2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点29巧解圆锥曲线的离心率问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点29巧解圆锥曲线的离心率问题(学生版+解析)，共10页。

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\l "_Tc20735" 【题型1 利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc20735 \h 2
\l "_Tc771" 【题型2 根据离心率求圆锥曲线的标准方程】 PAGEREF _Tc771 \h 3
\l "_Tc19901" 【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc19901 \h 3
\l "_Tc20076" 【题型4 利用余弦定理求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc20076 \h 4
\l "_Tc24639" 【题型5 利用基本不等式求离心率的范围】 PAGEREF _Tc24639 \h 5
\l "_Tc3031" 【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】 PAGEREF _Tc3031 \h 5
\l "_Tc20426" 【题型7 函数法求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc20426 \h 6
\l "_Tc12785" 【题型8 坐标法求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc12785 \h 6
1、巧解圆锥曲线的离心率问题
从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的重点、热点题型，主要以选择题或填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁，复习时要加强这方面的训练.
知识点1 圆锥曲线的离心率
1．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：01的左､右焦点分别为F1,F2，过点F1的直线l与C交于A,B两点，若△ABF2的周长为12，则C的离心率为（ ）
A．13B．23C．23D．223
【变式1-1】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）双曲线C:x2a2−y2=1a>0经过点22,1，则C的离心率e等于（ ）
A．32B．3C．5D．52
【变式1-2】（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为2x−y=0，则它的离心率为（ ）
A．5B．52C．3D．2
【变式1-3】（2025·山东济南·三模）已知焦点在x轴上的椭圆C:x29+y2b2=1，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=3x+4相交，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．(0,23)B．(0,53)C．(23,1)D．(53,1)
【题型2 "" \t "" \ "根据离心率求椭圆的标准方程" 根据离心率求圆锥曲线的标准方程】
【例2】（2025·北京门头沟·一模）已知双曲线C经过点0,1， 离心率为2，则C的标准方程为（ ）
A．x2−y23=1B．x23−y2=1
C．y2−x23=1D．y23−x2=1
【变式2-1】（2025·四川乐山·三模）与双曲线x216−y29=1有公共焦点，且离心率为57的椭圆方程为（ ）
A．x224+y249=1B．x250+y225=1C．x249+y224=1D．x225+y250=1
【变式2-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2，离心率为23，过点F1作直线l（与y轴不重合）交椭圆C于M,N两点，△MNF2的周长为12，则椭圆C的标准方程是（ ）
A．x23+y2=1B．y23+x2=1C．x29+y25=1D．y29+x25=1
【变式2-3】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）双曲线C与椭圆x26+y22=1有公共的焦点，且C的离心率是2，则C的标准方程是（ ）
A．x2−y23=1B．y2−x23=1C．x24−y212=1D．y24−x212=1
【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】
【例3】（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点为F1,O为坐标原点，若在C的右支上存在关于x轴对称的两点P,Q，使得△PF1Q为正三角形，且OQ⊥F1P，则C的离心率为（ ）
A．2B．1+2C．3D．1+3
【变式3-1】（2025·湖北·模拟预测）已知F1、F2分别为椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，点P（不在Γ上）为y轴上一点，线段PF1与Γ交于点Q，F2Q⋅PF1=0，△PQF2内切圆的直径为b，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A．53B．223C．104D．32
【变式3-2】（2024·湖南衡阳·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A在C的左支上，AF2交C的右支于点B，若∠F1AB=∠F1BA=30°，则双曲线C的离心率为（ ）
A．155B．153C．3D．5
【变式3-3】（2025·河南·模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0上有动点P,P在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点M,N，使△PMN的重心为右焦点F，则椭圆E的离心率的取值范围为（ ）
A．0,12B．13,1C．0,13D．12,1
【题型4 利用余弦定理求离心率或其范围】
【例4】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于P，Q两点，若PF1=2QF1，PQ=QF2，则椭圆C的离心率为（ ）
A．22B．33C．55D．12
【变式4-1】（2025·河南·模拟预测）设双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，F1B=2F1A，F2A⋅F2B=4a2，则C的离心率为（ ）
A．2B．2C．5D．7
【变式4-2】（2025·广东广州·三模）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点为F1,F2，过点F2的直线与E交于M，N两点．若cs∠F1MF2=79，MN=MF1，则椭圆E的离心率为（ ）
A．223B．63C．33D．13
【变式4-3】（2024·湖南衡阳·一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1，两焦点分别为F1,F2，过右焦点F2作直线l交右支于A，B点，且AB=53AF2，若∠F1AB=π3，则双曲线C的离心率为（ ）
A．75B．32C．53D．2
【题型5 利用基本不等式求离心率的范围】
【例5】（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左右焦点分别为 F1,F2 ，椭圆存在一点 P ，若 ∠F1PF2=120∘ ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A．22,32B．12,1C．32,1D．12,32
【变式5-1】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线C1,C2的焦点分别在x轴，y轴上，渐近线方程为y=±1ax，离心率分别为e1,e2，则e1+e2的最小值为（ ）
A．2B．23C．3D．22
【变式5-2】（24-25高一下·浙江·期中）已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0和双曲线C2:x2m2−y2n2=1m>0,n>0有相同的焦点F1,F2,P为两曲线在第一象限的交点，e1,e2分别为曲线C1,C2的离心率.若∠PF1F2=∠F2PO，则e2+2e1的最小值为（ ）
A．22B．32C．42D．62
