中考数学二轮复习备考二次函数与面积综合常见题型练(含答案)

这是一份中考数学二轮复习备考二次函数与面积综合常见题型练(含答案)，共10页。试卷主要包含了已知抛物线交轴于，，交轴于点，如图1，抛物线等内容，欢迎下载使用。

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接、，设的面积为S，求出S的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的横坐标．
2．如图，二次函数与轴交于点，点，函数与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)如图1，连接、，在直线上方抛物线上有一动点，过点作轴，交于点．过点作，交于点．当面积最大时，求此时点的坐标，点是直线上一动点，求此时的最小值．
(3)在（2）的条件下，函数沿射线方向平移个单位得到函数．点的对应点是，连接并延长交于点，点为抛物线上的一动点，若，且满足，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程．
3．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点；直线经过点，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
4．如图，已知抛物线，过点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是直线上方抛物线上一动点．
a．当，求点的坐标．
b．连接线段，设直线交线段于点的面积为的面积为，求最大值．
5．如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；
(2)连接，求的面积；
(3)如图②，在线段上有一可移动的线段，且，连接．求的最小值．
6．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，顶点为，点是该抛物线上的动点，其横坐标为，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，以、为邻边作平行四边形．
(1)求该抛物线对应的函数解析式及点的坐标；
(2)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求的值；
(3)当平行四边形的面积被轴平分时，求的值；
(4)当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
7．在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点的抛物线与直线相交于，两点．
(1)分别求点的坐标及抛物线的函数表达式；
(2)为第二象限内的抛物线上一动点，作直线交轴于点．
（ⅰ）如图，连接，当，且面积为时，求k的值；
（ⅱ）直线交抛物线于另一点，连接，作直线交轴于点．当时，求出此时的值；并在此条件下继续探究：随着点的运动，抛物线的对称轴上是否存在定点，始终满足？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知抛物线交轴于，（点在点的左侧），交轴于点．
(1)求，两点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)如图，为抛物线在第三象限内一点，与交于点，求的最大值；
(3)如图，当时，为抛物线对称轴上一定点，过点作直线交抛物线于，两点，若为定值，求的值．
9．如图1，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上存在点，使得平分，求点的坐标；
(3)如图2，抛物线由抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得，直线为的对称轴，点为上一点，且点在直线的右侧，过点作于点，作交直线于点，过点作于点，当直线将四边形的面积分成时，求满足上述条件的点的个数，并说明理由．
10．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，抛物线顶点为点．点是抛物线上一动点，其横坐标为．
(1)求该抛物线函数关系式，并直接写出点的坐标；
(2)已知是直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值；
(3)已知是点，点之间一动点（包含点，），抛物线在点和点之间的部分（包括，两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．
11．如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)若点P是抛物线上在直线上方一点，连接，当直线把分成面积比为的两部分时，求点P的坐标；
(3)将射线绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D，再将抛物线沿射线方向平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M）．设这两条抛物线的交点为Q．
①求旋转角度的正弦值；
②当时，请直接写出原抛物线平移的距离．
12．二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作轴，交x轴于点D，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标；
(3)如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q，在x轴上有一点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得，若存在，请求出点H的坐标．
