中考数学三轮高频考点二次函数与特殊四边形的存在性问题练习题（含答案）

这是一份中考数学三轮高频考点二次函数与特殊四边形的存在性问题练习题（含答案），共7页。
(1)求抛物线的表达式；
(2)P是抛物线在第一象限内的点，连接，若的面积是面积的，求点P的坐标；
(3)M为直线上的动点，N为抛物线上的动点，当以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
2．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值；
(3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；
(2)平面内是否存在点M，使得以M、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．

(1)试求抛物线的解析式；
(2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，顶点的坐标是，过点作轴，交抛物线于点D，连接．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求的正切值；
(3)点为抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点的坐标．
6．如图①，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．点是抛物线上的动点，其横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求线段的长度；
(3)当点在轴下方时，抛物线在点、点之间的部分（包括端点）记为图象，图象上最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求点的坐标；
(4)以为对角线构造矩形，边平行于轴．当直线将矩形的面积分成两部分的比为时，直接写出的值．
7．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值；
(3)如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
9．如图1，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点，并且点的坐标为．
(1)求的值；
(2)当时，二次函数的最大值是3，求的值；
(3)如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上运动．过点作轴的垂线，与直线相交于点，与二次函数的图象相交于点，连接，将沿翻折，的对应点为．问在点的运动过程中，点能否落在轴上？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
10．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点．其顶点为．
(1)求抛物线及直线的函数解析式；
(2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，直接写出的面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以点B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两交点分别是，，与y轴交于点C，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P为直线上方抛物线上的点，过P作于点E，交于点D，为射线上的点，连接，且，求的最大值，以及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线与y轴交于点Q，点为平移后抛物线对称轴上的点，N为平面内一点，直接写出所有使得以点P，Q，M，N为顶点的四边形为菱形的点N的坐标．
12．如图，抛物线与x轴相交于，，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，点P为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点P的坐标；
(3)设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图1，若点在轴左侧，且，求点的坐标；
(3)如图2，若平行于轴，过点作交于点，设，，求与的函数关系式；
(4)若点位于点左侧，、两点间的水平距离为，以为对角线作矩形使其各边分别与轴或轴平行，若矩形的周长与抛物线上、两点间纵坐标的最大值相等，求的值．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)点M的坐标为或或或
【分析】（1）先求出点，，再将两个点的坐标代入可得答案；
（2）由点的坐标得，，再设，然后根据得出方程，求出解即可；
（3）先设，再分两种情况：当为平行四边形的边时，过M作x轴的垂线，交抛物线于点N，可得，进而得出，再根据时四边形是平行四边形，即当，时，求出答案； 当为平行四边形的对角线时，先确定点，由得出方程，再求出解可得坐标．
【详解】（1）解：当时，；当时，，
∴点，，
将，代入中得：
解得：，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由，得：，，
设，
∴，
∴，
得：，
解得：，（舍），
∴；
（3）解：设，
①当为平行四边形的边时，过M作x轴的垂线，交抛物线于点N，如图，
则，
则，
∵，
∴当时，以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴，当时，即，
解得：，，
此时，；
当时，即，
则，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，如图，
