中考数学二轮复习备考 二次函数与特殊三角形综合 常见题型练(含答案)

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1．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−32，且经过A−4,0,C0,2两点，与x轴交于另一点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC，求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)在对称轴上是否存在点Q，使△QBC为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点，与x轴交于点B．
(1)若直线y=mx+n经过B，C两点，求直线BC解析式；
(2)在抛物线的对称轴x=−1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
(3)设P为对称轴x=−1上的一个动点，直接写出△BPC为直角三角形的点P的坐标．
3．综合探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为−5,0．
(1)求点C的坐标；
(2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
(3)在对称轴上是否存在点M，使得△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A−1,0，B3,0，与y轴交于点C，作直线BC，P是第四象限内抛物线上的一个动点（点P不与点B，C重合），连接PB，PC，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当△PCB是以BC为底的等腰三角形时，求m的值．
5．如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A−1,0，B6,0两点，交y轴于点C，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标；
(3)Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使△BCQ为以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，顶点为M−1,−4的抛物线分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧）、与y轴相交于点C0,−3．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求A、B两点坐标；
(3)判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
7．已知：如图，抛物线y=ax2+3ax+ca>0与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为1,0，OC=3BO．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点D，使SΔABD=SΔABC，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由；
(3)若点E是x轴上一个动点，是否存在以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与x轴交于点C，直线y=−12x+2过B，C两点，连接AC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M3,2是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．
(3)设点Q为抛物线对称轴上的一个动点，求使△BCQ为直角三角形的点Q的坐标．
9．如图，点C为二次函数y=x+12的顶点，直线y=−x+m与该二次函数图象交于A−3,4、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
(1)求m的值及点C坐标；
(2)连接AC、BC，求△ABC的面积．
(3)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A−3,0,B1,0，交y轴于点C0,−3．
(1)求二次函数的表达式；
(2)动点P在抛物线的对称轴上，且在x轴下方，作射线PA，将射线PA绕点P逆时针旋转90∘后与抛物线交于点Q，是否存在点P使△APQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请求出n的值．
11．如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点A−1,0，B3,0，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为抛物线的顶点，求△BCD的面积；
(3)抛物线上是否存在点P，使△BCP是以BC为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由：
(4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到BC的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
12．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+2bx（b为常数）．
(1)如图1，当抛物线经过点A3,−3时，求抛物线的解析式；
(2)如图2，若点P为（1）中抛物线上一动点，且点P的横坐标为m，过点P作PB∥x轴交直线OA于点B．当△PAB是等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)若抛物线上存在两点Mx1,y1和Nx2,y2，对于1≤x1≤2，x2=b+2，都有y1⋅y2