2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第02讲函数的单调性与最大(小)值(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第02讲函数的单调性与最大(小)值(精讲)(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了函数的单调性，函数的最值，常用高频结论等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc23401" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc23401 \h 1
\l "_Tc25068" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc25068 \h 3
\l "_Tc30816" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc30816 \h 3
\l "_Tc29435" 高频考点一：函数的单调性 PAGEREF _Tc29435 \h 3
\l "_Tc21882" 角度1：求函数的单调区间 PAGEREF _Tc21882 \h 3
\l "_Tc21114" 角度2：根据函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc21114 \h 4
\l "_Tc23467" 角度3：复合函数的单调性 PAGEREF _Tc23467 \h 4
\l "_Tc13941" 角度4：根据函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc13941 \h 5
\l "_Tc7728" 高频考点二：函数的最大（小）值 PAGEREF _Tc7728 \h 6
\l "_Tc11558" 角度1：利用函数单调性求最值 PAGEREF _Tc11558 \h 6
\l "_Tc25220" 角度2：根据函数最值求参数 PAGEREF _Tc25220 \h 7
\l "_Tc15769" 角度3：不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc15769 \h 8
\l "_Tc5368" 角度4：不等式有解问题 PAGEREF _Tc5368 \h 8
\l "_Tc1651" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc1651 \h 10
第一部分：基础知识
1、函数的单调性
（1）单调性的定义
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；
①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数
②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
（2）单调性简图：

（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最大值
（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最小值
3、常用高频结论
（1）设，.
①若有或，则在闭区间上是增函数；
②若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）
（3）对钩函数单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
（4）常见对钩函数：（），的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的单调性
角度1：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ．
精练高频考点
1．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ．
2．（2025高一·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间 .
角度2：根据函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
角度3：复合函数的单调性
典型例题
例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
方法总结：复合函数单调性遵循：同调增；异调减（同增异减）。
具体的若函数在内单调，在内单调，且集合.
(1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数
(2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数
精练高频考点
1．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．和D．
角度4：根据函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
友情提醒：本题最容易忽视的就是定义域，解题时很容易得到而忽略了定义域而造成错解，一轮复习时要特别引起注意，定义域是最容易被忽视的错解原因之一。
例题2．（24-25高三下·河北承德·开学考试）已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ．
2．（2026高三·全国·专题练习）函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足的x的取值范围是 ．
3．（24-25高三上·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ．
方法总结：对于在上是偶函数，且在单调递减，则；特别提醒不能忽略定义域；另外偶函数问题对变量加绝对值来比较大小
高频考点二：函数的最大（小）值
角度1：利用函数单调性求最值
典型例题
例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）函数的最小值和最大值分别是（ ）
A．3，6B．1，3C．1，4D．1，6
例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）函数的最小值是 ．
方法总结：函数单调性常涉及：
①图象法
②复合函数（同增异减）
③相加法：设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）
精练高频考点
1．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（ ）
A．2B．3
C．4D．5
2．（2025·广东肇庆·二模）已知函数，则的最小值是 .
角度2：根据函数最值求参数
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）设函数且在上的最大值和最小值之和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
例题2．（23-24高三上·广西南宁·期中）函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（24-25高三上·青海·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为5，则 .
2．（23-24高三上·全国·课后作业）已知函数.
(1)若函数在区间上y随x增大而增大，求实数a的取值范围；
(2)若函数在区间上的最大值为1，求实数a的值.
角度3：不等式恒成立问题
典型例题
例题1．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，当时，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（上海市2024-2025学年高三下学期5月调研数学试卷）设，.已知函数的定义域为，且．
(1)若函数是偶函数，求的值；
(2)设，若对任意的，均有，求的取值范围．
精练高频考点
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中a，．若对任意的，不等式在上恒成立，则b的取值范围为 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ．
角度4：不等式有解问题
典型例题
例题1．（多选）（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高三下·浙江·期中）已知函数．
(1)当时，求关于的不等式的解；
(2)若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围．
精练高频考点
1．（24-25高三上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·浙江杭州·期中）已知奇函数经过点.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
(3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围.
