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高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第07讲拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇(高频精讲)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第07讲拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇(高频精讲)(原卷版+解析)，共46页。试卷主要包含了中线，角平分线等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22840" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc22840 \h 1
\l "_Tc13584" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc13584 \h 2
\l "_Tc31595" 高频考点一：中线长问题 PAGEREF _Tc31595 \h 2
\l "_Tc3554" 方法一：中线向量形式 PAGEREF _Tc3554 \h 2
\l "_Tc3160" 方法二：中线分第三条边所成两角互余 PAGEREF _Tc3160 \h 8
\l "_Tc31763" 高频考点二：已知角平分线问题 PAGEREF _Tc31763 \h 12
\l "_Tc1402" 方法一：内角平分线定理 PAGEREF _Tc1402 \h 12
\l "_Tc20914" 方法二：等面积法（核心方法） PAGEREF _Tc20914 \h 17
\l "_Tc7479" 方法三：角平分线分第三条边所成两角互余 PAGEREF _Tc7479 \h 26
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第一部分：知识点必背
1、中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
2.1内角平分线定理：
核心技巧：或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：中线长问题
方法一：中线向量形式
典型例题
例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，是边上的点，，，平分，的面积是的面积的两倍．
(1)求的面积；
(2)求的边上的中线的长．
例题2．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知内角所对的边分别为，面积为，且，求：
(1)求角的大小；
(2)求边中线长的最小值.
例题3．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
例题4．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)设，，分别是的三个内角，,，所对的边，且边上的中线，求面积的最大值．
练透核心考点
1．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）在中，角所对的边分别为.
(1)求；
(2)若，求的中线的最小值.
2．（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且满足______．
请从以下三个条件中选择一个作为已知条件补充在题目上，并完成下面问题：
①外接圆半径；
②；
③．
(1)求锐角；
(2)求的BC边上的中线的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）设的内角所对的边分别为，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，边上的中线，求的面积．
方法二：中线分第三条边所成两角互余
核心技巧：
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（ ）
A．3B．C．1或2D．2或3
例题2．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）如图,已知的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若边上的中线，且，求的周长．
例题3．（2023春·广东·高二校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小.
（2）若边上的中线，且,求的周长.
练透核心考点
1．（2022秋·四川巴中·高二四川省通江中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足．
(1)求角B．
(2)若边上的中线长为，求的面积和周长．
2．（2023春·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足.
(1)求角A；
(2)若BC边上的中线长为，且，求的面积.
高频考点二：已知角平分线问题
方法一：内角平分线定理
典型例题
例题1．（2023·江苏·统考一模）在中，，的角平分线交于点，的面积是面积的3倍，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·全国·高一专题练习）在中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 __________.
例题3．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
(1)求及线段的长；
(2)求的面积．
练透核心考点
1．（2023·河南郑州·统考二模）在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则______.
2．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在中，，是的角平分线交于点，且满足，则______.
3．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第三中学校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且
(1)求的值；
(2)给出以下三个条件：
条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
方法二：等面积法（核心方法）
典型例题
例题1．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考期中）在中，角,，的对边分别为，，，已知，若角的内角平分线的长为3，则的最小值为（ ）
A．12B．24C．27D．36
例题2．（2023·全国·高三专题练习）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圆面积为，求的最大值；
(3)若，且的角平分线，求．
例题3．（2023·山东济南·一模）已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)中内角，，所对的边分别为，，，，求的内角平分线的长．
例题4．（2023·湖南郴州·统考三模）在中，内角所对的边分别为，已知
(1)求角.
(2)的角平分线交于点，且，求的最小值.
例题5．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①，
条件②，
条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，
(1)求；
(2)若是的角平分线，且，求的最小值．
练透核心考点
1．（多选）（2023春·山东济南·高一校考阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，B的角平分线交AC于D，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为 ，且.
(1)求角B；
(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.
3．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，边上的高为，
(1)求c的值；
(2)设是的角平分线，求的长.
4．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，．
(1)求角的大小；
(2)求线段的长．
5．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求C；
(2)若角C的内角平分线与AB边交于点D，且CD＝2，求b＋4a的最小值.