13．如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若在直线上方的抛物线上有一动点，连接交直线于点，若，求点的坐标；
(3)若在直线上存在一点，使，求点的坐标．
参考答案
1．(1)
(2)的最大值为，点
(3)或
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）将代入，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴，交于点M，设点，则点，，，根据二次函数的性质即可求解；
（3）先求出新抛物线的表达式，分类讨论当点在轴下方和上方时，可分别求出直线的表达式，与抛物线联立即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴，解得，
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：将代入得，
解得：，，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
过点P作轴，交于点M
设点，则点，
∴，
∴，
∴当时，有最大值为，
此时，
∴的最大值为，此时点；
（3）解：如图，原抛物线沿射线方向平移个单位长度，
∵，
相当于抛物线先向左平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度，
则新抛物线的表达式为，即．
当点在轴下方时，
设直线交轴于点，过点作于点，此时，
∵为中点，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
当时，为等腰直角三角形，
设，
则在中，，
∴，
，
∵，
∴
∴；
∴，
∴
∴，
设直线的函数表达式为，
∵直线过点，，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立直线和新抛物线得，有，
整理，得，
解得，
∵，舍去，
∴，即点的横坐标为；
当点在轴上方时，此时，
设直线与轴交于，
∵，，
∴在中，，
，
当时，，
∴在中，，
∴，
即，
设直线的解析式为：，
∵直线过点，，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立直线和新抛物线，得，有，
整理，得，
解得，
∵，舍去，
∴，
即点的横坐标为；
综上，点的横坐标为或．
2．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将抛物线与轴的两个交点、的坐标代入二次函数的一般式，建立关于系数、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，再将求得的系数代回原一般式，即可得到二次函数的解析式；
（2）先根据二次函数解析式求出抛物线与轴的交点的坐标，再利用、两点的坐标通过待定系数法求出直线的解析式，设出抛物线上动点的横坐标为参数，结合平行于轴的条件得到点的坐标，用、两点的纵坐标之差表示出线段的长度，再由平行于推出的形状固定，其面积随长度的增大而增大，将的表达式配方求出最大值对应的参数值，代入抛物线解析式即可得到面积最大时点的坐标；接下来先根据、两点的坐标求出的长度与对应角的三角函数值，利用三角函数的几何意义将带系数的线段转化为点到某条定直线的垂线段长度，再根据垂线段最短的公理，将原式转化为定点到这条定直线的垂线段长度，计算出该垂线段的长度即为所求的最小值；
（3）先根据射线的方向和平移距离，确定平移后对应点的横纵坐标变化量，求出平移后抛物线的解析式和点的对应点的坐标，再通过待定系数法求出直线与直线的解析式，联立两直线解析式得到交点的坐标，随后通过构造直角三角形，利用正切值的几何意义推导角度关系，化简，得到的正切值，再分点在轴上方和下方两种情况，求出对应直线的解析式，分别将直线解析式与平移后的抛物线解析式联立，解一元二次方程后舍去不符合题意的根，最终得到符合条件的点的横坐标．
【详解】（1）解：将点，点代入二次函数，得
，
解得，
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：∵函数与轴交于点，
∴，
∴设直线的解析式为，代入，
得，
解得，
∴直线解析式为，
设，
∵轴，
∴，
∴，
∵，的形状固定，即最大时，面积最大，
∴当时，取得最大值，此时面积最大，
代入，得；
∵，，
∴，，，
∴，
如图，过点作直线轴，过点作，过点作，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴当、、三点共线，且时，取得最小值，也就是点到直线的垂线段长度，
∵，
∴此时的最小值为；
（3）解：∵函数沿射线方向平移个单位得到函数，，，
∴平移的长度为，
∴平移后，对应点的横坐标增加，纵坐标增加，
∵原抛物线解析式为，顶点为，
∴平移后顶点为，即，
∴平移后抛物线的解析式为，
∵，
∴点的对应点是的坐标为，即，
设解析式为，将，代入得
，
解得，
∴直线解析式为；
设直线的解析式为，将，代入得
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵是直线和的交点，
∴，
解得，
∴，
如图，过作直线轴（向右为正方向），过作于，过作于，
∴，直线为，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
若点位于点右侧，则为钝角，不符合题意，故点位于点左侧，分两种情况讨论：
①点位于轴上方，设直线交轴于点，
∵，
∴，
∴，
设直线解析式为，将，代入得
，
解得，
∴直线解析式为，
∵点为直线与抛物线的交点，
∴，
解得，（不符合题意，舍去）；
②点位于轴下方，设直线交轴于点，则，
∴直线解析式为，
∵点为直线与抛物线的交点，
∴，
解得，（不符合题意，舍去）；
综上，点的横坐标为或．
