2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点33圆锥曲线中的参数范围及最值问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点33圆锥曲线中的参数范围及最值问题(学生版+解析)，共10页。

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\l "_Tc24566" 【题型1 弦长的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc24566 \h 2
\l "_Tc4921" 【题型2 离心率的取值范围问题】 PAGEREF _Tc4921 \h 2
\l "_Tc17918" 【题型3 三角形（四边形）面积的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc17918 \h 3
\l "_Tc2675" 【题型4 长度（距离）的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc2675 \h 5
\l "_Tc3922" 【题型5 斜率的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc3922 \h 5
\l "_Tc29009" 【题型6 圆锥曲线中向量的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc29009 \h 7
\l "_Tc15326" 【题型7 参数的取值范围问题】 PAGEREF _Tc15326 \h 8
1、圆锥曲线中的参数范围及最值问题
圆锥曲线中的参数范围及最值问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有长度、距离、面积、数量积、离心率等几何量的范围或最值问题，考查方式灵活多变，各类题型都有考查，在解答题中考查时难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.
知识点1 圆锥曲线中的最值问题及其解题策略
1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
2．圆锥曲线中的最值问题的解题思路
(1)建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)；
(2)构建不等关系.
【注】：若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，一般可采用函数模型；若求解参量(诸如k、m等)、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路.
知识点2 圆锥曲线中的参数范围问题
1．圆锥曲线中的参数范围问题的求解策略：
结合题目条件，构建所求几何量的含参函数，并且进一步找到自变量的范围，进而求出其值域，即可得出所求参数的范围.
【题型1 弦长的最值及范围问题】
【例1】（2025·河南郑州·三模）斜率为1的直线l与椭圆x22+y2=1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．2B．233C．263D．433
【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）设抛物线C:y2=2x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A,B两点，则AB的最小值为（ ）
A．12B．1C．2D．3
【变式1-2】（2025·安徽·一模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2.且经过点2,3.
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且OA⋅OB=0（点O为坐标原点），求AB的取值范围.
【变式1-3】（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，焦距为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l的斜率为−1，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线l与椭圆交于A,B两点，求线段AB的长度的取值范围.
【题型2 离心率的取值范围问题】
【例2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知P为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点，M、N是椭圆上的点.若四边形OPMN满足OM=OP+ON，∠PON∈2π3,5π6，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．0,23B．0,232
C．0,32D．63,1
【变式2-1】（2025·山西·模拟预测）如图，F1，F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形ABF2F1为等腰梯形，且|AF1|=|F1F2|=|BF2|=2c．若∠ABF2b>0上有动点P,P在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点M,N，使△PMN的重心为右焦点F，则椭圆E的离心率的取值范围为（ ）
A．0,12B．13,1C．0,13D．12,1
【变式2-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，Z与S在第一象限有交点A，若F1F2=2AF2，则S与Z的离心率之差的取值范围是（ ）
A．(13,12)B．(13,+∞)C．(12,1)D．(12,+∞)
【题型3 三角形（四边形）面积的最值及范围问题】
【例3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆x2a2+y23=1a>3的离心率为12，左､右焦点分别为F1,F2,A为椭圆上除左､右顶点外的一动点，则△AF1F2的面积最大为（ ）
A．1B．3C．2D．23
【变式3-1】（2025·云南昆明·模拟预测）双曲线x2−y23=1的左､右焦点分别为F1,F2，过F1的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则S△AF1F2S△ABF2的取值范围是（ ）
A．(0,13)B．(0,12)C．(13,12)D．(12,+∞)
【变式3-2】（2025·上海杨浦·三模）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2上下顶点分别为B1，B2，△B1F1F2是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆Γ于P、Q两点（P、Q分别在第一、四象限）.
(1)求椭圆Γ的离心率；
(2)已知点M0,m，m>0，求椭圆Γ上的动点R到点M的最大距离；
(3)求四边形B1B2QP面积的取值范围.
【变式3-3】（2025·江西南昌·模拟预测）在直角坐标系xOy中，动点Q（y轴右侧）到点F1,0的距离比到y轴的距离大1.记动点Q轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设△ABM为曲线C的内接直角三角形（A在第一象限，M在B的下方），且M为直角顶点，若△ABM的重心G在x轴上.
（ⅰ）求证：直线AB过定点；
（ⅱ）设直线AB经过的定点为P，AM与x轴交于H，设△BPG的面积为S1，△MGH的面积为S2，则S1S2的取值范围.