∵，，
∴，
则，即，
解得：，，
∴或，
∴点M的坐标为或或或或．
2．(1)
(2)
(3)存在，，
【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据，求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得；
（3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得．
【详解】（1）解：一次函数，
当时，，即，
当时，，解得，即，
把，代入得，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，
当时，，
解得或（舍去），
点的横坐标为2，
．
（3）解：存在，求解如下：
设点的坐标为，
①当四边形是矩形时，则，
直线的解析式为，
，
设在直线上，根据勾股定理得：，
，
，
，
，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得或（即为点，舍去），
，
②当四边形是矩形时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，
解得或（即为点，舍去），
，
综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或．
3．(1)，
(2)、、
(3)或
【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点和点，即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；
（2）利用平行四边形对角线互相平分的性质，分三种对角线情况列方程求解点；
（3）根据抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
将解析式配方得顶点式：
∴顶点D的坐标为；
（2）存在，
令，则，
∴，
设点，根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况讨论：
情况1：以为对角线
则中点与中点重合：
解得：
即．
情况2：以为对角线
则中点与中点重合：
解得：
即．
情况3：以为对角线
则中点与中点重合：
解得：
即．
综上，存在满足条件的点，坐标为、、；
（3）存在，理由如下：
当时，，所以，，
∴是等腰直角三角形，
以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，
∴是等腰直角三角形，
设点P的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
设BC的解析式为，将，代入得，
，
解得，，故BC的解析式为，
把代入得，，则E点坐标为，
如图，当E为直角顶点时，，
解得，，（舍去），
把代入得，，则P点坐标为，
当Q为直角顶点时，PQ=QE，即，
解得，（舍去），
把代入得，，则P点坐标为；
当P为直角顶点时，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即，
解得，（舍去），则P点坐标为；
综上，P点坐标为或．
4．(1)
(2)取得最大值，此时点的坐标为
(3)存在，满足条件的的坐标为或
【分析】（1）根据已知条件求得点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点作轴交直线于，连接，先求得直线的解析式，设，则，可得，再由，根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得，利用二次函数的性质解决问题即可；
（3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
抛物线经过点，，，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，过点作轴交直线于，连接，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
直线与轴交于点，
，
，
轴，即，
，
，
，
，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）解：存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．
①当是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形是矩形时，
由（2）可知，代入中，得到，
直线的解析式为，可得，，
由可得，
,
，
，
．
根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点，
，即，
b、如图2﹣2中，四边形是矩形时，
直线的解析式为，，
直线的解析式为，
，
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
，即．
②当是对角线时，设，
则，，，
是直角顶点，
，
，
整理得，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的的坐标为或．
5．(1)
(2)
(3)点的坐标为或或
【分析】（1）先求出，设抛物线的解析式为，将代入解析式计算即可得出结果；
（2）先求出，，作于点，则，求出，，最后由正切的定义计算即可得出结果；
（3）先求出直线的解析式为，再结合梯形的性质，分三种情况：当时；当时；当时，分别计算即可得出结果．
【详解】（1）解：在中，当时，，即，
∵抛物线顶点的坐标是，
∴设抛物线的解析式为，
将代入解析式可得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵过点作轴，
∴当时，，
解得：，，
∴，
联立，
解得：或，
∴，
如图，作于点，
则，
∴，，
∴；
