2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点28直线与圆的综合(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点28直线与圆的综合(学生版+解析)，共10页。

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\l "_Tc5995" 【题型1 直线与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc5995 \h 2
\l "_Tc17620" 【题型2 圆的弦长与中点弦问题】 PAGEREF _Tc17620 \h 3
\l "_Tc24507" 【题型3 圆的切线及切线方程问题】 PAGEREF _Tc24507 \h 3
\l "_Tc3608" 【题型4 直线与圆中的面积问题】 PAGEREF _Tc3608 \h 4
\l "_Tc3194" 【题型5 直线与圆的位置关系求距离的最值】 PAGEREF _Tc3194 \h 5
\l "_Tc8404" 【题型6 阿波罗尼斯圆】 PAGEREF _Tc8404 \h 5
\l "_Tc25091" 【题型7 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 PAGEREF _Tc25091 \h 6
\l "_Tc1727" 【题型8 直线与圆中的向量问题】 PAGEREF _Tc1727 \h 7
1、直线与圆的综合
直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长、切线、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解.
知识点1 直线与圆相交时的弦长求法
1．圆的弦长的求法：
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
知识点2 圆的切线及切线方程问题
1．自一点引圆的切线的条数：
(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
2．求过圆上的一点的圆的切线方程：
(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求
得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
(2)重要结论：
①经过圆上一点P的切线方程为.
②经过圆上一点P的切线方程为.
③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.
知识点3 阿波罗尼斯圆
1．阿波罗尼斯圆
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.
知识点4 直线与圆中的最值与范围问题的解题策略
1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题的解题方法
直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
【题型1 直线与圆的位置关系】
【例1】（2025·北京海淀·三模）已知圆C:x−12+y−22=25，直线l:mx−y−2m=0，则直线l与圆C的公共点个数为（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．与m有关，不能确定
【变式1-1】（2025·北京·模拟预测）“a>0”是“直线x−ay+2a−1=0(a∈R)与圆x2+y2=1相交”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2025·陕西西安·模拟预测）直线l:x+ay−a=0与圆C:x2+y2+2y−5=0的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定的
【变式1-3】（2025·宁夏银川·二模）若直线x−y+m=0与曲线y=4−x2有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．−2,2B．−2,22C．−2,22D．−22,22
【题型2 圆的弦长与中点弦问题】
【例2】（2025·重庆·三模）直线l:3x−2y+5=0截圆O:x2+y2=9所得的弦长为（ ）
A．2B．4C．25D．5
【变式2-1】（2025·北京·三模）已知直线y=kx−3+1与圆x−12+y−22=25交于A、B两点，则AB的最小值为（ ）
A．5B．10C．25D．45
【变式2-2】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知直线ax+3y+2=0与圆x2+y2=4交于A，B两点，则“|AB|=23”是“a=1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-3】（24-25高二上·山东日照·期中）已知圆C:x2+y2−4x−2y+1=0及直线l:y=kx−k+2k∈R，当直线l与圆C相交所得弦长最短时，直线l的方程为（ ）
A．x+y−3=0 B．x−y+3=0 C．x+y−1=0 D．x−y+1=0
【题型3 圆的切线及切线方程问题】
【例3】（2025·江西萍乡·二模）过点P3, 1作圆C:x2+y2+2x+4y−4=0的切线，记其中一个切点为A，则PA=（ ）
A．16B．4C．21D．21
【变式3-1】（2025·辽宁·二模）已知直线x−2y+1=0与圆x−22+y+12=a2相切，则正实数a的值为（ ）
A．5B．355C．255D．55
【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）已知P为直线l:2x−y+m=0上一动点，过点P作圆C:x−22+y−12=2的两条切线，切点记为A,B，若存在四边形PACB的面积为22，则m的取值范围为（ ）
A．−30−30的距离为2，则m的取值范围是（ ）
A．32,72B．32+1,72+1
C．22,72D．22+1,72+1
6．（2025·福建泉州·模拟预测）已知P(x0,y0)是圆C：x2+y2−2x−2y+1=0上任意一点，则y0+1x0−3的最小值为（ ）
A．4+73B．−4−73C．4−73D．−4+73
7．（2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆O:x2+y2=4与y轴负半轴的交点，直线l:y=kx+32与圆O交于A，B两点，则△ABM面积的最大值为（ ）
A．3B．143C．4D．134
8．（2025·河南·二模）已知曲线Ω:x2+y2=x+y，点Pm,n在曲线Ω上，则下列结论错误的是（ ）
A．曲线Ω围成的图形的面积为π+2
B．nm−2的最小值为−1
C．点Pm,n到直线x+y+3=0的距离的最大值为522
D．曲线Ω有且仅有2条对称轴
二、多选题
9．（2025·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，点P2,1在圆C上，则（ ）
A．y轴与圆C可能相切
B．直线x+y=0与圆C可能相交
C．x轴被圆C所截得的弦长的最大值是2
D．原点O与圆C上的点的距离的最大值为5+1
10．（2025·湖南·模拟预测）已知直线l:2x+y=8和圆O:x2+y2=8，不过原点O的直线m过点A2,1，且与圆O交于P，Q两点，过点O作直线m的垂线交l于点M，则（）
A．l与圆O没有公共点B．点O到直线m距离的最大值为5
C．PQ的最大值为42D．OM的最小值为855
11．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知圆M与直线x=1和x=3都相切，且圆心M在x轴上，直线l:x=my−2 与y轴相交于点P，过点P作圆M的两条切线.切点分别为A,B，直线AB与MP交于点C，则（ ）
A．圆M的方程是x−22+y2=1B．当m=1时，四边形PAMB的面积为6
C．PA⋅PB的取值范围为32,+∞D．若点Q74,0，则CQ为定值14
三、填空题
12．（2025·四川自贡·三模）直线x+2y−5=0被圆x2+y2=9截得的弦长为 .
13．（2025·重庆·二模）过点 P−2,0的直线l与曲线y=−x2+2x+2 有公共点，则直线l的斜率的最大值为 .
14．（2025·广东汕头·模拟预测）如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分（包括边界）的动点，则yx−4的最小值为 .
四、解答题
15．（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆C：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：x−y+2=0.
(1)求圆C的圆心及半径；
(2)求直线l被圆C截得的弦AB的长度.
16．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆C经过点1, 0，圆心C在射线y=3x,(x≥0)上，且直线x−y=0被圆C截得的弦长为27.
(1)求圆C的方程；
(2)过点N−2,−1作圆C的切线，求切线的方程.
17．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知圆C的方程为：(x+1)2+y2=4；
(1)过点P(1,3)作圆的切线，求切线l的方程.
(2)已知圆C上有2个点到直线l：x+my+4=0的距离为1，求m的取值范围.
18．（24-25高二上·云南大理·期末）一个圆M切直线l1:x−6y−10=0于点P4,−1，且圆心在直线l2:5x−3y=0上.
(1)求该圆的方程；
(2)过直线l:5x+7y+24=0上一点N引圆的两条切线，切点分别为A，B，求四边形MANB面积的最小值.
19．（2025·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，Q2,0，过点P2,4作直线l与圆O:x2+y2=4交于不同的两点M,N．
(1)若直线l的斜率为1，求MN；
(2)设直线QM，QN的斜率分别是k1，k2，探索k1+k2是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．