【点睛】本题第二问求三角形面积最大值，核心是把“求面积最大值”简化为“求线段的最大值”；第二部分求的最小值，关键是利用直角三角形的三角函数定义，把​​转化为点到定直线的垂线段长度，将“折线段和的最小值”转化为“定点到定直线的垂线段长度”，直接用“垂线段最短”的公理求解；本题第三问核心逻辑是将几何角度关系转化为可求解的代数方程．
3．(1)
(2)最大值为，此时，
【分析】（1）先求出，，然后根据待定系数法求解即可；
（2）先求出点B的坐标，过点作轴交于点，设，则，表示出的面积，求出面积的最大值及点P的坐标，再求出四边形面积的最大值即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴．
当时，，，
∴．
将，代入中，
得，
解得，
∴．
（2）解：当时，，
解得，
∴，
∴．
过点作轴交于点，连接，设，则，
，
，
当时，的面积有最大值，此时，
∵，，，
∴，
∴的面积为，
四边形面积的最大值为．
∴四边形的面积最大值为，此时．
4．(1)
(2)a．；b．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、几何图形的旋转变换、相似三角形的判定与性质，以及利用二次函数求最值，解题关键是熟练掌握待定系数法、坐标旋转规律、相似三角形的比例关系，并结合二次函数的性质求解．
（1）利用待定系数法，将已知点，代入抛物线解析式，解方程组求出系数，即可得到抛物线解析式；
（2）a．利用“构造旋转全等”的方法，将线段绕点顺时针旋转得到，通过求直线的解析式，与抛物线联立求解，得到点的坐标；
b．通过作平行线构造相似三角形，将面积比转化为线段比，再结合点的坐标表示出比例式，转化为二次函数，利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】（1）解：把点，代入中，
，
解得
抛物线的解析式为．
（2）a．把绕点顺时针旋转90度得，

连接，交抛物线于点，作，交轴于点，
，
，
又，
，
在和中：
，
，
令代入，得，即，
，，
，
由待定系数法求出的表达式为．
由，
解得（舍去），
∴．
b．作轴，轴，分别交直线于点．
，
，，
．
．
设．
，,
∴．
∴
．
当时，有最大值为．
5．(1)抛物线的解析式为；顶点的坐标为；
(2)的面积为3；
(3)5
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式，再化为顶点式即可得到答案；
（2）求解，证明，再利用三角形的面积公式计算即可；
（3）如图，以为边构造平行四边形，使得点落在轴的上方，过作轴于，可得点的坐标为，可得直线即为抛物线的对称轴，共线，当在同一条直线上时，最小，其最小值为的长，再进一步求解即可．
【详解】（1）解： ，，在二次函数的图象上，
设该二次函数为，得，
解得，故抛物线的解析式为；
将化为顶点式为，
∴顶点的坐标为；
（2）解：当时，，
结合题意得：、、、四点坐标为，
，
，
，
，
，
∴的面积为3；
（3）解：如图，以为边构造平行四边形，使得点落在轴的上方，过作轴于，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
∴点的坐标为，
抛物线的顶点的坐标为，连接，
∴直线即为抛物线的对称轴，共线，
，
∴当在同一条直线上时，最小，其最小值为的长．
，
，
的最小值为5，
的最小值为5．
6．(1)抛物线的解析式为，
(2)的值为或
(3)，
(4)或
【分析】（1）根据题意，得，求解即可；
（2）设，当时，最高点为，最低点为，当时，最高点为，最低点为，列方程求解即可；
（3）当平行四边形的面积被轴平分时，根据题意，得，根据平行四边形的性质，列式解答即可；
（4）延长，交抛物线与点G，设，根据抛物线的性质，分类求解即可．
【详解】（1）解：因为抛物线与轴交于点，顶点为，
所以，
解得，
故抛物线的解析式为，
令时，得，
故；
（2）解：设，
根据题意，得，
因为该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为5，顶点为，，
∴或，
当时，最高点为，最低点为，
，解得（舍），；
当时，最高点为，最低点为，
，
解得（舍），．
综上，的值为或．
（3）解：当平行四边形的面积被轴平分时，根据题意，得，
因为，，必须为正数，
故，
解得，．
（4）解：延长，交抛物线与点G，设，
根据题意，得，
解得，
故，
当时，点P在对称轴的右侧，
当点P与点G重合时，四边形不存在，
当点P在点G的上方时，如图所示，抛物线在平行四边形内部的部分都在对称直线的左侧，
因为抛物线开口向上，
所以对称轴左侧随的增大而减小，符合要求，
故；
当点P在点G的下方时，如图所示，抛物线在平行四边形内部的部分都在对称直线的左侧，
因为抛物线开口向上，
所以对称轴左侧随的增大而减小，符合要求，
当点P与点A重合时，四边形不存在，
故；
当时，点P在对称轴的作出，如图，抛物线不能落在平行四边形内部，不符合要求；
综上所述，符合要求的m的范围是：或 ．
7．(1)点的坐标为，抛物线的解析式为；
(2)
（ⅰ）；
（ⅱ），抛物线的对称轴上存在定点，始终满足，点的坐标为或．
【分析】（1）中，令，可得点的坐标，用待定系数法即可得抛物线的函数表达式；
（2）（ⅰ）由三角形的面积可得点的坐标，用待定系数法可得直线的解析式，可得点的坐标，结合已知可得点的坐标，即可得的值；（ⅱ）设，，作轴于点，作轴于点，可得，可得，设直线的解析式为，与抛物线的解析式联立，由一元二次方程根于系数的关系，可得，即可得的值，直线的解析式为，直线的解析式为，可得，，抛物线的对称轴为直线，设，由三角形相似的性质，可得，根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】（1）解：中，
令，，
解得，
∴点的坐标为，
把点和的坐标代入，