第四部分：典型易错题型
备注：单调区间容易忽视定义域
1．（24-25高三上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·天津河东·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较
1．（23-24高三上·天津南开·期中）函数是上的减函数，则的取值范围是 .
备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域
1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
增
增
增
减
减
减
增
减
增
减
增
减
增
增
增
减
减
减
增
减
增
减
增
减
第02讲 函数的单调性与最大（小）值
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc23401" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc23401 \h 1
\l "_Tc25068" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc25068 \h 3
\l "_Tc30816" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc30816 \h 5
\l "_Tc29435" 高频考点一：函数的单调性 PAGEREF _Tc29435 \h 5
\l "_Tc21882" 角度1：求函数的单调区间 PAGEREF _Tc21882 \h 5
\l "_Tc21114" 角度2：根据函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc21114 \h 7
\l "_Tc23467" 角度3：复合函数的单调性 PAGEREF _Tc23467 \h 9
\l "_Tc13941" 角度4：根据函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc13941 \h 11
\l "_Tc7728" 高频考点二：函数的最大（小）值 PAGEREF _Tc7728 \h 13
\l "_Tc11558" 角度1：利用函数单调性求最值 PAGEREF _Tc11558 \h 13
\l "_Tc25220" 角度2：根据函数最值求参数 PAGEREF _Tc25220 \h 15
\l "_Tc15769" 角度3：不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc15769 \h 17
\l "_Tc5368" 角度4：不等式有解问题 PAGEREF _Tc5368 \h 20
\l "_Tc1651" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc1651 \h 24
第一部分：基础知识
1、函数的单调性
（1）单调性的定义
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；
①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数
②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
（2）单调性简图：

（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最大值
（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最小值
3、常用高频结论
（1）设，.
①若有或，则在闭区间上是增函数；
②若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）
（3）对钩函数单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
（4）常见对钩函数：（），的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】判断指数型复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，此时；
当时，可知，此时；
可知若，符合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
综上所述：，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
则当时，，故，所以；
时，，故，所以；
故， 则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的单调性
角度1：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求函数的单调区间
【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和．
例题2．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ．
【答案】，
【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得.
【详解】令，解得且，
所以的定义域为，
又是一个复合函数，它由与复合而成．
由下表可知，的单调递增区间为，．
故答案为：，
精练高频考点
1．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ．
【答案】,
【知识点】分段函数的性质及应用、求函数的单调区间、画出具体函数图象
【分析】利用分段函数思想，来作出图象，即可得单调增区间.
【详解】，
画出函数图象，如图所示，
根据图象知，函数的单调递增区间为和．
故答案为：，．
2．（2025高一·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间 .
【答案】
【知识点】求函数的单调区间、画出具体函数图象、根据图像判断函数单调性
【分析】作出函数的图象，结合图形即可求解.
【详解】，
作出函数的图象，如图所示，

由图象可知函数的单调递减区间是.
故答案为：
角度2：根据函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性求参数值、复合函数的单调性、由指数（型）的单调性求参数
【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可.
【详解】根据函数 在区间上单调递增，且单调递增，
可得在区间上单调递增，所以.
故选:D.
例题2．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性
【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围.
【详解】是由与复合而成，
在中，，，所以在上单调递减.
因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增.
对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为.
二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增，
则对称轴需满足，解得.
故选：A.
精练高频考点
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】根据函数的单调性求参数值、由指数（型）的单调性求参数
【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可.
【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，
且函数在上单调，
根据复合函数的单调性，可得，即，
所以的取值范围是.
故选：A.
2．（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】根据函数的单调性求参数值
【分析】根据指数函数的单调性可知.对的取值范围进行分类讨论去绝对值，结合指数函数的单调性即可求解.
【详解】当时，根据指数函数在上单调递增，可知.
