2027年高考数学一轮复习核心考点 第八章 第44课时 抛物线课件（含试题及答案）

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(2)设点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若点B(3，2)，当|PB|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为________．
(2)如图，过点B作准线x＝－1的垂线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，由抛物线定义，知|P1Q|＝|P1F|．则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，当B，P1，Q三点共线时，|PB|＋|PF|取最小值，把y＝2代入y2＝4x，得x＝1，所以当|PB|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为(1，2)．]
[母题探究]1．(综合变式)若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
2．(综合变式)若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
通性通法：看到准线想到焦点，看到焦点想到准线，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
(2)(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________________．
y2＝－8x或x2＝－y
(2)由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)．将P(－2，－4)代入，分别得标准方程为y2＝－8x或x2＝－y．]
通性通法：求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论；也可设抛物线方程为y2＝ax或x2＝ay(a≠0)．
2．设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为(　　)A．x2＝8y B．x2＝16yC．y2＝8x D．y2＝16x
A　[因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，所以A(0，2)，B(0，－2)，所以切线l的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0，2)，准线方程为y＝－2，所以动点P的轨迹方程为x2＝8y．故选A．]
通性通法：应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
[多维变迁]1．已知A，B为抛物线x2＝4y上的动点，P(x0，y0)为线段AB的中点．若|AB|＝6，则y0的最小值为(　　)A．1 B．2C．3 D．4
B　[如图，F为抛物线的焦点，m为准线．作AC⊥m于点C，PN⊥m于点N，BD⊥m于点D，连接AF，BF．由抛物线定义，知2|PN|＝|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|≥|AB|＝6，所以|PN|≥3，当且仅当点F在线段AB上时，等号成立．故y0的最小值为2．故选B．]
3　[由题意得焦点F(1，0)，易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝λy＋1(λ≠0)，代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0，Δ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1y2＝－4，①
课时作业(四十四)　抛物线
一、单项选择题1．(2025·烟台期末)已知抛物线y2＝4x上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点之间的距离为(　　)A．2 B．3C．4 D．5
D　[抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，点A的横坐标是4，∴点A到焦点F的距离是4＋1＝5．故选D．]
3．(2025·桂林秀峰区期末)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P(－9，0)与点F关于直线l对称，则C的方程为(　　)A．y2＝3x B．y2＝6xC．y2＝12x D．y2＝24x
4．(2025·荆州调研)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝(　　)A．3 B．6C．9 D．12
5．在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|＝(　　)A．6 B．8C．9 D．12
8．设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是(　　)A．抛物线的准线方程是x＝－1B．焦点到准线的距离为4C．若A(2，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为3D．以线段PF为直径的圆与y轴相切
9．(2025·常州期末)在平面直角坐标系Oxy中，已知直线l：y＝x－2经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，l与抛物线相交于A，B两点，则(　　)A．p＝2B．|AB|＝16C．线段AB的中点到y轴的距离为6D．OA⊥OB
三、填空题10．(2024·上海卷)已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为________．
11．(2024·天津卷)圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________．
12．(2025·三明期末)已知一座南北坐向的桥，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大桥孔如图所示，当孔顶到水面的距离为8 m时，跨度达到了13 m．若水面从图中示意位置上升4 m，则水面宽变为________m．