23D．43
【题型9 利用基本不等式解决实际问题】
【例9】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为v（单位：米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）满足v2=4H1−Hv2，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A．0.25米B．0.5米C．0.75米D．1米
【变式9-1】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200gB．大于200gC．小于200gD．以上都有可能
【变式9-2】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,a2，则（ ）
A．a1=a2B．a1a2D．a1,a2的大小无法确定
【变式9-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a，b斜边为c（a、b、c均为正数）.则a+b2=4ab+b−a2，a+b2=2c2−b−a2”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长6cm的软钢丝作为a+b的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ）
A．9B．18C．27D．36
【题型10 基本不等式与其他知识交汇】
【例10】（24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为16πcm2的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点S在该球的球面上.

(1)若圆柱的高为2 cm，求该陀螺的体积及表面积；
(2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面DC距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？
【变式10-1】（2024·广东珠海·一模）已知A、B、C是ΔABC的内角，a、b、c分别是其对边长，向量m=a+b,c，n=sinB−sinA,sinC−sinB，且m⊥n.
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求ΔABC面积的最大值.
【变式10-2】（2025高三·全国·专题练习）F1 , F2分别是椭圆于x24+y2=1的左、右焦点.
(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求PF1⋅PF2的取值范围；
(2)设A2,0,B0,1是它的两个顶点，直线y=kx(k≥0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.
【变式10-3】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在△ABC中，a=ccsB+12b.
(1)若a+b=8，△ABC的面积为33，求c；
(2)若c=4，
①求a+b+csinA+sinB+sinC的值：
②求△ABC面积的最大值；
③求△ABC周长的取值范围.
一、单选题
1．（2025·安徽·三模）“xy≥1”是“x24+y2≥1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知x∈(0,+∞)，则y=2x+42x+1的最小值为（ ）
A．3B．4C．32D．6
3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知a+b=1ab>0，则1a+1b的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．94
4．（2025·重庆·三模）已知x2+y2=2x2y2xy≠0，则2−x2−9y2的最大值为（ ）
A．6B．-6C．8D．-8
5．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足v2=4H1−Hv2的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ）
A．0.2米B．0.25米C．0.45米D．0.7米
6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知x>0，y>0，且xy+2y2−36=0，则xy2的最大值（ ）
A．12B．66C．36D．246
7．（2025·广东汕头·模拟预测）已知a>0，b>0，a+1b=1，则1a+b的最小值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记max{a,b}表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则max{x,1y}+max{y,3z}+ max{z,5x}的最小值为（ ）
A．22B．3C．42D．6
二、多选题
9．（2025·湖北恩施·模拟预测）若正实数a,b满足2a+b=1，则下列结论正确的是（ ）
A．2ab的最大值为14B．a2+b2的最小值为14
C．2a+b的最大值为2D．2a+1b的最小值为9
10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足x+2y=1，则（ ）
A．xy≤18B．x2+y≥12
C．1x+1y≥3+22D．x+11−2y≥2
11．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知a,b 为正实数， ab+a+2b=14，则下列说法正确的是（ ）
A．a+b0,a+1b=1，则b+1a的最小值为 ．
13．（2025·山西吕梁·一模）正数x,y满足x+y=xy，则x+9y的最小值是 .
14．（2025·四川眉山·模拟预测）已知a,b∈R+，4a+b=1，则a+bab的最小值是 .
四、解答题
15．（24-25高一下·广西·开学考试）（1）已知x,y是正实数，且x+y=4，求1x+4y的最小值；
（2）函数y=x2+2x−1x>1的最小值为多少？
16．（2025高三·全国·专题练习）若正数x,y满足：x+y+8= xy，
(1)求xy的取值范围；
(2)求x+y的取值范围．
17．（25-26高一上·全国·课后作业）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3m，底面积为12m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为xm2≤x≤6．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为900a(1+x）x元a>0．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
18．（24-25高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为S1;
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为S2．
（其中y>x>4,b>a>4）
(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
(2)若a，b，x，y同时满足关系y=2x−2x−4,b=2a+4a−4，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值S=花费较大值-花费较小值）．
19．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知a>0，b>0.
(1)若a+2b=2，证明：ab≤12；
(2)若00)
当且仅当“a=b”时取“=”