当时，，所以，在上单调递增；
当时，，在上不单调；
当时，，所以，在上单调递减.
综上，.
故选：C.
角度3：复合函数的单调性
典型例题
例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性
【详解】有意义，则，解得．设，其图象开口向下，对称轴为直线，当时，单调递增，当时，单调递减．又在定义域内单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，当单调递增时，单调递增．
例题2．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、由指数（型）的单调性求参数、复合函数的单调性
【分析】根据复合函数的单调性有在上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围.
【详解】由题设，函数在上单调递增，
易知在上单调递减，
当时，满足题设，
当时，或，
综上，.
故选：B.
方法总结：复合函数单调性遵循：同调增；异调减（同增异减）。
具体的若函数在内单调，在内单调，且集合.
(1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数
(2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数
精练高频考点
1．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性求参数值、复合函数的单调性、具体函数的定义域
【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】由，可得或，
即函数的定义域为，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，
.
故选：D.
2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．和D．
【答案】C
【知识点】复合函数的单调性
【分析】求出原函数的定义域，利用复合函数法可得出原函数的单调递增区间.
【详解】由可得且，
所以，函数的定义域为，
因为开口向下，其对称轴为，
所以的减区间为和，
因为函数在、上均为减函数，
所以，函数的单调增区间为和．
故选：C.
角度4：根据函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据函数的单调性解不等式
【详解】由解得．
友情提醒：本题最容易忽视的就是定义域，解题时很容易得到而忽略了定义域而造成错解，一轮复习时要特别引起注意，定义域是最容易被忽视的错解原因之一。
例题2．（24-25高三下·河北承德·开学考试）已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式
【分析】根据题意得到函数的单调性，再结合偶函数化简不等式求解即可.
【详解】由对任意，都有成立，
得在上单调递增，
又为偶函数，则不等式等价于，
所以，解得，
即满足题意的x取值范围为：
故选：C.
精练高频考点
1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据函数的单调性解不等式
【详解】由题意，得解得①．因为是定义在区间上的增函数，且，所以，解得②．综合①②得．所以的取值范围是．
2．（2026高三·全国·专题练习）函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足的x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】由函数的单调性及奇偶性即可求解.
【详解】因为是奇函数，
故．
又是增函数，，.
所以，
则，解得．
故答案为：
3．（24-25高三上·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解.
【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数，
由，得到，整理得到，解得，
故答案为：.
方法总结：对于在上是偶函数，且在单调递减，则；特别提醒不能忽略定义域；另外偶函数问题对变量加绝对值来比较大小
高频考点二：函数的最大（小）值
角度1：利用函数单调性求最值
典型例题
例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）函数的最小值和最大值分别是（ ）
A．3，6B．1，3C．1，4D．1，6
【答案】C
【知识点】利用函数单调性求最值或值域
【详解】函数在区间上单调递减，把6，3分别代入得．
例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）函数的最小值是 ．
【答案】
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、具体函数的定义域
【详解】由得的定义域为．又函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增．所以当时，．
方法总结：函数单调性常涉及：
①图象法
②复合函数（同增异减）
③相加法：设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）
精练高频考点
1．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（ ）
A．2B．3
C．4D．5
【答案】D
【知识点】利用函数单调性求最值或值域
【分析】利用换元法，令，可将原函数转化为，再根据对勾函数的单调性，即可求出结果.
【详解】令，所以;
所以转化为；
即
又函数在上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，取到最小值为；
即当时，取到最小值，最小值为.
故选：D.
2．（2025·广东肇庆·二模）已知函数，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值
【分析】分别求出函数在各段上的最小值，再比较即可求出．
【详解】当时，单调递减，所以.
当时，在区间上单调递减，在区间上单调增，
所以.
综上所述，的最小值是.
故答案为：.
角度2：根据函数最值求参数
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）设函数且在上的最大值和最小值之和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【知识点】由对数（型）的单调性求参数、对数型复合函数的单调性、根据指数函数的最值求参数、根据函数的最值求参数
【分析】结合函数与的单调性可知在单调递增或单调递减，从而可得函数在上的最值分别为，代入可求的值.