【题型4 长度（距离）的最值及范围问题】
【例4】（2025·河南信阳·三模）已知椭圆y29+x2=1，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线l1:y=3x和l2:y=−3x平行的直线，分别交l2，l1交于M，N两点，则MN的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式4-1】（2025·广东珠海·模拟预测）点F2是双曲线C:x24−y28=1的右焦点，动点A在双曲线左支上，直线l1:tx−y−4=0与直线l2:x+ty=0的交点为B，则AB+AF2的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式4-2】（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为(−1,0)，(1,0)直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3．
(1)求点M的轨迹方程C；
(2)若直线l与C交于P，Q两点，且OP⋅OQ=0（点O为坐标原点），求PQ的取值范围．
【变式4-3】（2025·河南·二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，且经过点3,32.
(1)求C的方程；
(2)已知A，B分别为C的左、右顶点，M为C的上顶点，直线l交C于P，Q（不同于A，B）两点，记直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，若k2=2k1，求M到l的距离的最大值.
【题型5 斜率的最值及范围问题】
【例5】（2025·天津红桥·一模）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为55，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为45．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点A0,−2，过点P0,−3且斜率为k(k>0)的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线y=−3交于点M、N，当∣PM∣+∣PN∣≤15时，求斜率k的取值范围．
【变式5-1】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1的左顶点A−1,0，渐近线方程为y=±3x，直线l经过点B−1,2，与C交于不与A重合的两点P，Q，
(1)求双曲线C的方程；
(2)求直线AP，AQ的斜率之和；
(3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值.
【变式5-2】（2025·广东·模拟预测）已知圆(x+1)2+y2=16的圆心为A，点P是圆A上的动点，点B是抛物线y2=4x的焦点，点G在线段AP上，且满足GP=GB.
(1)求点G的轨迹E的方程；
(2)不过原点的直线l与（1）中轨迹E交于M,N两点，若线段MN的中点Q在抛物线y2=4x上，求直线l的斜率k的取值范围.
【变式5-3】（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P是E的右支上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为3．
(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点F2的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为kAM和kBN，求kAM2+23kBN的最小值．
【题型6 圆锥曲线中向量的最值及范围问题】
【例6】（24-25高二上·天津和平·期末）已知F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点，F1F2=4，点Q2,2在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则PQ⋅PF1的最大值为（ ）
A．4B．92C．5D．4+2
【变式6-1】（24-25高三上·江苏南通·期中）已知动点P在拋物线x2=4y上，定点D(1,4)．圆F:x2+(y−1)2=3上两个动点A,B满足|AB|=22,FM=12(FA+FB)，则|PM|+|PD|的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【变式6-2】（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，点P1,1到C的两条渐近线距离之比为1:3，过点P的直线l与C交于A,B两点，且当l的斜率为0时，AB=5.
(1)求C的方程；
(2)若点A,B都在C的右支上，且l与x轴交于点Q，设PA=mAQ,PB=nBQ，求m+n的取值范围.
【变式6-3】（25-26高三上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ:x25+y24=1，F1、F2分别是其左、右焦点，过F2的直线PQ交椭圆于P、Q两点.
(1)若PF1⋅PF2=72且点P在第一象限，求点P的坐标；
(2)若△F1PQ的面积为4021，求直线PQ的方程；
(3)若P、Q两点不在x轴上，设M为线段PQ的中点，ON⊥PQ于N，求NM⋅F1F2的取值范围.
【题型7 参数的取值范围问题】
【例7】（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的渐近线方程为y=±22x，且其焦距为23.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l:y=kx+tkt≠0与双曲线C交于不同的两点P,Q，且在由点P,Q与M0,1构成的三角形中，∠MPQ=∠MQP，求实数t的取值范围.
【变式7-1】（2025·陕西西安·三模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为42．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M0,mm>0的直线l与椭圆C相交于两点A，B，设点M关于坐标原点O的对称点为N，若点N恒在以AB为直径的圆内部，求实数m的取值范围．
【变式7-2】（2025·湖北·模拟预测）已知F为抛物线Γ：y2=2px（p>1）的焦点，Mx0,y0为Γ在第一象限上的动点，当y0=1时，MF=54.设Γ的准线与x轴交于点F′，MF与Γ交于点N，MP=2PF′，NQ=2QF′，MO与FP交于点G1，NO与FQ交于点G2.
(1)求Γ的方程；
(2)求G1的轨迹方程；
(3)若2S△MNG1≤3S△NF'G1≤4S△MNG2，求y0的取值范围.
【变式7-3】（2025·江苏南京·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0一个顶点为A−1,0，直线l过点B2,0且交双曲线右支于M,N两点，记△AMN,△AOM,△AON的面积分别为S,S1,S2.当l与x轴垂直时，S1=62
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若l交y轴于点C，CM=λMB，CN=μNB.