可得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：（ⅰ）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴．
（ⅱ）设，，
作轴于点，作轴于点，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
由得，
∴、为的两个根，
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，，
由得或，
∴，
∵，，
∴的中点横坐标为，
设直线的解析式为，则，
∴，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴上存在定点，始终满足，点的坐标为或．
8．(1)，，对称轴为直线
(2)
(3)
【分析】（）把代入函数解析式，求出的值，可得点坐标，进而得到抛物线的对称轴；
（）设，，利用待定系数法可得直线的解析式为，过点作平行于轴交于点，得，即得，由 得到 ，即得到，再根据二次函数的性质解答即可求解；
（）分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，设对称轴与轴的交点为，可得，，即得到，当时，，设，则直线的解析式为 ，由得，，得到，即得，化简得，进而得到，，据此即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
解得，，
∵点在点的左侧，
∴，，
∴对称轴为直线；
（2）解：设，，
设直线的解析式为，把和代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
如图，过点作平行于轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为；
（3）解：如图，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，设对称轴与轴的交点为，
∴，，
∵，
∴，
当时，，设，则直线的解析式为，
由，得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
化简得，，
∵，为与无关的定值，
∴，，
解得，，
∵，
∴．
9．(1)
(2)
(3)2个，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据角平分线的特性得到点的对称点在直线上，求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立，求出点坐标；
（3）先根据抛物线平移规律求出的解析式和对称轴的方程，由（2）可知直线的解析式；设点M的横坐标为（大于对称轴的横坐标），表示出、、、的坐标，求出线段、的表达式，进而求出矩形的面积，分情况讨论：①当点落在线段或②点落在线段的延长线上时，表示出直线截矩形所得部分的面积，根据面积比为分两种情况列方程，求出的值，即为点M的个数．
【详解】（1）解：，，
、，
将、代入得：
，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图1可知，在抛物线上存在点，使得平分，
点位于轴右侧，
根据角平分线的对称性，点关于轴的对称点在直线上，
设直线的解析式为，
将点、代入得：
，解得：，
直线的解析式为，
与抛物线解析式联立得：
，
整理得：，
解得：或（舍去），
将代入得：，
点的坐标为；
（3）解：满足上述条件的点的个数有2个，理由如下：
由（1）知，抛物线：，
则平移后的抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴为：直线，
设，直线与直线交于点，
点在右侧，
，
由（2）知，直线的解析式为，
，
，
，
，
、、，
，
四边形是矩形，
、，
、，
，
将代入得：，
，
点在点上方，
分情况讨论：
①当点落在线段上时，，
解得：，
，
，
直线将四边形的面积分成，
，
若时，
，
解得：或（舍去），
若时，
，
解得：或，
，
此情况无解；
②当点落在线段的延长线上时，
，
解得：，
设直线与交于点，
将代入得：，
解得：
点的横坐标为，
，
，
若时，
，
解得：或（舍去），
若时，
，
解得： 或
，
此情况无解；
综上所述，的值为或，即满足上述条件的点的个数有2个．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、角平分线的特性、矩形的判定定理，熟练掌握二次函数的图象性质，数形结合和分类讨论的思想方法是解题的关键．
10．(1)；
(2)
(3)0或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线的表达式，过点P向轴作垂线，交于点，则，进而求出的长，利用求解即可；
（3）由题意得，抛物线的对称轴为，分两种情况讨论：①当时：最低点为顶点，最高点为点；②当时：最低点为，最高点为，利用最高点与最低点的纵坐标之差为，列方程求解即可．
【详解】（1）解：将点和点代入抛物线得：
，
解得：，
该抛物线函数关系式为，
顶点坐标；
（2）解：由题意得：，
将代入得：，
，
设直线的表达式为，
将点、代入得：
，
解得：，
直线的表达式为，
过点P向轴作垂线，交于点，
，
，
，
，
当时，有最大值，即最大值为；
（3）解：由题意得：是点，点之间一动点，
，
抛物线的对称轴为，
分两种情况讨论：
①当时：最低点为顶点，最高点为点，
其纵坐标差为，
由题意得：，
解得：，符合题意；
②当时：点在对称轴的右侧，此时随的增大而增大，
最低点为，最高点为，
其纵坐标差为，
由题意得：，
解得：或（舍去），
综上所述，的值为0或．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象性质，灵活应用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
11．(1)；
(2)或；