方法三：角平分线分第三条边所成两角互余
核心技巧：
典型例题
例题1．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知的内角、、的对边分别为、、，，，点满足.
(1)若为的角平分线，求的周长；
(2)求的取值范围.
例题2．（2023·福建福州·高一福建省福州第一中学校考）已知中，角，，所对的边分别为，，，点D在边上，为的角平分线．．
(1)求；
(2)若，求的大小．
练透核心考点
1．（2023春·山西大同·高一大同一中校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.
请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
第07讲 拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇 (精讲）
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22840" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc22840 \h 1
\l "_Tc13584" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc13584 \h 2
\l "_Tc31595" 高频考点一：中线长问题 PAGEREF _Tc31595 \h 2
\l "_Tc3554" 方法一：中线向量形式 PAGEREF _Tc3554 \h 2
\l "_Tc3160" 方法二：中线分第三条边所成两角互余 PAGEREF _Tc3160 \h 8
\l "_Tc31763" 高频考点二：已知角平分线问题 PAGEREF _Tc31763 \h 12
\l "_Tc1402" 方法一：内角平分线定理 PAGEREF _Tc1402 \h 12
\l "_Tc20914" 方法二：等面积法（核心方法） PAGEREF _Tc20914 \h 17
\l "_Tc7479" 方法三：角平分线分第三条边所成两角互余 PAGEREF _Tc7479 \h 26
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第一部分：知识点必背
1、中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
2.1内角平分线定理：
核心技巧：或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：中线长问题
方法一：中线向量形式
典型例题
例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，是边上的点，，，平分，的面积是的面积的两倍．
(1)求的面积；
(2)求的边上的中线的长．
【答案】(1)(2)．
【详解】（1）由已知及正弦定理可得：，
化简得：．
又因为：
，所以， 所以，
所以△ACD的面积为．
（2）由（1）可知，因为AE是△ABC的边BC上的中线，
所以，
所以，
所以△ABC的边BC上的中线AE的长为．
例题2．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知内角所对的边分别为，面积为，且，求：
(1)求角的大小；
(2)求边中线长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），由余弦定理可得，即，
由正弦定理可得，
，.
，即，又，所以.
（2）由（1）知，，的面积为，
所以，解得.
由平面向量可知，所以
，
当且仅当时取等号，
故边中线的最小值为.
例题3．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，所以，即，
所以，
由余弦定理及得：，
又，所以，即，所以；
（2）由，所以，由（1），
所以，因为为边上的中线，所以，
所以
，所以，所以边上的中线的长为：.
例题4．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)设，，分别是的三个内角，,，所对的边，且边上的中线，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1），
令，得，
即函数的单调递减区间为．
（2）由（1）知得，
所以，即，
又，得，
而由是边上的中线可得，
故，
所以，
所以当且仅当时等号成立，
所以的面积为．
所以的面积的最大值为．
练透核心考点
1．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）在中，角所对的边分别为.
(1)求；
(2)若，求的中线的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
所以，
由正弦定理可得，所以，因为，
则；
（2）由题意，
则，
则，即的中线的最小值为（当且仅当取最小值）；
综上，的最小值为.
2．（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且满足______．
请从以下三个条件中选择一个作为已知条件补充在题目上，并完成下面问题：
①外接圆半径；
②；
③．
(1)求锐角；
(2)求的BC边上的中线的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【详解】（1）解：若选①，由，解得，
又A为锐角，
故；
若选②，由正弦定理得，
即，
又，
所以，
则，
又A为锐角，
故；
若选③，由，
则有，
即，
又A为锐角，所以，
所以，故；
综上所述；
（2）解：由余弦定理可得，
所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以．
设BC的中点为M，则，
等式两边平方可得：
，
当且仅当时等号成立，
所以，
即BC边上的中线的最大值为．
3．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）设的内角所对的边分别为，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，边上的中线，求的面积．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）由题意利用正弦定理可得．
．
，
，即．
（2）．
由中线，
得
，
．
方法二：中线分第三条边所成两角互余
核心技巧：
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（ ）
A．3B．C．1或2D．2或3
【答案】C
【详解】由得，∴，∵，∴，即.
