专题6.4 数列的通项公式的求法（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc6059" 【题型1 观察法】 PAGEREF _Tc6059 \h 3
\l "_Tc3979" 【题型2 定义法】 PAGEREF _Tc3979 \h 4
\l "_Tc26644" 【题型3 由an与Sn的关系求通项】 PAGEREF _Tc26644 \h 5
\l "_Tc23275" 【题型4 累加法】 PAGEREF _Tc23275 \h 5
\l "_Tc5699" 【题型5 累乘法】 PAGEREF _Tc5699 \h 6
\l "_Tc19727" 【题型6 构造法】 PAGEREF _Tc19727 \h 7
\l "_Tc16606" 【题型7 由等差数列的通项公式求数列通项】 PAGEREF _Tc16606 \h 8
\l "_Tc25806" 【题型8 由等比数列的通项公式求数列通项】 PAGEREF _Tc25806 \h 9
\l "_Tc25368" 【题型9 周期数列的通项问题】 PAGEREF _Tc25368 \h 10
\l "_Tc12632" 【题型10 正负、奇偶讨论型求通项】 PAGEREF _Tc12632 \h 11
\l "_Tc5358" 【题型11 双数列的通项问题】 PAGEREF _Tc5358 \h 12
\l "_Tc16927" 【题型12 特殊数列求通项】 PAGEREF _Tc16927 \h 13
1、数列的通项公式的求法
【知识点1 数列的通项公式】
1．数列的通项公式
如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这
个数列的通项公式.
2．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.
如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可
以用等式来表示.
【知识点2 数列的通项公式的常见求法】
1．观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.
2．定义法：
已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项.
3．公式法：
由an与Sn的关系求通项：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2) Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
4．累加法：
形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
5．累乘法：
形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.
6．构造法：
①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}.
③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}.
④形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
7．等差数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.
8．等比数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.
【题型1 观察法】
【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）数列1,−22,12,−24,14,⋯的一个通项公式为（ ）
A．−12n−1B．−22nC．−1n22n−1D．−1n+122n−1
【变式1-1】（2024·吉林·三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22B．24C．25D．26
【变式1-2】（23-24高二上·山西晋城·阶段练习）数列−2,4,−263,20,⋯的一个通项公式可以是（ ）
A．an=−1n⋅2nB．an=−1n⋅3n−nn
C．an=−1n⋅2n+1−2nD．an=−1n⋅3n−1n
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，3,6,10等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（ ）
A．778B．779C．780D．781
【题型2 定义法】
【例2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知数列an中，a1=3，a10=21，通项an是项数n的一次函数，
(1)求an的通项公式，并求a2000；
(2)若bn是由a2,a4,a6,a8,⋯,组成，试归纳bn的一个通项公式．
【变式2-1】（23-24高二上·河南周口·阶段练习）在数列an中，已知an=anbn+1，且a2=65,a3=97.
(1)求通项公式an.
(2)求证：an是递增数列.
【变式2-2】（23-24高三下·新疆·阶段练习）已知f(x)是对数函数且图象过点5,12，数列an满足an=f1−1n+1n∈N∗．
(1)求数列an的通项公式；
(2)记数列an的前n项和为Sn，若Sm≥2m∈N∗，求m的最小值．
【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）定义数列“从第二项起，若数列an的每一项与前一项的平方差为同一常数d，则称数列an为等平方差数列，d叫作此数列的公平方差．”已知数列an为“等平方差数列”，且a1=1，a5=3．
(1)判断满足条件的数列an是否唯一，并说明理由；
(2)求正项数列an的通项公式，并判断其单调性．
【题型3 由an与Sn的关系求通项】
【例3】（2024·四川·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2n−1−12，则数列an的通项公式为（ ）
A．an=12,n=1,2n,n≥2B．an=2n−1
C．an=(−2)n−2D．an=2n−2
【变式3-1】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an=n+1B．an=2n−1
C．an=2n+1D．an=2 , n=1 , 2n−1, n≥2
【变式3-2】（2024·陕西·模拟预测）已知数列an满足k=1nak2k−1=n+1，则a2024=（ ）
A．2024B．2023C．4047D．4048