(3)①，②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式，令与的交点为，根据题意分两种情况求解：①当时；②当时，利用同底等高三角形面积比等于高之比，得出点的纵坐标，再代入直线得出点的坐标，从而求出直线的表达式，再求出直线与抛物线的交点坐标，即可得解；
（3）①先求出顶点的坐标，从而得出直线的表达式，过点作交轴于点，过点作于点，则，求出直线的解析式，则，利用等面积法，求出，再根据坐标两点距离公式，求出，即可得出旋转角度的正弦值；
②分别过点、作轴和轴的垂线交于点，根据抛物线沿射线方向平移，设抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度，则新的抛物线解析式为，进而得到顶点，再求出两个抛物线的交点，过点作轴于点，过点作的延长线于点，证明，得到，解方程即可得解．
【详解】（1）解：将点和代入得，
，解得：，
抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：，
令，则，
解得：，，
，
设直线的表达式为，
则，解得：，
直线的表达式为，
令与的交点为，直线把分成面积比为的两部分，
①如图，当时，则，
，
，
令，解得：，
，
设直线表达式为，
则，解得：，
直线的表达式为，
联立，解得：，（舍），
，
点P的坐标为；
②如图，当时，则，
，
，
令，解得：，
，
同法可得，直线的表达式为，
联立，解得：，（舍），
，
点P的坐标为；
综上可知，点P的坐标为或；
（3）解：①，
，
，
同法可得，直线的表达式为，
由旋转的性质可知，为旋转角，
如图，过点作交轴于点，过点作于点，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，，
，
，
，
，
即旋转角度的正弦值；
②如图，分别过点、作轴和轴的垂线交于点，
，，
，，
抛物线沿射线方向平移，
设抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度，
新的抛物线解析式为，
，
联立，解得：，
，
如图，过点作轴于点，过点作的延长线于点，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，（舍），
抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度，
原抛物线平移的距离为．
12．(1)
(2)存在，
(3)存在，H的坐标为或
【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可；
（2）设，则，则，
则，根据抛物线的性质解答即可．
（3）取点，过点R作轴，交于点M，确定，连接并延长交对称轴直线于点，确定一个位置；过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G，则四边形是矩形，在上取一点，使得，则，连接并延长交对称轴直线于点，确定第二个位置，解答即可．
【详解】（1）解：∵二次函数经过点，
∴将代入表达式，
得，
解得，
；
（2）解：对于二次函数，当时，，
，
设，
轴，
，
，
，
，
∴当时，四边形面积最大，最大值为6，
此时E点坐标为；
（3）解：存在，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，将代入直线的解析式得：，
解得，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
取点，过点R作轴，交于点M，
则，
∴，
连接并延长交对称轴直线于点，
根据题意，，，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴点符合题意，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，
故；
过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G，
则四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在上取一点，使得，
则，
∴，
连接并延长交对称轴直线于点，
根据题意，，，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴点符合题意，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，
故；
综上所述，符合题意的点H坐标有，．
13．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可；
（2）确定直线的解析式为：，设，确定直线的解析式为，得到点D的横坐标为，根据题意，得，解答即可．
(3) 作点关于y轴的对称点M，根据题意，得，，
故，过点A作，交于点，，
解答即可．
【详解】（1）解：把，分别代入抛物线，得
解得，
抛物线的解析式为.
（2）解：根据抛物线的解析式为，
令，得，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：，
设，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故点D的横坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理，得，
解得，
故或．
（3）解：作点关于y轴的对称点M，
根据题意，得，，
故，
过点A作，交于点，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将代入解析式，
得：，
解得，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
∴ ，
解得，
∴直线的解析式为：，
∴，
解得，
故；