【变式5-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1,F2,P是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，且∠F1PF2=π3，其离心率分别为e1,e2，则3e12+e22的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．12
【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】
【例6】（2025·浙江绍兴·模拟预测）设椭圆C1:x24+y2=1和双曲线C2:x2a2−y2=1a>0的离心率分别为e1,e2.若e1⋅e2=1，则a=（ ）
A．3B．3C．13D．33
【变式6-1】（2024·四川乐山·三模）设双曲线C1:x2a2−y2=1(a>0)，椭圆C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2，若e1=23e2，则a=（ ）
A．28B．24C．22D．63
【变式6-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆C1：x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2：x2n2−y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．e1e2>2B．e1+e2>2
C．0b>0上的点M作圆x2+y2=b2的两条切线，切点分别为P，Q.若直线PQ在x轴，y轴上的截距分别为m，n，若a2n2+b2m2=2，则椭圆离心率为（ ）
A．12B．33C．22D．63
【变式8-1】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,l1,l2分别为双曲线C的两条渐近线，直线l过点F2，且l//l1，直线l与l2交于点P，直线l与双曲线C的右半支交于点Q，且F2Q=QP，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．32C．3D．2
【变式8-2】（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，过原点O的直线AB交椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)于A,B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP,AQ，且分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP于点M，若AM=34AP，则椭圆C的离心率为（ ）
A．13B．33C．12D．32
【变式8-3】（2025·甘肃白银·三模）已知A是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0在第一象限上的一点，点B与点A关于原点O对称，过点A作AM⊥AB，与C的另外一个交点为M，连接BM，与y轴交于点N，若ON2=7OA⋅NO，则C的离心率为（ ）
A．5B．6C．7D．3
一、单选题
1．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆 x29+y2b2=1，其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为42的三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．13B．23C．12D．22
2．（2025·广东·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1,F2,A是双曲线C上一点，B为线段AF1的中点.若F1F2=AF2=2BF2，则C的离心率为（ ）
A．3+1B．2C．3+12D．2
3．（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，右顶点为A，F1到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（ ）
A．22B．33C．3−12D．5−12
4．（2025·江苏宿迁·三模）设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）A,B两点，若AB=b，则双曲线C的离心率为（ ）
A．4B．2C．3D．2
5．（2025·贵州贵阳·模拟预测）设椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，直线AF1交M于另一点B，△ABF2的内切圆与AB相切于点C，若|BC|=F1F2，则椭圆M的离心率为（ ）
A．34B．14C．13D．12
6．（2025·江西·模拟预测）已知椭圆的方程为x2m+y2n=1(m>n>0)，且离心率与双曲线x24−y212=1的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（ ）
A．x2.4+y23=1B．x216+y24=1C．x22+23y2=1D．3x2+4y2=1
7．（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F2(2,0)，若圆M:(x+2)2+(y−6)2=4上存在点P 使得PF2的中点在C的渐近线上，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．[2,+∞)B．[3,+∞)C．(1,2]D．(1,3]
8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知P为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点，M、N是椭圆上的点.若四边形OPMN满足OM=OP+ON，∠PON∈2π3,5π6，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．0,23B．0,232
C．0,32D．63,1
二、多选题
9．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆E：x225+y29=1的左、右焦点分别为F1,F2，点Px0,y0）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆E的长轴长为5B．椭圆E的离心率为45
C．1≤PF1≤9D．恰好存在两个点P使得PF1⋅PF2=0
10．（2025·广东揭阳·三模）已知双曲线E：x218−y22=1，则（ ）
A．E的实轴长是虚轴长的9倍B．E的渐近线方程为y=±13x
C．E的焦距为4D．E的离心率为103
11．（2025·湖北黄冈·三模）若圆锥曲线C:mx2+ny2=1的离心率为12，则实数m与n的关系为（ ）
A．4m=3nB．m=4n
C．4n=3mD．n=4m
三、填空题
12．（2025·湖南长沙·三模）椭圆C:x225+y29=1的离心率为 ．
13．（2025·河南南阳·模拟预测）已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，O为原点，A为C上一点，OA=OF，若AF=2a3，则C的离心率为 ．
14．（2025·黑龙江大庆·一模）已知F1,F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A,B两点，若3|AB|≥2|F1F2|，则双曲线的离心率的取值范围是 .
四、解答题
15．（2025·江苏扬州·三模）已知A4,0和P2,2，直线AP与椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0切于点P.
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为42，求l的方程.
16．（2025·湖南娄底·二模）已知双曲线C：x2−y2b2=1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q是C上的两点，线段PQ的中点为R．当PF⊥AF时，PF=AF．
(1)求C的离心率；
(2)若R12,32，求直线PQ的一般式方程．
17．（2025·河南·模拟预测）已知椭圆C的中心与坐标原点O重合，F3,0为C的一个焦点，且点B0,7在C上.
(1)求C的方程及离心率；
(2)设点P为C在第一象限的部分上一点，求四边形OFPB面积的最大值.
18．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2=1(a>0)过点M2,1,MP,MQ分别为圆C：(x−2)2+y2=r200)经过点1,32，且右顶点为A(2,0)．
(1)求椭圆M的方程及离心率；
(2)过点P(−2,2)的直线与椭圆M交于不同两点B，C（均不是椭圆顶点），直线AB，AC分别与直线OP交于点M、N，求证：|OM|=|ON|．