在中，由余弦定理可得，整理得，
在中，，∴，即 （*），
当时，（*）式可解得，；
当时，（*）式可解得，；
故选：C
例题2．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）如图,已知的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若边上的中线，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，
由余弦定理可得，
∴，
∴，由，
∴.
（2）如图，
由（1）得，，①
由余弦定理知，即，②
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③
由①②③，得，
所以，
所以的周长．
例题3．（2023春·广东·高二校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小.
（2）若边上的中线，且,求的周长.
【答案】（1）（2）
【详解】解：（1）由已知
由正弦定理得：
由余弦定理得：
在中，因为,所以
（2）由，得①
由（1）知，即 ②
在中，由余弦定理得：
在中，由余弦定理得：
因为，所以③
由①②③，得
所以
所以的周长.
练透核心考点
1．（2022秋·四川巴中·高二四川省通江中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足．
(1)求角B．
(2)若边上的中线长为，求的面积和周长．
【答案】(1)
(2)，周长为．
【详解】（1）由外接圆半径为得，
由，得，
利用正弦定理得：，即，
化简得，
由C为的内角，得，可得，
又B为的内角，所以．
（2）由正弦定理得：，
设D为边上的中点，则，
在中，，
在中，，
因为，所以，可得，
由余弦定理，即，，
由三角形面积公式得：，
由，得，得，所以周长为．
2．（2023春·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足.
(1)求角A；
(2)若BC边上的中线长为，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
所以，化简得，
因为，所以，因为,所以；
（2）设中线交于，则，
由余弦定理得，即，
化简得，因为，所以，
所以.
高频考点二：已知角平分线问题
方法一：内角平分线定理
典型例题
例题1．（2023·江苏·统考一模）在中，，的角平分线交于点，的面积是面积的3倍，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为，
即，在中，作边上高，垂足为，
则，
故选:A.
例题2．（2023春·全国·高一专题练习）在中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 __________.
【答案】
【详解】由题意是的角平分线，，
由角平分线的性质知：，
设，
因为，则，则,
所以，整理得，解得或（舍）.
所以,.
故答案为：
例题3．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
(1)求及线段的长；
(2)求的面积．
【答案】(1)，BC＝6
(2)
【详解】（1）由题意在中，，∴，
∴，而，，∴，
由余弦定理得（舍去），即.
（2）在中，，，，
∴，
∵AE平分∠BAC，，
由正弦定理得：，
其中，
∴，则,,
∵AD为BC边的中线，∴，
∴.
练透核心考点
1．（2023·河南郑州·统考二模）在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则______.
【答案】##
【详解】由题设，则，
又，则，故，又，即，
在△中，由余弦定理知：，即，得，故，
在△中，由余弦定理知：，
故，故或，
又，即，故.
故答案为：
2．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在中，，是的角平分线交于点，且满足，则______.
【答案】
【详解】解：如图所示：
因为是的角平分线，
所以，
设，
又因为，
设，
又因为，，
所以，
在中，由正弦定理可得：，即①,
在中，由正弦定理可得：，即②,
由①②可得即,
又因为，
所以.
故答案为：
3．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第三中学校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且
(1)求的值；
(2)给出以下三个条件：
条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
【答案】(1)；
(2)条件正确，(i)；(ii).
【详解】（1），
，
，
，得Z，
由，得；
（2）若条件①正确，由，得，
由余弦定理，得，即，
解得不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确；
(i)由，，
得，解得，
由余弦定理，得，
因为，所以，由正弦定理，
得，即；
(ii)由正弦定理，得，即，
因为平方，，所以，
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
又，上述两式相除，得，
解得，所以.