（3）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵以、、、为顶点的四边形是梯形，
∴当时，设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴此时点的坐标为；
当时，此时点的纵坐标为，
在中，令，则，
解得：或，
∴此时点的坐标为；
当时，设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴此时点的坐标为；
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，正切的定义，二次函数综合—特殊四边形问题，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
6．(1)；
(2)4；
(3)点的坐标为或者；
(4)或．
【分析】（1）先由直线解析式求出点、点坐标，再用待定系数法求抛物线解析式．
（2）由知点与点纵坐标相同，代入抛物线求出点坐标，即可求长．
（3）抛物线开口向下，顶点为，点，分点在点左侧和右侧两种情况讨论图象的最高点与最低点，根据纵坐标之差为列方程求解．
（4）由矩形构造可知其四个顶点为、、、，直线经过点，分与讨论它与矩形边的交点位置，利用面积比为1:3列方程求．
【详解】（1）解：对于直线，
令，得，
令，得，
，．
抛物线经过、两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：在轴上，，
点与点的纵坐标相同，均为．
令，得，
即，
解得：，．
．
．
（3）解：令，得，
即，
．
，
抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线．
点在轴下方，
或．
①当时，图象对应自变量取值范围是，
抛物线在上y随x增大而增大，
最高点为，最低点为．
由题意：，
即，
解得：．
，
．
此时．
②当时，图象对应自变量取值范围是，包含顶点，
最高点为顶点，纵坐标为．
点在轴下方，点在轴上，
最低点为，纵坐标为．
由题意：，
即，
解得：．
，
．
此时．
综上，点的坐标为或．
（4）解：四边形为矩形，为对角线，且轴，
，．
矩形面积．
当时，直线与边交于点，
．
由，得，
解得：．
当时，直线与边交于点，
，，
．
由，得，
解得：．
当时，直线不经过矩形内部，不符合题意．
综上，的值为或．
7．(1)
(2)t的值为或
(3)
【分析】（1）将点A，B的坐标分别代入，列方程组求解即可．
（2）根据点P的位置（即t的取值范围）进行分类讨论，分别计算结果．
（3）设点N的横坐标为n，用含m，n的式子分别表示出的长，再根据列方程求解．
【详解】（1）解：将，分别代入，
得
解得
故抛物线的函数表达式为．
（2）解：∵P为第一象限内抛物线上一动点，
∴，其中．
∵抛物线的函数表达式为，
∴．
令，解得，，
∵轴，
∴当时，点E与点C重合．
∴，．
①当时，如图1，点E在点C上方，
此时，
∴．
当时，，解得．
②当时，如图2，点E在点C下方，
此时，
∴．
当时，，解得，（舍去）．
综上可知，t的值为或．
（3）解：∵轴，轴，
∴．
又轴，
∴四边形是矩形，
∴．
设点N的横坐标为n，则，
∴．
∵，，
∴设直线的函数表达式为，把，代入，得，
∴直线的函数表达式为，
∴，
∴，，
∴①．
要使四边形为正方形，则要满足．
点N的位置有以下两种情况．
①当点N在点C左侧的抛物线上时，如图3，此时．
若，则，整理，得②，
把②代入①，得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴．
②当点N在点C右侧的抛物线上时，．
若，则，解得，此时点与点重合，不符合题意．
综上可知，点M的坐标为．
8．(1)
(2)存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）根据对称轴，求出，把点代入函数解析式，求出，即可得到函数解析式；
（2）令，得，求出，设直线的解析式为：，根据待定系数法，求出函数解析式，设，则，得到 ，，，分类讨论：①当为边时，，②当为对角线时，，求出，即可得到菱形的边长．
【详解】（1）解：对称轴为直线，
，即．
．
将代入，得，
解得．
抛物线的函数表达式为．
（2）解：存在．
令，得，
，
设直线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
直线的函数表达式为，
设，则，
，，，
当以，，，为顶点的四边形是菱形时，分为以下两种情况：
①当为边时，，即，
解得（不合题意，舍去），，
此时菱形的边长为；
②当为对角线时，，即，
解得（不合题意，舍去），，
此时菱形的边长为，
综上所述，存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或．
9．(1)
(2)或
(3)点的坐标为或时，点能否落在轴上．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再分两种情况讨论即可求解；
（3）利用折叠的性质、平行线的性质求得，推出，再利用勾股定理、分两种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于点，
∴，
解得；
（2）解：由（1）得二次函数解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵当时，二次函数的最大值是3，且，
∴该区间不包含对称轴，
分两种情况讨论：
①当区间在对称轴左侧时，即，
此时函数在区间上单调递增，最大值在处取得，
∴，
解得，，
∵，
∴；
②当区间在对称轴右侧时，即，解得，
此时函数在区间上单调递减，最大值在处取得，
∴，
解得，，
∵，
∴；
综上，或；
（3）解：能，理由如下：
令，则，
∴，
∵点E的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，
