2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题1.3等式性质与不等式性质(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题1.3等式性质与不等式性质(学生版+解析)，共10页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14024" 【题型1 不等式性质的应用】 PAGEREF _Tc14024 \h 3
\l "_Tc12" 【题型2 用不等式表示不等关系】 PAGEREF _Tc12 \h 4
\l "_Tc4008" 【题型3 比较数（式）的大小】 PAGEREF _Tc4008 \h 6
\l "_Tc20743" 【题型4 利用不等式的性质证明不等式】 PAGEREF _Tc20743 \h 8
\l "_Tc25858" 【题型5 利用不等式的性质求目标式的取值范围】 PAGEREF _Tc25858 \h 10
\l "_Tc26296" 【题型6 不等式的综合问题】 PAGEREF _Tc26296 \h 11
\l "_Tc5845" 【题型7 糖水不等式】 PAGEREF _Tc5845 \h 13
1、不等关系与不等式性质
知识点 等式性质与不等式性质
1．等式的基本性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
2．不等式的性质
(1)对称性：如果a>b，那么bb⇔bb，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.
(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，cd，那么a＋c>b＋d.
(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
3．不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0⇒；
②a0，00，显然x,y同号且不为0，则x2+y2>0成立，必要性成立；
所以“x2+y2>0”是“xy>0”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式1-1】（2024·河南驻马店·二模）已知a>b>c>0，则下列说法一定正确的是（ ）
A．a>b+cB．a2b2D．ab+bc>b2+ac
【解题思路】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小.
【解答过程】当a=3,b=2,c=1时，a=b+c，且acb>0，a>c>0，所以a2>bc，故B项错误；
ab+bc−b2+ac=b−ca−b>0，故D项正确.
故选：D.
【变式1-2】（2025·河北石家庄·一模）如果ab>0，那么“a>b”是“1a0，a>b，则b−azD．z>x>y
【解题思路】根据题意，由原式可得y=x2+z22x，然后由作差法分别比较y与x，y与z的大小关系，即可得到结果.
【解答过程】由x>0，且x2−2xy+z2=0可得2xy=x2+z2，即y=x2+z22x，
则y−x=x2+z22x−x=x2+z2−2x22x=z2−x22x，
又x2y，则下列不等式正确的是（ ）
A．1−xy2C．|xy|>1D．xz>yz
【解题思路】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误.
【解答过程】∵ x>y,∴−x0,∴N−P=a+b−2c4>0,∴N>P.
对于B选项,M−P=a+b+c3−a+b+2c4=a+b−2c12,
∵a>b>c,∴a−c>0,b−c>0,∴a+b−2c>0,∴M−P=a+b−2c12>0,∴M>P.
对于C选项,M−N=a+b+c3−a+b2=−a−b+2c6, ∵a>b>c,∴c−aa2时，方案二的平均购买成本比方案一更低
C．无论a1,a2的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低
D．无论a1,a2的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低
【解题思路】根据题意，分别计算出方案一与方案二的平均购买成本，然后作差比较大小，即可判断.
【解答过程】方案一：设每次购入的黄金数量为m，则平均购买成本x=ma1+ma22m=a1+a22；
方案二：设每次购入的黄金金额为n，则平均购买成本为
y=2nna1+na2=2nna1+a2a1a2=2a1a2a1+a2，
所以x−y=a1+a22−2a1a2a1+a2=a1+a22−4a1a22a1+a2=a1−a222a1+a2，
且a1≠a2，则x−y=a1−a222a1+a2>0，即x>y，
无论a1,a2的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低.
故选：D.
【题型4 利用不等式的性质证明不等式】
【例4】（2024·全国·模拟预测）已知a，b，c为三角形的三边．
(1)求证：a2+b2+ab+b2+c2+bc>2c；
(2)若c≥b≥a，求证：3a3+b3+3c3+a3a+b2，b2+c2+bc=c+b22+34b2>c+b2，结合三角形两边之和大于第三边的性质可得答案.
（2）利用作差法求证a2+b3−a3+b3>0，则a2+b>3a3+b3，同理a2+c>3c3+a3，结合不等式的性质可得答案.