方法二：等面积法（核心方法）
典型例题
例题1．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考期中）在中，角,，的对边分别为，，，已知，若角的内角平分线的长为3，则的最小值为（ ）
A．12B．24C．27D．36
【答案】A
【详解】因为，
所以，即，
所以，
又因，所以，
由，得，
所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圆面积为，求的最大值；
(3)若，且的角平分线，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题知，即，
由，解得．
（2）由外接圆面积为得外接圆半径，
由（1），所以，
由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，即，
化简得，当且仅当a＝c时等号成立．
所以ac的最大值为．
（3）因为BD是的角平分线，则，
所以的面积，
所以，则，
由，所以，解得（负值舍去），
综上，．
例题3．（2023·山东济南·一模）已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)中内角，，所对的边分别为，，，，求的内角平分线的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
所以，,
解得，,
所以的单调递减区间为．
（2）因为，所以．
因为，所以，所以，
所以，
故，
由题意知，，
所以，
即，
所以．
例题4．（2023·湖南郴州·统考三模）在中，内角所对的边分别为，已知
(1)求角.
(2)的角平分线交于点，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
故，
即，，，
故，
，，故，，.
（2），的平分线交于点，故，
由三角形的面积公式可得，
化简得，又，所以，
则，
当且仅当时取等号，故的最小值为.
例题5．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①，
条件②，
条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，
(1)求；
(2)若是的角平分线，且，求的最小值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【详解】（1）解：选①：因为，由正弦定理可得，
即，
所以，
而，，故，因为，所以；
选②：因为，由正弦定理，
即，由余弦定理，
因为，所以；
选③：因为，
正弦定理及三角形内角和定理可得，
即，
因为、，则，所以，，，
所以，所以，即.
（2）解：由题意可知，，
由角平分线性质和三角形面积公式得，
化简得，即，
因此，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
练透核心考点
1．（多选）（2023春·山东济南·高一校考阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，B的角平分线交AC于D，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】因为是角的平分线，
所以.
由题意可知， ,即,
所以，即，
因为为锐角三角形，
所以,
所以，
所以，
所以，即，
所以，即,故A错误；
在中，,即，
因为为锐角三角形，
所以，解得，故B正确；
由正弦定理得,即,
因为，
所以，即，
所以，故C正确；
由正弦定理，
所以
所以
，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为 ，且.
(1)求角B；
(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知及正弦定理得：，
又在中，,
∴，
即，
又，∴,
又，∴，即角B的大小为.
（2）∵.
是的角平分线，而，
∴，
即，∴.
∵，∴，
∵，∴，即,
当且仅当时取等号，则，
即的面积的最小值为.
3．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，边上的高为，
(1)求c的值；
(2)设是的角平分线，求的长.
【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）由的面积，则，
且，解得，
故c的值为3.
（2）由（1）可得：，
由题意可得：，
∵，则，
即，解得，
故的长.
4．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，．
(1)求角的大小；
(2)求线段的长．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）在中，由已知，可得：
则有：，
即
又，即有，
而，所以．
（2）在中，由（1）知，因为为角的角平分线，
则有，
由得：
解得，
所以线段的长为．
5．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求C；
(2)若角C的内角平分线与AB边交于点D，且CD＝2，求b＋4a的最小值.
【答案】(1)
(2)18
【详解】（1）设外接圆的半径为R，由正弦定理得：
，
则可化为，
整理得.
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由和的面积之和等于的面积，得，
可得，即.
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故的最小值为18.
方法三：角平分线分第三条边所成两角互余
核心技巧：
典型例题
例题1．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知的内角、、的对边分别为、、，，，点满足.
(1)若为的角平分线，求的周长；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，，①
在中，，②
因为为的角平分线，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，
所以，，
所以的周长为.
（2）在中，，
在中，，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以
所以所以，
令，则，
则，，
，
当时， ，当 时， ，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以，所以的取值范围为.
例题2．（2023·福建福州·高一福建省福州第一中学校考）已知中，角，，所对的边分别为，，，点D在边上，为的角平分线．．
(1)求；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，即
由正弦定理可得
，
即
（2），即
设，则
，解得
练透核心考点
1．（2023春·山西大同·高一大同一中校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.
请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【详解】（1），
由，得，，
∴函数的单调递增区间为，；
（2）由，得，
又中，，可知；
若选①：
由，可知，可化为，
又，则，
又中，故，所以，
则，故；
若选②：为的中线，且
在中，，，则有，
在中，，
在中，，
又，
则
则，又知，故；
故；
若选③：为的角平分线，且.