【详解】由换底公式可得，
又与在区间上具有相同的单调性，
故在上单调递增或单调递减，在上的最值分别为，
故，由题意，解得.
故选：B
例题2．（23-24高三上·广西南宁·期中）函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】根据函数的最值求参数
【分析】根据二次函数的性质进行求解即可.
【详解】二次函数图象的对称轴为：，在上的值域为，，，由图可知.
故选：A.
精练高频考点
1．（24-25高三上·青海·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为5，则 .
【答案】3
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、根据函数的最值求参数
【分析】化简函数，根据函数的解析式判断函数的单调性，再根据最值，即可求解.
【详解】因为在区间上是减函数，所以，解得.
故答案为：3
2．（23-24高三上·全国·课后作业）已知函数.
(1)若函数在区间上y随x增大而增大，求实数a的取值范围；
(2)若函数在区间上的最大值为1，求实数a的值.
【答案】(1)
(2)或
【知识点】根据函数的最值求参数、根据函数的单调性求参数值
【分析】（1）根据函数的单调性可得对称轴满足的条件，故可得参数的取值范围；
（2）就，及分类讨论后可得实数的值.
【详解】（1）由题设可得函数在上为增函数，而二次函数的对称轴为，
故即.
（2）二次函数的对称轴为，
当即时，函数在上为减函数，故最大值为即，符合；
当即时，函数在上递增，在上递减，
故最大值为，
故，解得或，因，故两解均舍；
当即时，此时函数在为增函数，
故最大值为即，
综上，或.
角度3：不等式恒成立问题
典型例题
例题1．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，当时，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】函数不等式恒成立问题
【分析】分三种情况恒成立化简，再结合参数分离应用基本不等式计算求参.
【详解】函数，当时，，
当时，，符合题意；
当时，函数，不符合题意；
当时，函数恒成立，所以恒成立，
因为，所以恒成立，
所以恒成立，即得，
当时，恒成立，
当时，恒成立，
令，恒成立，
因为，当且仅当时取最小值4，
所以，符合题意；
则的取值范围是.
故选：C.
例题2．（上海市2024-2025学年高三下学期5月调研数学试卷）设，.已知函数的定义域为，且．
(1)若函数是偶函数，求的值；
(2)设，若对任意的，均有，求的取值范围．
【答案】(1)，.
(2)
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）方法一：首先根据函数是偶函数，求出的值，然后根据定义域两个端点的偶函数性质求出的值；
方法二：首先根据函数是偶函数，求出的值，然后根据求出的值.
（2）首先根据定义域求出的范围，然后通过讨论不同的范围下，利用函数的单调性和最大最小值，求出满足不等式成立的的范围，即是最终要求的答案.
【详解】（1）方法一：由函数是偶函数，，可知，解得，
同时，则，解得，
此时，对任意，显然有.
综上所述：，.
方法二：由函数是偶函数，，可知，解得.
且对任意，有，即，
化简得恒成立，所以.
综上所述：，.
（2）根据，，且，则或.
情况1：当时，对任意，，
故要使得，只需.
即，设，，
则，故是上的严格增函数，
故只需，解得，则.
情况2：当时，对任意，，
故要使得，只需.
即，设，，
由情况1可知，是上的严格增函数，
只需，即，与无交集，舍去.
综上所述，的取值范围是.