①求证：λ+μ为定值；
②若29S=μS1+mS2，当530,b>0)的右焦点为F2(2,0)，若圆M:(x+2)2+(y−6)2=4上存在点P 使得PF2的中点在C的渐近线上，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．[2,+∞)B．[3,+∞)C．(1,2]D．(1,3]
3．（2025·江苏·一模）若直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:y23−x24=1有两个不同交点，则k的取值范围是（ ）
A．(0,32)B．(32,+∞)
C．(0,233)D．(233,+∞)
4．（2025·江苏苏州·三模）已知抛物线y2=4x，点M是抛物线上的动点，则M到直线l1:4x−3y+5=0和l2:x=−2的距离之和的最小值为（ ）
A．85B．95C．135D．145
5．（2025·陕西咸阳·三模）已知M为抛物线G：y2=4x上的动点，P，Q为圆C：y2+x−22=1上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则MP⋅MQ的最小值为（ ）
A．22−3B．32C．214D．3
6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F1,0，且过点P−32,214，Q为C上一动点，则PQ+QF的最大值为（ ）
A．112B．132C．194D．214
7．（2025·甘肃白银·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，准线为直线x=−3，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则△AOB面积的最小值为（ ）
A．24B．18C．16D．12
8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知抛物线C1: y2=2pxp>0的焦点F是圆C2: x2+y2−8x+12=0的圆心，过点F的直线与C1,C2相交，交点自上而下分别为A,B,C,D，则AB+CD的取值范围为（ ）
A．4,+∞B．8,+∞
C．12,+∞D．16,+∞
二、多选题
9．（2025·山西·三模）已知抛物线M:y2=4x，焦点为F，过F的直线交M于点A，B，其中Ax1,y1在第一象限，Bx2,y2在第四象限，O为坐标原点，连接BO交抛物线的准线于点C，则下列说法正确的是（ ）
A．AB的最小值是4B．1AF+1BF=2
C．直线AC平行于x轴D．△ABC的面积的最大值为1639
10．（2025·辽宁沈阳·一模）已知F1,F2分别是椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点．点B为短轴的一个端点，点M是C上的任意一点，则下列结论成立的是（ ）
A．1≤MF1⋅MF2≤4B．0≤MF1⋅MF2≤3
C．0≤MB≤2D．7−43≤MF1MF2≤7+43
11．（2025·湖北襄阳·模拟预测）若双曲线C：x2−y28=1的左，右焦点分别为F1，F2，过C的右支上一点P作圆x−32+y2=1的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是（ ）
A．若PF1⋅PF2=0，则△PF1F2的面积为8
B．若Q为圆x−32+y2=1上的一动点，则PF2+PQ的最小值为3
C．PA⋅PB的最小值为22−3
D．四边形PAF2B面积的最小值为3
三、填空题
12．（2025·黑龙江大庆·一模）已知F1,F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A,B两点，若3|AB|≥2|F1F2|，则双曲线的离心率的取值范围是 .
13．（2025·江西·模拟预测）过点P0,2的直线与抛物线E:y=x24交于A，B两点，曲线E在A，B两点处的切线相交于点C，则△ABC面积的最小值为 ．
14．（2025·海南·模拟预测）已知点P是圆x+22+y−42=2上一点，抛物线y2=8x的准线与x轴交于点M, N是抛物线在第一象限上一点，且KON=2，则PM+PN的最小值为 ．
四、解答题
15．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设A，B分别是直线y=2x和y=−2x上的动点，且AB=4，动点P为线段AB的中点．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)已知线段EF是圆C:(x+2)2+y2=1的一条直径，求PE⋅PF的最大值．
16．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知动点T到定点F2,0的距离和它到定直线x=8的距离之比为12，记T的轨迹为曲线Γ．
(1)求Γ的方程；
(2)已知点A(2,3)在曲线Γ上，若直线l与曲线Γ交于B、C两点，且直线AB与AC的斜率互为相反数，求BC的中点M与F的最小距离．
17．（2025·福建厦门·三模）焦点在x轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为22，直线过点P−5,0与双曲线的左、右支分别交于点A、B.
(1)求双曲线E的方程；
(2)若线段AB的中垂线与x轴交于点Q5,0，求直线AB的斜率；
(3)若点B关于原点的对称点C在第三象限，且S△AOB>2S△APC，求直线AB斜率的取值范围.
18．（2025·甘肃白银·二模）直线l过抛物线y2=2pxp>0的焦点F，且与抛物线交于A､B两点，若线段AB的长是6,AB的中点到y轴的距离是2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点1,0作两条互相垂直的直线l1和l2，分别交曲线C于点T,M和K,N.设线段TM,KN的中点分别为P,Q，求证：直线PQ过定点；
(3)若点D是抛物线C上一点（不同于坐标原点O），I是△DOF的内心，求△IOF面积的取值范围.
19．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)左、右顶点分别为A1,A2，过点M−2,0的直线l交C于P,Q两点．
(1)若C的一条渐近线方程为y=3x，求C的方程；
(2)连接QO并延长交C于点R．
①设点P在第一象限，若b=1，S△MQO=16S△PRQ，求点P的坐标；
②若A1R⋅A2P=1，求b的取值范围．