由题意知，，
即，整理得
又在中，，，则有，
故
解之得，，故.
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22840" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc22840 \h 1
\l "_Tc13584" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc13584 \h 2
\l "_Tc31595" 高频考点一：中线长问题 PAGEREF _Tc31595 \h 2
\l "_Tc3554" 方法一：中线向量形式 PAGEREF _Tc3554 \h 2
\l "_Tc3160" 方法二：中线分第三条边所成两角互余 PAGEREF _Tc3160 \h 8
\l "_Tc31763" 高频考点二：已知角平分线问题 PAGEREF _Tc31763 \h 12
\l "_Tc1402" 方法一：内角平分线定理 PAGEREF _Tc1402 \h 12
\l "_Tc20914" 方法二：等面积法（核心方法） PAGEREF _Tc20914 \h 17
\l "_Tc7479" 方法三：角平分线分第三条边所成两角互余 PAGEREF _Tc7479 \h 26
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第一部分：知识点必背
1、中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
2.1内角平分线定理：
核心技巧：或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：中线长问题
方法一：中线向量形式
典型例题
例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，是边上的点，，，平分，的面积是的面积的两倍．
(1)求的面积；
(2)求的边上的中线的长．
例题2．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知内角所对的边分别为，面积为，且，求：
(1)求角的大小；
(2)求边中线长的最小值.
例题3．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
例题4．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)设，，分别是的三个内角，,，所对的边，且边上的中线，求面积的最大值．
练透核心考点
1．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）在中，角所对的边分别为.
(1)求；
(2)若，求的中线的最小值.
2．（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且满足______．
请从以下三个条件中选择一个作为已知条件补充在题目上，并完成下面问题：
①外接圆半径；
②；
③．
(1)求锐角；
(2)求的BC边上的中线的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）设的内角所对的边分别为，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，边上的中线，求的面积．
方法二：中线分第三条边所成两角互余
核心技巧：
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（ ）
A．3B．C．1或2D．2或3
例题2．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）如图,已知的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若边上的中线，且，求的周长．
例题3．（2023春·广东·高二校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小.
（2）若边上的中线，且,求的周长.
练透核心考点
1．（2022秋·四川巴中·高二四川省通江中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足．
(1)求角B．
(2)若边上的中线长为，求的面积和周长．
2．（2023春·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足.
(1)求角A；
(2)若BC边上的中线长为，且，求的面积.
高频考点二：已知角平分线问题
方法一：内角平分线定理
典型例题
例题1．（2023·江苏·统考一模）在中，，的角平分线交于点，的面积是面积的3倍，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·全国·高一专题练习）在中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 __________.
例题3．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
(1)求及线段的长；
(2)求的面积．
练透核心考点
1．（2023·河南郑州·统考二模）在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则______.
2．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在中，，是的角平分线交于点，且满足，则______.
3．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第三中学校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且
(1)求的值；
(2)给出以下三个条件：
条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
方法二：等面积法（核心方法）
典型例题
例题1．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考期中）在中，角,，的对边分别为，，，已知，若角的内角平分线的长为3，则的最小值为（ ）
A．12B．24C．27D．36
例题2．（2023·全国·高三专题练习）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圆面积为，求的最大值；
(3)若，且的角平分线，求．
例题3．（2023·山东济南·一模）已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)中内角，，所对的边分别为，，，，求的内角平分线的长．
例题4．（2023·湖南郴州·统考三模）在中，内角所对的边分别为，已知
(1)求角.
(2)的角平分线交于点，且，求的最小值.
例题5．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①，
条件②，
条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，
(1)求；
(2)若是的角平分线，且，求的最小值．
练透核心考点
1．（多选）（2023春·山东济南·高一校考阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，B的角平分线交AC于D，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为 ，且.
(1)求角B；
(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.
3．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，边上的高为，
(1)求c的值；
(2)设是的角平分线，求的长.
4．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，．
(1)求角的大小；
(2)求线段的长．
5．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求C；
(2)若角C的内角平分线与AB边交于点D，且CD＝2，求b＋4a的最小值.
方法三：角平分线分第三条边所成两角互余
核心技巧：
典型例题
例题1．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知的内角、、的对边分别为、、，，，点满足.