精练高频考点
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中a，．若对任意的，不等式在上恒成立，则b的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数不等式恒成立问题
【分析】利用变更主元法将问题转化为对任意的，不等式恒成立，进而有不等式在上恒成立，参变分离得，利用对勾函数的单调性求得，即可得解．
【详解】先将a看作主元，记关于a的一次函数，
则对任意的，不等式恒成立．
由于，故单调递增，则只要，
因此不等式在上恒成立．
分离变量得不等式在上恒成立，
故，
由对勾函数的单调性知在上单调递减，
所以，所以，即．
故答案为：
2．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】设，原题意化为对恒成立，利用二次函数性质列不等式组，解一元二次不等式组即可．
【详解】设，
则不等式对满足的一切实数m恒成立
对恒成立．
当时，
即解得
故x的取值范围是．
故答案为：
角度4：不等式有解问题
典型例题
例题1．（多选）（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】变换得到在上有解，设，则，得到，根据对勾函数的单调性计算最值得到答案.
【详解】由，即，，
故在上有解，
设，则，
则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且当时，；当时，，
则的最大值为，故.
故选：AB.
例题2．（24-25高三下·浙江·期中）已知函数．
(1)当时，求关于的不等式的解；
(2)若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）利用二次函数的性质及得到，解一元二次不等式及指数函数的单调性求解集；
（2）问题化为，上，应用基本不等式及分类讨论求函数的最值，进而求参数范围.
【详解】（1）由题设，则在上单调递增，
由，且，即，
所以，可得，故，
所以不等式的解集为；
（2）由题意，，上，
在上，，
当且仅当时取等号，故，
在上，的开口向上且对称轴为，
当时，在上单调递增，则，
此时，不符合前提；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
此时，故；
当时，在上单调递减，则，
此时恒成立，即；
综上，.
精练高频考点
1．（24-25高三上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】求出函数在上的最小值，可得出，再结合恒成立可求得实数的取值范围.
【详解】因为，则该函数在上为增函数，
当时，，
因为对均有，
所以，，则，解得.
故选：D.
2．（24-25高三上·浙江杭州·期中）已知奇函数经过点.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
(3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递增；证明见解析
(3)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）根据为奇函数求出的值，根据的图象经过点求出即可求解；
（2）利用单调性的定义判断即可；
（3）由已知得，根据单调性求出最值即可求解.
【详解】（1）因为为奇函数，所以，
即，所以，得，
所以，，
因为函数经过点，所以，解得，
所以；
（2），，
，
因为，，所以，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
（3）因为存在，使得不等式成立，
则，
由（2）知，函数在上单调递增，且为奇函数，
所以函数在上单调递增，
所以当时，；
令，，
的图象开口方向向上，对称轴方程为，
当时，，
所以，解得或，所以；
当时，，
所以，解得或，所以，
综上，或，
所以实数m的取值范围为.
第四部分：典型易错题型
备注：单调区间容易忽视定义域
1．（24-25高三上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】具体函数的定义域、求函数的单调区间、复合函数的单调性
【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果.
【详解】要使函数有意义，则，
即，解得或，
函数定义域为.
令，则，在上单调递减，
对称轴为，开口向上，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是.
故选：D.
2．（24-25高三上·天津河东·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求函数的单调区间、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性
【分析】利用复合函数单调性的判断直接求解即可.
【详解】由题知，，
可得函数的定义域为，
可分解为和，
因为函数在上单调递减，
且在上单调递减，
在上单调递增，
综上，函数的单调递减区间为.
故选：D
备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较
1．（23-24高三上·天津南开·期中）函数是上的减函数，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、分段函数的单调性
【分析】由分段函数单调性先分段分析，再在定义域上分析，建立关于的不等式组求解可得.
【详解】是上的减函数，
，解得，
故的取值范围是.
故答案为：.
备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域
1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】由区间关于0对称求得，然后利用偶函数的定义变形不等式，再根据单调性化简后，即可求解．
【详解】由题意，，
是偶函数，则不等式化为，
又在是单调递减，
所以，解得，
故选：D．
2．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据奇偶性与单调性的关系列出不等式求解，注意函数定义域.
【详解】因为已知为上的偶函数，且在上单调递增，
所以不等式，即，解得.
故选：A.
增
增
增
减
减
减
增
减
增
减
增
减
单调递减
单调递减
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增
单调递减
单调递减
增
增
增
减
减
减
增
减
增
减
增
减