∵轴，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m，
∴，，
若点Q落在y轴上，
∵点C在y轴上，
∴线段在y轴上，
∵轴，y轴轴，
∴轴，即，
∴(两直线平行，内错角相等)，
由翻折的性质可知，，
∴，
∴，
∴(等角对等边) ，
∵，，
∴，
∵，
∴，
①当点N在点M上方时(即)：
∴，
由得：，
解得(舍去)，，
∵，
∴符合题意，
此时；
②当点M在点N上方时(即)：
∴，
由得：，
解得(舍去)，，
∵，
∴符合题意，
此时；
综上，点的坐标为或时，点能否落在轴上．
10．(1)抛物线的函数关系式为，直线AC的函数关系式为
(2)最大值为，此时点P的坐标为
(3)能，E的坐标为，或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点，设，则，求出，根据得到，据此可得答案；
（3）先求出点B和点D的坐标，根据，得到以点B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，则；设，则，则，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：将点代入得，，
解得，
∴抛物线解析式为；
设直线的解析式为
将点代入，得，
∴
∴直线的解析式为；
（2）解：如图所示，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点．
设，则，
，
∴当时，的面积有最大值，最大值为，此时点P的坐标为．
（3）解：∵抛物线解析式为，
，
当时，，
，
∵，
∴以点B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，如图，
∴；
设，则，
∴，
∴或，
解方程得或（舍去），
解方程得或，
当时，，
当时，
当时，
综上，满足条件的点的坐标为或或．
11．(1)
(2)当时，的最大值为，
(3)或或
【分析】（1）将，代入二次函数，求出的值即可；
（2）先求出直线的解析式为：，设，则，过点作于点，则，，根据正弦函数的定义可得，由得，可得，则，利用二次函数的性质可求出最值；
（3）先利用二次函数平移的规律得到新抛物线的解析式，然后设出点，分两种情况：①线段为菱形的对角线时；②线段为菱形的边时，利用菱形的性质求解．
【详解】（1）解：与x轴的两交点分别是，，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：，
当时，，
，
设直线的解析式为：，
直线过点，
，解得，
直线的解析式为：，
设，则，
，
，
过点作于点，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，此时；
（3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位长度，
即将抛物线向左移动个单位，向上移动个单位，
平移后的抛物线的解析式为：，
平移后的抛物线的对称轴为直线，平移后的抛物线与轴的交点，
设，
①当线段为菱形的对角线时，，
，
，
，
，解得，
，
；
②当线段为菱形的边时，
，
，
，
，
当时，，即，无解；
当时，，即，
或，
或，
或，
综上，点的坐标为或或．
12．(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，作轴交于M，如图1，设，则，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质求解；
（3）如图2，分类讨论：当四边形为平行四边形，设，利用点平移的坐标规律得到，然后把代入中求出a即可得到Q点坐标；当四边形为平行四边形或四边形为平行四边形时，利用同样方法可求出对应Q点坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
所以抛物线解析式为，即；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
所以直线的解析式为，
作轴交于M，如图1，
设，则，
∴，
∴，
当时，的面积最大，此时P点坐标为；
（3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线，
当四边形为平行四边形，设，则，
把代入得，解得，
∴；
当四边形为平行四边形时，设，则，
把代入得，解得，
∴；
当四边形为平行四边形时，设，则，
把代入得，解得，
∴，
综上所述，满足条件的Q点坐标为或或．
13．(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得直线的解析式为，过点作轴交延长线于点，过，两点分别作，分别交于，两点，得出点坐标为，点坐标为，进而根据，解方程，即可求解；
（3）依题意得出，根据点坐标为，进而得出根据，即可求解；
（4）依题意，点坐标为，，分别表示出，分情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：将，代入二次函数，
，
解得，
．
（2）设直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
过点作轴交延长线于点，
过，两点分别作，分别交于，两点，
点坐标为，点坐标为，
，
，
解得，，
∵点在轴左侧，，
．
（3）解：，，
，
∵点坐标为，
，，
，
，．
（4）解：依题意，点坐标为，，
，，
当时，矩形的周长，
当时，矩形的周长，
当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为，
当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为，
当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为，
①当时，解得，（舍）
②当时，解得（舍）
③当时，解得（舍）
④当时，解得，（舍）
综上所述：或．