(1)若为的角平分线，求的周长；
(2)求的取值范围.
例题2．（2023·福建福州·高一福建省福州第一中学校考）已知中，角，，所对的边分别为，，，点D在边上，为的角平分线．．
(1)求；
(2)若，求的大小．
练透核心考点
1．（2023春·山西大同·高一大同一中校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.
请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
第07讲 拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇 (精讲）
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22840" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc22840 \h 1
\l "_Tc13584" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc13584 \h 2
\l "_Tc31595" 高频考点一：中线长问题 PAGEREF _Tc31595 \h 2
\l "_Tc3554" 方法一：中线向量形式 PAGEREF _Tc3554 \h 2
\l "_Tc3160" 方法二：中线分第三条边所成两角互余 PAGEREF _Tc3160 \h 8
\l "_Tc31763" 高频考点二：已知角平分线问题 PAGEREF _Tc31763 \h 12
\l "_Tc1402" 方法一：内角平分线定理 PAGEREF _Tc1402 \h 12
\l "_Tc20914" 方法二：等面积法（核心方法） PAGEREF _Tc20914 \h 17
\l "_Tc7479" 方法三：角平分线分第三条边所成两角互余 PAGEREF _Tc7479 \h 26
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
第一部分：知识点必背
1、中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
2.1内角平分线定理：
核心技巧：或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：中线长问题
方法一：中线向量形式
典型例题
例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，是边上的点，，，平分，的面积是的面积的两倍．
(1)求的面积；
(2)求的边上的中线的长．
【答案】(1)(2)．
【详解】（1）由已知及正弦定理可得：，
化简得：．
又因为：
，所以， 所以，
所以△ACD的面积为．
（2）由（1）可知，因为AE是△ABC的边BC上的中线，
所以，
所以，
所以△ABC的边BC上的中线AE的长为．
例题2．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知内角所对的边分别为，面积为，且，求：
(1)求角的大小；
(2)求边中线长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），由余弦定理可得，即，
由正弦定理可得，
，.
，即，又，所以.
（2）由（1）知，，的面积为，
所以，解得.
由平面向量可知，所以
，
当且仅当时取等号，
故边中线的最小值为.
例题3．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，所以，即，
所以，
由余弦定理及得：，
又，所以，即，所以；
（2）由，所以，由（1），
所以，因为为边上的中线，所以，
所以
，所以，所以边上的中线的长为：.
例题4．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)设，，分别是的三个内角，,，所对的边，且边上的中线，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1），
令，得，
即函数的单调递减区间为．
（2）由（1）知得，
所以，即，
又，得，
而由是边上的中线可得，
故，
所以，
所以当且仅当时等号成立，
所以的面积为．
所以的面积的最大值为．
练透核心考点
1．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）在中，角所对的边分别为.
(1)求；
(2)若，求的中线的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
所以，
由正弦定理可得，所以，因为，
则；
（2）由题意，
则，
则，即的中线的最小值为（当且仅当取最小值）；
综上，的最小值为.
2．（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且满足______．
请从以下三个条件中选择一个作为已知条件补充在题目上，并完成下面问题：
①外接圆半径；
②；
③．
(1)求锐角；
(2)求的BC边上的中线的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【详解】（1）解：若选①，由，解得，
又A为锐角，
故；
若选②，由正弦定理得，
即，
又，
所以，
则，
又A为锐角，
故；
若选③，由，
则有，
即，
又A为锐角，所以，
所以，故；
综上所述；
（2）解：由余弦定理可得，
所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以．
设BC的中点为M，则，
等式两边平方可得：
，
当且仅当时等号成立，
所以，
即BC边上的中线的最大值为．
3．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）设的内角所对的边分别为，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，边上的中线，求的面积．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）由题意利用正弦定理可得．
．
，
，即．
（2）．
由中线，
得
，
．
方法二：中线分第三条边所成两角互余
核心技巧：
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（ ）
A．3B．C．1或2D．2或3
【答案】C
【详解】由得，∴，∵，∴，即.
