高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第01讲导数的概念及运算(分层精练)(原卷版+解析)

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1．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）一个质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系可用表示，那么质点在秒时的瞬时速度是（ ）
A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．4米/秒
2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知函数可导，且，则曲线在点处的切线倾斜角为（ ）
A．45°B．60°C．120°D．135°
3．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）设，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·天津武清·高二校考阶段练习）下列导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·湖北·统考模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
6．（2023·全国·高二专题练习）若曲线在点处的切线方程为，则，的值分别为（ ）
A．1，1B．，1C．1，D．，
7．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象上，不存在互相垂直的切线，则的值可以是（ ）
A．-1B．3C．1D．2
三、填空题
11．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数，则________．
12．（2023秋·广东·高三统考期末）已知函数在点处的切线经过点，则的最小值为___________.
四、解答题
13．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）（1）已知函数,求解集；
（2）设曲线在点（0，e）处的切线与直线垂直，求的值.
14．（2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
15．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数的图象经过点．
(1)求曲线在点A处的切线方程；
(2)求曲线经过坐标原点的切线方程．
B能力提升
1．（2023·全国·高二专题练习）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则曲线在点处的切线方程为___________
3．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求与直线平行，且与曲线相切的直线方程．
C综合素养
1．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知图象上有且只有三点到直线的距离为，则a的值为（ ）．
A．3B．C．D．5
2．（多选）（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则实数的值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）已知函数的图象在点处的切线l过坐标原点．
(1)求实数a的值；
(2)若直线l与抛物线相切，求抛物线的对称轴方程．
第01讲 导数的概念及运算 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
1．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）一个质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系可用表示，那么质点在秒时的瞬时速度是（ ）
A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．4米/秒
【答案】D
【详解】解：因为函数，所以，
当时，，
故物体在秒时的瞬时速度为4米/秒．
故选：D
2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知函数可导，且，则曲线在点处的切线倾斜角为（ ）
A．45°B．60°C．120°D．135°
【答案】A
【详解】由，可得，
则曲线在处的切线斜率为1，
由（为倾斜角），，可得.
故选：A．
3．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）设，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，，解得：.
故选：A.
4．（2023春·天津武清·高二校考阶段练习）下列导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】对于A，，故A错；
对于B，，故B错；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错．
故选：C．
5．（2023·湖北·统考模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
【答案】D
【详解】对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：D．
6．（2023·全国·高二专题练习）若曲线在点处的切线方程为，则，的值分别为（ ）
A．1，1B．，1C．1，D．，
【答案】A
【详解】解：因为，所以
曲线在点处的切线的斜率为1，
，
又切点在切线上，
．
故选：A．
7．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
8．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，
令可得解得，
所以，所以，
故选:B.
二、多选题
9．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】依题意，令，解得
，
故点的坐标为和，
故选：AC
10．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象上，不存在互相垂直的切线，则的值可以是（ ）
A．-1B．3C．1D．2
【答案】AC
【详解】解：因为函数，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
因为函数的图象上，不存在互相垂直的切线，
所以，即，
解得，
故选：AC
三、填空题
11．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数，则________．
【答案】
【详解】，
则，所以.
故答案为：.
12．（2023秋·广东·高三统考期末）已知函数在点处的切线经过点，则的最小值为___________.
【答案】6
【详解】，则切点为，又，切线斜率为，
切线方程为，又点在切线上，，
则，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：6.
四、解答题
13．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）（1）已知函数,求解集；
（2）设曲线在点（0，e）处的切线与直线垂直，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由题可得 ，
由可得或，
又因为，
故不等式的解集为；
（2）由题可得 ，
依题意：，
所以.
14．（2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
．
（2）令，，则．
（3）因为，
所以．
15．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数的图象经过点．
(1)求曲线在点A处的切线方程；
(2)求曲线经过坐标原点的切线方程．
【答案】(1)；
(2)和．
【详解】（1）依题意可得，则，
∴，
∵，
∴，
∴曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）设过原点的切线方程为，则切点为，
则消去k，整理得，
解得或，有或．
故所求方程为和．
B能力提升
1．（2023·全国·高二专题练习）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴或.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则曲线在点处的切线方程为___________
【答案】
【详解】∵，∴，
，
∴，
∴在处的切线方程为：，
即．
故答案为：.
3．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求与直线平行，且与曲线相切的直线方程．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由，得，又，
则曲线在点处的切线方程为
，即；
（2），设切点的坐标为，
则所求切线方程的斜率为，
又切线与直线平行，且该直线的斜率为4，
所以，解得，
当时，切点为，
此时切线方程为，即；
当时，切点为，
此时切线方程为，即；
所以该切线方程为或．
C综合素养
1．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知图象上有且只有三点到直线的距离为，则a的值为（ ）．
A．3B．C．D．5
【答案】B
【详解】
设与直线平行的直线与图象相切于点
则点处的切线的斜率为，
解得.则,即.
所以点到直线的距离
,解得或,
当时，直线与曲线相离，舍去.
所以当时，的图像上有且只有三个点到直线的距离为.
故选：B
2．（多选）（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则实数的值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】AB
【详解】因为函数，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，因为函数的图象上，不存在互相垂直的切线，
所以，即，解得.
故选：AB
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【详解】设切点为，因为，所以，
解得， ，即，
对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，当且仅当，时，等号成立，故B不正确；
对于C，，当且仅当，时，等号成立，故C正确；
对于D，由可知D正确.
故选：ACD
4．（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）已知函数的图象在点处的切线l过坐标原点．
(1)求实数a的值；
(2)若直线l与抛物线相切，求抛物线的对称轴方程．
【答案】(1)1
(2)．
【详解】（1）由，再由，，
可得曲线在点P处的切线方程为，
整理为，
代入原点，有，可得，
故实a值为1；
（2）由（1）可知直线l的方程为，
联立方程，消去y后整理为，
有，解得，
可得抛物线的方程为，故抛物线的对称轴方程为．