【变式3-3】（2024·四川·三模）已知数列an满足2a1+22a2+23a3+⋅⋅⋅+2nan=n⋅2n，则an的通项公式为（ ）
A．an=1,n=1n+1,n≥2B．an=n+12
C．an=nD．an=1,n=1n−1,n≥2
【题型4 累加法】
【例4】（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在数列an中，a1=1，an+1=an+1nn+1，则an等于（ ）
A．1nB．2n−1nC．n−1nD．12n
【变式4-1】（23-24高二上·北京·阶段练习）在数列an中，a1=2,an+1=an+ln1+1n，则an=（ ）
A．2+nlnnB．2+n−1lnn
C．2+lnnD．2+n+lnn
【变式4-2】（2024·云南红河·一模）已知数列an满足：a1=9,an+1−an=2n，则a4=（ ）
A．21B．23C．25D．27
【变式4-3】（23-24高二上·浙江温州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作an，下列不是数列an的项的是（ ）
A．35B．70C．145D．170
【题型5 累乘法】
【例5】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知a1=2，an=nan+1−an，则数列an的通项公式是an=（ ）
A．nB．n+1C．2nD．n+1nn
【变式5-1】（23-24高二下·河南·期中）已知数列an满足a1=13，an=2n−32n+1an−1(n≥2，n∈N∗)，则数列an的通项an=（ ）
A．14n2−1B．12n2+1
C．12n−12n+3D．1n+1n+3
【变式5-2】（2024·吉林长春·一模）设数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+nan为常数列，则an=（ ）
A．13n−1B．2n(n+1)
C．6(n+1)(n+2)D．5−2n3
【变式5-3】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，a2=4，Sn=n+1an2n∈N∗，则数列an的通项公式为（ ）
A．an=2nn∈N∗B．an=2nn∈N∗
C．an=n+2n∈N∗D．an=n2n∈N∗
【题型6 构造法】
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和Sn=2an−n．
(1)求an的通项公式；
(2)证明：a1+1a2+a2+1a4+a3+1a6+⋯+an+1a2n<54．
【变式6-1】（2024·陕西西安·一模）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，且满足n+1Sn=nSn+1−12nn+1.
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=an2+3an⋅csnπ，求数列bn的前n项和Tn.
【变式6-2】（2024高三下·四川成都·专题练习）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an+2n−1．
(1)求证：数列an−2为等比数列；
(2)已知bn=n2−an3，求数列bn的前n项和．
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn=n+2an+1．
(1)求数列an的通项公式；
(2)求证：−34<1S1+1S2+⋅⋅⋅+1Sn≤−13．
【题型7 由等差数列的通项公式求数列通项】
【例7】（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列an满足a1=1，且点(1an+1,1an)在直线y=x−2上.
(1)求数列an的通项公式；
(2)数列{anan+1}前n项和为Tn，求能使Tn<3m−12对n∈N*恒成立的m（m∈Z）的最小值.
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=−2，Sn+1+Sn=an+1+2nan−n2+n，n∈N*．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若an+1≤2k⋅3an+3−an对任意的n∈N*恒成立，求实数k的最小值．
【变式7-2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列an满足a6+a7=4，且a1,a4,a5成等比数列．
(1)求an的通项公式；
(2)记Tn为数列an前n项的乘积，若a1<0，求Tn的最大值．
【变式7-3】（2023·河南·三模）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，2nSn+1−2(n+1)Sn=n(n+1)．
(1)求数列an的通项an；
(2)设bn=an+22n+2⋅Sn，求数列bn的前n项和Tn．
【题型8 由等比数列的通项公式求数列通项】
【例8】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=34+3(2n−1)4nann∈N∗．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=3n(n+2)an，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn<34．
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）记Sn为数列an的前n项和，已知a1=1,2an−Sn是公差为1的等差数列.
(1)证明数列an+1是等比数列，并求an的通项公式；
(2)若bn=nn+1Sn+n+2，bk是数列bn的最大项，求正整数k的值.
【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的首项a1=1，且满足an+1+an=3n+1.
(1)证明an−32n+14是等比数列，并求数列an的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得对任意的正整数n，am+an=am+n总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
【变式8-3】（2024·江西南昌·二模）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1,a2=3,an+an+2=kan+1.
(1)当k=2时，求S10;
(2)若k=52，设bn=an+1−2an，求bn的通项公式.