在中，由余弦定理可得，整理得，
在中，，∴，即 （*），
当时，（*）式可解得，；
当时，（*）式可解得，；
故选：C
例题2．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）如图,已知的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若边上的中线，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，
由余弦定理可得，
∴，
∴，由，
∴.
（2）如图，
由（1）得，，①
由余弦定理知，即，②
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③
由①②③，得，
所以，
所以的周长．
例题3．（2023春·广东·高二校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小.
（2）若边上的中线，且,求的周长.
【答案】（1）（2）
【详解】解：（1）由已知
由正弦定理得：
由余弦定理得：
在中，因为,所以
（2）由，得①
由（1）知，即 ②
在中，由余弦定理得：
在中，由余弦定理得：
因为，所以③
由①②③，得
所以
所以的周长.
练透核心考点
1．（2022秋·四川巴中·高二四川省通江中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足．
(1)求角B．
(2)若边上的中线长为，求的面积和周长．
【答案】(1)
(2)，周长为．
【详解】（1）由外接圆半径为得，
由，得，
利用正弦定理得：，即，
化简得，
由C为的内角，得，可得，
又B为的内角，所以．
（2）由正弦定理得：，
设D为边上的中点，则，
在中，，
在中，，
因为，所以，可得，
由余弦定理，即，，
由三角形面积公式得：，
由，得，得，所以周长为．
2．（2023春·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足.
(1)求角A；
(2)若BC边上的中线长为，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
所以，化简得，
因为，所以，因为,所以；
（2）设中线交于，则，
由余弦定理得，即，
化简得，因为，所以，
所以.
高频考点二：已知角平分线问题
方法一：内角平分线定理
典型例题
例题1．（2023·江苏·统考一模）在中，，的角平分线交于点，的面积是面积的3倍，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为，
即，在中，作边上高，垂足为，
则，
故选:A.
例题2．（2023春·全国·高一专题练习）在中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 __________.
【答案】
【详解】由题意是的角平分线，，
由角平分线的性质知：，
设，
因为，则，则,
所以，整理得，解得或（舍）.
所以,.
故答案为：
例题3．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
(1)求及线段的长；
(2)求的面积．
【答案】(1)，BC＝6
(2)
【详解】（1）由题意在中，，∴，
∴，而，，∴，
由余弦定理得（舍去），即.
（2）在中，，，，
∴，
∵AE平分∠BAC，，
由正弦定理得：，
其中，
∴，则,,
∵AD为BC边的中线，∴，
∴.
练透核心考点
1．（2023·河南郑州·统考二模）在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则______.
【答案】##
【详解】由题设，则，
又，则，故，又，即，
在△中，由余弦定理知：，即，得，故，
在△中，由余弦定理知：，
故，故或，
又，即，故.
故答案为：
2．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在中，，是的角平分线交于点，且满足，则______.
【答案】
【详解】解：如图所示：
因为是的角平分线，
所以，
设，
又因为，
设，
又因为，，
所以，
在中，由正弦定理可得：，即①,
在中，由正弦定理可得：，即②,
由①②可得即,
又因为，
所以.
故答案为：
3．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第三中学校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且
(1)求的值；
(2)给出以下三个条件：
条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
【答案】(1)；
(2)条件正确，(i)；(ii).
【详解】（1），
，
，
，得Z，
由，得；
（2）若条件①正确，由，得，
由余弦定理，得，即，
解得不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确；
(i)由，，
得，解得，
由余弦定理，得，
因为，所以，由正弦定理，
得，即；
(ii)由正弦定理，得，即，
因为平方，，所以，
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
又，上述两式相除，得，
解得，所以.