【解答过程】（1）因为a，b，c为三角形的三边，所以a，b，c∈0,+∞，且a+b>c，（关键：根据三角形的三边关系得到a，b，c满足的条件）
所以a2+b2+ab=a+b22+34b2>a+b2，
b2+c2+bc=c+b22+34b2>c+b2，
所以a2+b2+ab+b2+c2+bc>a+b2+c+b2=a+b+c>2c．
（2）因为c≥b≥a，
所以a2+b3−a3+b3=−78a3+34a2b+32ab2≥−78a3+34a3+32a3=118a3>0，
所以a2+b>3a3+b3，
同理可得a2+c>3c3+a3，
所以3a3+b3+3c3+a30，y>0，z>0，证明：1x+z，x+y+z>y+z和xx+y>xx+y+z，yy+z>yx+y+z，zz+x>zx+y+z证明即可.
【解答过程】由题意知x>0，y>0，z>0，
则有x+y+z>x+y，x+y+z>x+z，x+y+z>y+z，①
xx+y>xx+y+z，yy+z>yx+y+z，zz+x>zx+y+z，
所以xx+y+yy+z+zz+x>xx+y+z+yx+y+z+zx+y+z=1．
又根据①的结论可知xx+y0，故(a−1)(b−1)>0，
由d0，
所以ac+bd−bc−ad=(c−d)(a−b)>0，即ac+bd>bc+ad，得证.
【变式4-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知c>a>b>0，求证：ac−a>bc−b；
（2）已知a>b，e>f，c>0，求证：f−acb，得−a0，即00，
而a>b>0，所以ac−a>bc−b．
（2）由a>b，c>0，得ac>bc，即−acb+c，故D正确.
故选：D.
2．（2025·福建三明·三模）已知a，b∈R，则“a+b≤1”是“a2+b2≤1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】依次分析充分性和必要性即可得解.
【解答过程】若a+b≤1，则a2+b2≤a2+b2+2ab=a+b2≤1，充分性成立；
设a=b=22，则有a2+b2=222+222=1满足a2+b2≤1，
此时有a+b=2>1，不满足a+b≤1，故必要性不成立，
综上所述，“a+b≤1”是“a2+b2≤1”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2025·北京海淀·二模）设a、b、c∈R，abc≠0，且a>b>c，则（ ）
A．ab+bc>2B．ba+cbb+cD．a+b>c
【解题思路】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项.
【解答过程】对于A选项，不妨取a=2，b=1，c=−14，则ab+bc=2−4=−22，B错；
对于C选项，因为a>b>c，由不等式的基本性质可得2a>b+c，C对；
对于D选项，不妨设a=−1，b=−2，c=−2.5，则a+b=−3b>0，则a+1b>b+1a
【解题思路】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得.
【解答过程】当a=−1,b=−1时，a+b=−2，所以A错.
当a0时，ab>0，则1b>1a>0，则a+1b>b+1a成立，所以D正确.
故选：D.
二、多选题
9．（2025·山东临沂·二模）已知a>b>c，则下列不等式正确的是（ ）
A．1a−ccb2C．a+b>cD．a2+c2>b2
【解题思路】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分b>0,b=0,bb>c，
所以c−b0,a−b>0，即c−ba−ca−bc，此时ab2=cb2=0，故B错误；
对于C，取a=−1>b=−2>c=−3，则a+b=c=−3，故C错误，
对于D，若a>b=0>c，则a2+c2>b2=0显然成立，
若a>b>0>c，则a2+c2>a2>b2成立，
若a>0>b>c，则a2+c2>c2>b2成立，
综上所述，只要a>b>c，就一定有a2+c2>b2，故D正确.
故选：AD.
10．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若a>b，则a2>b2
B．若a0，进而可得a>b；故为真命题；
（3）若a=2,b=1，c=−2,d=−3，则ac=−4,bd=−3，
此时满足a>b，c>d，但是无法得到ac>bd，故为假命题；
（4）若a>b，不妨取a=1,b=0，则1b无意义，故无法得到1a0，即2x2+5x+3−(x2+4x+2)>0,
所以2x2+5x+3>x2+4x+2.
18．（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为am2，bm2.
(1)若这所住宅的地面面积为100m2，求这所住宅的窗洞口面积的范围；
(2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了xm2，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由.
【解题思路】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果；
（2）利用作差法计算比较出大小，可得结论.
【解答过程】（1）因为b=100，所以10%≤a100≤50%，
解得10≤a≤50，
所以这所住宅的窗洞口面积的范围为10,50m2.
（2）由题意得00
所以a+xb+c−ab>0，即a+xb+c>ab.
所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了.
19．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数a，b满足−1