【题型9 周期数列的通项问题】
【例9】（2024高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=2，anan+1+an−an+1+1=0，记数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则（ ）
A．数列an是周期数列B．a2024=13
C．S2024>T2024D．T2024=1
【变式9-1】（23-24高二下·山东淄博·期中）数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2an,n是奇数1an,n是偶数，则下列说法正确的有（ ）
A．a3=12B．an是周期数列C．a2022=2D．S18=20
【变式9-2】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数f(x)=x+12,x≤122x−1,12A．该数列是周期数列且周期为3B．该数列不是周期数列
C．a2023+a2024=32 D．a2023+a2024=76
【变式9-3】（2024·重庆长寿·模拟预测）已知Sn是an的前n项和a1=2，an=1−1an−1，n≥2,n∈N∗，则下列选项错误的是（ ）
A．a2021=2B．S2021=1012
C．a3na3n+1a3n+2=1D．an是以3为周期的周期数列
【题型10 正负、奇偶讨论型求通项】
【例10】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列an的前n项和为Sn,a1=3且Sn+Sn+1=2n2+6n+3,n∈N*．
(1)求S9的值；
(2)求数列an的通项公式．
【变式10-1】（2024·河北沧州·三模）已知数列an满足anan+12=4n，a1=2，n∈N∗.
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=an−1an+1，数列bn的前n项和为Sn，求证：n−2【变式10-2】（2024·陕西安康·模拟预测）记Sn为数列an的前n项和，已知a1=1,nSn+1−n+1Sn=n2+n.
(1)求an的通项公式；
(2)若bn=(−1)nan+(−1)n+12n，求数列bn的前2n项和T2n.
【变式10-3】（2024·湖南长沙·三模）若各项均为正数的数列cn满足cncn+2−cn+12=kcncn+1（n∈N*,k为常数），则称cn为“比差等数列”.已知an为“比差等数列”，且a1=58,a2=1516,3a4=2a5.
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=an,n为奇数bn−1+1,n为偶数，求数列bn的前n项和Sn.
【题型11 双数列的通项问题】
【例11】（2024·重庆九龙坡·三模）已知Sn是等差数列an的前n项和，S5=a11=20，数列bn是公比大于1的等比数列，且b32=b6，b4−b2=12.
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)设cn=Snbn，求使cn取得最大值时n的值.
【变式11-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列an的前n项积为Tn=3nn−12，数列bn满足b1=1，bn−bn−1=1（n≥2，n∈N∗）．
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)将数列an，bn中的公共项从小到大排列构成新数列cn，求数列cn的通项公式．
【变式11-2】（2024·四川德阳·三模）已知an是等差数列，bn是等比数列，且bn的前n项和为Sn，2a1=b1=2，a5=5a4−a3，在①b5=4b4−b3，②bn+1=Sn+2这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)设数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.
【变式11-3】（2024·天津北辰·三模）已知an为等差数列，前n项和为Sn，若a2=3，S8=6S3+10；数列bn满足：1−1b11−1b2⋯1−1bn=1bn，n∈N∗.
(1)求an和bn的通项公式；
(2)对任意的m∈N∗，将an中落入区间2m,22m内项的个数记为cm.
（i）求cm；
（ii）记dm=22b2(m−1)−cm，dm的前m项和记为Tm，是否存在m，t∈N∗，使得Tm+1−tTm−t=dt+1成立？若存在，求出mt的值；若不存在，请说明理由.
【题型12 特殊数列求通项】
【例12】（2024·贵州贵阳·三模）已知正项数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1,Sn=anan+12.试求:
(1)数列an的通项公式;
(2)记cn=a2n，数列1cncn+1的前n项和为Tn，当Tn>29时，求满足条件的最小整数n.
【变式12-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,2Sn=nan+1且a2=32a1.
(1)求an的通项公式；
(2)若bn=an2n,求数列bn的前n项和Tn.
【变式12-2】（2024·山西·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且1S1+1S2+⋅⋅⋅+1Sn=2nn+1.
(1)求an的通项公式；
(2)若bn=n−1n+2anan+1，求数列bn的前n项和Tn.