方法二：等面积法（核心方法）
典型例题
例题1．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考期中）在中，角,，的对边分别为，，，已知，若角的内角平分线的长为3，则的最小值为（ ）
A．12B．24C．27D．36
【答案】A
【详解】因为，
所以，即，
所以，
又因，所以，
由，得，
所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．
(1)求；
(2)若外接圆面积为，求的最大值；
(3)若，且的角平分线，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题知，即，
由，解得．
（2）由外接圆面积为得外接圆半径，
由（1），所以，
由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，即，
化简得，当且仅当a＝c时等号成立．
所以ac的最大值为．
（3）因为BD是的角平分线，则，
所以的面积，
所以，则，
由，所以，解得（负值舍去），
综上，．
例题3．（2023·山东济南·一模）已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)中内角，，所对的边分别为，，，，求的内角平分线的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
所以，,
解得，,
所以的单调递减区间为．
（2）因为，所以．
因为，所以，所以，
所以，
故，
由题意知，，
所以，
即，
所以．
例题4．（2023·湖南郴州·统考三模）在中，内角所对的边分别为，已知
(1)求角.
(2)的角平分线交于点，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
故，
即，，，
故，
，，故，，.
（2），的平分线交于点，故，
由三角形的面积公式可得，
化简得，又，所以，
则，
当且仅当时取等号，故的最小值为.
例题5．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①，
条件②，
条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，
(1)求；
(2)若是的角平分线，且，求的最小值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【详解】（1）解：选①：因为，由正弦定理可得，
即，
所以，
而，，故，因为，所以；
选②：因为，由正弦定理，
即，由余弦定理，
因为，所以；
选③：因为，
正弦定理及三角形内角和定理可得，
即，
因为、，则，所以，，，
所以，所以，即.
（2）解：由题意可知，，
由角平分线性质和三角形面积公式得，
化简得，即，
因此，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
练透核心考点
1．（多选）（2023春·山东济南·高一校考阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，B的角平分线交AC于D，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】因为是角的平分线，
所以.
由题意可知， ,即,
所以，即，
因为为锐角三角形，
所以,
所以，
所以，
所以，即，
所以，即,故A错误；
在中，,即，
因为为锐角三角形，
所以，解得，故B正确；
由正弦定理得,即,
因为，
所以，即，
所以，故C正确；
由正弦定理，
所以
所以
，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为 ，且.
(1)求角B；
(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知及正弦定理得：，
又在中，,
∴，
即，
又，∴,
又，∴，即角B的大小为.
（2）∵.
是的角平分线，而，
∴，
即，∴.
∵，∴，
∵，∴，即,
当且仅当时取等号，则，
即的面积的最小值为.
3．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，边上的高为，
(1)求c的值；
(2)设是的角平分线，求的长.
【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）由的面积，则，
且，解得，
故c的值为3.
（2）由（1）可得：，
由题意可得：，
∵，则，
即，解得，
故的长.
4．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，．
(1)求角的大小；
(2)求线段的长．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）在中，由已知，可得：
则有：，
即
又，即有，
而，所以．
（2）在中，由（1）知，因为为角的角平分线，
则有，
由得：
解得，
所以线段的长为．
5．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求C；
(2)若角C的内角平分线与AB边交于点D，且CD＝2，求b＋4a的最小值.
【答案】(1)
(2)18
【详解】（1）设外接圆的半径为R，由正弦定理得：
，
则可化为，
整理得.
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由和的面积之和等于的面积，得，
可得，即.
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故的最小值为18.
方法三：角平分线分第三条边所成两角互余
核心技巧：
典型例题
例题1．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知的内角、、的对边分别为、、，，，点满足.
(1)若为的角平分线，求的周长；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，，①
在中，，②
因为为的角平分线，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，
所以，，
所以的周长为.
（2）在中，，
在中，，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以
所以所以，
令，则，
则，，
，
当时， ，当 时， ，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以，所以的取值范围为.
例题2．（2023·福建福州·高一福建省福州第一中学校考）已知中，角，，所对的边分别为，，，点D在边上，为的角平分线．．
(1)求；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，即
由正弦定理可得
，
即
（2），即
设，则
，解得
练透核心考点
1．（2023春·山西大同·高一大同一中校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.
请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【详解】（1），
由，得，，
∴函数的单调递增区间为，；
（2）由，得，
又中，，可知；
若选①：
由，可知，可化为，
又，则，
又中，故，所以，
则，故；
若选②：为的中线，且
在中，，，则有，
在中，，
在中，，
又，
则
则，又知，故；
故；
若选③：为的角平分线，且.
由题意知，，
即，整理得
又在中，，，则有，
故
解之得，，故.
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