【变式12-3】（2024·江西宜春·三模）在正项数列{an}中，已知a1=1，且nanan+1−(n+1)an+1an=1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：2≤(an+1)n<3．
一、单选题
1．（2024·贵州黔南·二模）n∈N*，数列1，−3，7，−15，31，⋅⋅⋅的一个通项公式为（ ）
A．an=2n−1csnπB．an=1−2nsinnπ2
C．an=2n−1D．an=−1n1−2n
2．（2024·新疆喀什·模拟预测）若an=an−1+n−1，a1=1则a10=（ ）
A．55B．56C．45D．46
3．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列an的项满足an+1=nn+2an，而a1=1，则an＝（ ）
A．2n+12B．2nn+1C．12n−1D．12n−1
4．（23-24高二·全国·课后作业）在数列an中，a1=1，且an+1=2an+1，则an的通项为（ ）
A．an=2n−1B．an=2n
C．an=2n+1D．an=2n+1
5．（2024·广东茂名·一模）已知Tn为正项数列an的前n项的乘积，且a1=2,Tn2=ann+1，则a5=（ ）
A．16B．32C．64D．128
6．（2024·浙江·模拟预测）已知数列an满足2n−3an−2n−1an−1=4n2−8n+3n≥2,n∈N*,a1=1，则an=（ ）
A．2n−2B．2n2−nC．2n−1D．(2n−1)2
7．（2024·海南·模拟预测）已知等比数列an的公比不为1，若a1=2，且3a1,a2,−a3成等差数列，则an=（ ）
A．2×3n−1B．3nC．2×(−3)n−1D．(−3)n
8．（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）已知数列an满足a1=12，an+1=an+1n2+n，则an的通项为（ ）
A．an=1n+1，n≥1，n∈N∗B．an=32+1n，n≥1，n∈N∗
C．an=−32−1n，n≥1，n∈N∗D．an=32−1n，n≥1，n∈N∗
二、多选题
9．（23-24高二·全国·课后作业）已知数列an满足a1=1，an=a1+12a2+13a3+⋯+1n−1an−1n>1，则（ ）
A．a2=1B．anan−1=nn−1C．an=n2D．an=1,n=1n2,n≥2
10．（2024·全国·模拟预测）数列an中，若Tn=a1a2⋯an存在最大值，则数列an的通项可以是（ ）
A．an=n+1nB．an=2n−7
C．an=−12nD．an=sinnπ4
11．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知数列an满足a1=1，an+1=an1+an，n∈N∗，则下列结论错误的是（ ）
A．a3=2−22B．存在n∈N∗，使得1an+1>1an+12
C．an+1≤n+1n+3anD．a22>192
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知一数列：0,2,−6,12,−20,30,⋯，则该数列的通项可以表示为 .
13．（2023·全国·模拟预测）已知数列an满足a1=1，a2=2，an+1+an−1+2an=0 n≥2,n∈N∗则该数列的通项公式为 ．
14．（2024·广西南宁·一模）已知数列an满足nan+1−n+1an=2，a1=1，则数列an的通项公式为 ．
四、解答题
15．（23-24高二上·全国·课后作业）在数列an中，a1=2，a17=66，通项公式an=pn+q，其中p，q为常数，p≠0．
(1)求an的通项公式；
(2)88是否是数列an中的项？
16．（2024·全国·模拟预测）已知数列an满足a1+2a2+3a3+⋯+nan=(n−1)2n+1．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=nan+1n2+3n+2，求数列bn的前n项和Sn．
17．（2024·陕西榆林·一模）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=3,Sn+1+Sn=n+1an+1.
(1)求an的通项公式；
(2)若bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Tn.
18．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知Sn是an−12与an+32的等差中项.
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=an+1SnSn+1+an+12SnSn+1，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn−4n<2.
19．（2024·四川内江·三模）已知等差数列an的公差为4，且a2+2，a3，a5−2成等比数列，数列bn的前n项和为Sn，b1=2且Sn=2Sn−1+2n≥2.
(1)求数列an、bn的通项公式；
(2)设cn=anbnn∈N∗，求数列cn的前n项和Tn.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解数列的通项公式和递推关系
(2)掌握求数列的通项公式的常用方法
2022年新高考全国I卷：第17题，10分
2023年新高考I卷：第20题，12分
2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分
2023年全国甲卷（理数）：第17题，12分
2024年全国甲卷（文数）：第17题，12分
2024年全国甲卷（理数）：第18题，12分
数列是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，数列的通项公式的求解是高考考查的热点，主要以解答题的形式考查，一般出现在第一小问中，难度不大；有时也会出现在选择题、填空题中，与函数、不等式等综合考查；数列的通项公式的求法多种多样，需要灵活求解.